李改葉，薛西鋒

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安　710127）

巴拿赫代數(shù)上序錐度量空間中的不動點定理

李改葉，薛西鋒

（西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，陜西 西安710127）

提出了巴拿赫代數(shù)上的錐度量空間的相關(guān)概念，并給出了巴拿赫代數(shù)上元素的譜半徑的一些性質(zhì)，證明了巴拿赫代數(shù)上錐度量空間中偏序集上的一些不動點定理，所得結(jié)論推廣了已知結(jié)果.

巴拿赫代數(shù)；錐度量空間；不動點定理；偏序集

1　引言

文獻［1］提出了巴拿赫代數(shù)上錐度量空間的概念，并得到了廣義利譜希茨映射條件下的不動點定理.文獻［2］提出了巴拿赫代數(shù)上錐度量空間中在沒有正規(guī)性的條件下廣義利譜希茨映射的不動點定理，文獻［3］研究了錐度量空間中偏序集上的不動點定理.本文在文獻［1-3］的基礎(chǔ)上，證明了巴拿赫代數(shù)上錐度量空間中偏序集上的一些不動點定理的存在性，從而推廣了文獻［1-3］的主要結(jié)果.

本文假設(shè)巴拿赫代數(shù)A有單位元e，即?x∈A，ex=xe=x.如果?x∈A，存在y∈A使得xy=yx=e，則x可逆，即y=x-1.本文用θ表示巴拿赫代數(shù)上的零元.

定義1.1［1］設(shè)A為巴拿赫代數(shù)，P為A中的非空子集，如果P滿足：

（i）｛θ，e｝?P；

（ii）?α，β∈R且α，β≥0，αP+βP?P；

（iii）P2=PP?P；

（iv）P∩（-P）=｛θ｝，

則稱P是A中的錐.A中偏序是由P導(dǎo)出的.

定義1.2［1］設(shè)X為非空子集，A為巴拿赫代數(shù)，假定映射d：X×X→A滿足：

（i）?x，y∈X，d（x，y）≥θ且d（x，y）=θ?x=y；

（ii）?x，y∈X，d（x，y）=d（y，x）；

（iii）?x，y，z∈X，d（x，y）≤d（x，z）+d（z，x），

則稱d為X上的錐度量，稱（X，d）為巴拿赫代數(shù)上的錐度量空間.

引理1.1［2］A為具有單位元e的巴拿赫代數(shù)，P為A中的錐，A中半序“≤”由P導(dǎo)出.設(shè)k∈P，如果ρ（k）＜1，則

（i）k＜e，即e-k＞θ且（e-k）-1＞θ成立；

（ii）若對u∈A有u≤ku，則u=θ；

（iii）ρ（（e-k）-1）≤（1-ρ（k））-1成立.

引理1.2［2］A為巴拿赫代數(shù)，x，y∈A，如果x和y交換，則下面結(jié)論成立：

（i）ρ（xy）≤ρ（x）ρ（y）；

（ii）ρ（x+y）≤ρ（x）+ρ（y）；

（iii）|ρ（x）-ρ（y）|≤ρ（x-y）.

定義1.3［3-4］錐P是正規(guī)的，若存在常數(shù)N＞0，使得θ≤x≤y?∥x∥≤N∥y∥，且稱滿足條件的最小正數(shù)N為P的正規(guī)常數(shù).

定義1.4［5-7］設(shè)（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的錐度量空間，x∈X，｛xn｝為X中的序列，則

（i）若?θ?c，總存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時，都有d（xn，x）?c，則稱｛xn｝收斂到x，記為

（ii）若?θ?c，總存在自然數(shù)N，當(dāng)n＞N時，都有d（xn，xm）?c，則稱｛xn｝為X中的Cauchy列；

（iii）若X中的每個Cauchy列都在X中是收斂的，則稱（X，d）是完備的.

2　主要結(jié)果及其證明

定理2.1設(shè)（X，?）為偏序集，（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的完備錐度量空間，且A有單位元e，P為帶有正規(guī)常數(shù)M的正規(guī)錐，設(shè)映射f：X→X是關(guān)于“?”的連續(xù)非減映射，滿足：

則f有不動點.

定理2.2設(shè)（X，?）為偏序集，（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的完備錐度量空間，且A有單位元e，設(shè)f：X→X是關(guān)于“?”的非減映射，滿足：

則f在X中有不動點.

推論2.1設(shè)（X，?）為偏序集，（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的完備錐度量空間，且A有單位元e，P為帶有正規(guī)常數(shù)M的正規(guī)錐，設(shè)f：X→X是關(guān)于“?”的非減映射，滿足：

則f在X中有不動點.

推論2.2設(shè)（X，?）為偏序集，（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的完備錐度量空間，且A有單位元e，設(shè)f：X→X是關(guān)于“?”的非減映射，滿足：

則f在X中有不動點.

證明同推論2.1的證明.

定理2.3設(shè)（X，?）為偏序集，（X，d）為巴拿赫代數(shù)A上的完備錐度量空間，且A有單位元e，P為帶有正規(guī)常數(shù)M 的正規(guī)錐，f：X→X是關(guān)于“?”的連續(xù)非減映射，滿足：

［1］Liu H，Xu S Y.Cone metric spaces with Banach algebras and fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings［J］.Fixed Point Theory and Applications，2013，320：1-10.

［2］Xu S Y，Stojan R.Fixed point theorems of generalized Lipschitz mappings on cone metric spaces over Banach algebras without assumption of normality［J］.Fixed Point Theory and Applications，2014，102：1-12.

［3］Altun I，Durmaz G.Some fixed point theorems on ordered cone metric spaces［J］.Rendiconti del Circolo Matematico di palermo，2009，58（2）：319-325.

［4］孫經(jīng)先.非線性泛函分析及應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［5］Huang L G，Zhang X.Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings［J］.Journal of Mathematical Analysis and Application，2007，332（2）：1468-1476.

［6］Rudin W.Functional Analysis［M］.2nd ed.New York：McGraw-Hill，1991.

［7］Liu H，Xu S.Fixed point theorem of quasicontractions on cone metric spaces with Banach algebras［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，DOI：10.1152/2013/187348.

Some fixed point theorems on ordered cone metric spaces with Banach algebras

Li Gaiye，Xue Xifeng

（College of Mathematics，Northwest University，Xi′an710127，China）

This paper presents the concept of cone metric spaces with Banach algebras and gives some properties of the spectral radius of the Banach algebra elements.Some fixed point theorem on ordered set in cone metric spaces with Banach algebra are proved，and the conclusions generalize known results.

Banach algebra，cone metric space，fixed point theorem，ordered set

O177.91

A

1008-5513（2015）03-0318-05

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.03.013

2014-12-16.

陜西省自然科學(xué)基金（2012JM1017）.

李改葉（1989-），碩士生，研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC：60B12