趙 楠，陳笑薇，丁 亮

（1.海軍駐上海地區(qū)艦艇設(shè)計(jì)研究軍事代表室，上海 201001； 2.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海200011；3.上海船舶設(shè)備研究所，200031）

不同斜腔角驅(qū)動(dòng)流的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格研究

趙 楠1，陳笑薇2，丁 亮3

（1.海軍駐上海地區(qū)艦艇設(shè)計(jì)研究軍事代表室，上海 201001； 2.中國(guó)船舶及海洋工程設(shè)計(jì)研究院，上海200011；3.上海船舶設(shè)備研究所，200031）

在雷諾數(shù)100和1000兩種情況下，使用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù)對(duì)15°～165°斜腔驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬。首先與已有的文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，當(dāng)使用網(wǎng)格數(shù)為文獻(xiàn) 1/7網(wǎng)格數(shù)時(shí)，模擬結(jié)果與文獻(xiàn)符合的很好，表明非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對(duì)于只能用非正交結(jié)構(gòu)網(wǎng)格求解的問(wèn)題有很大的優(yōu)越性。然后對(duì)大斜角斜腔的驅(qū)動(dòng)流場(chǎng)進(jìn)行了預(yù)測(cè)。結(jié)果能為不同斜腔角的流場(chǎng)研究提供參考，并對(duì)工業(yè)類似結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)有一定的借鑒意義。

非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格；陣面推進(jìn)法；SIMPLE算法；斜腔驅(qū)動(dòng)流

0 引言

驅(qū)動(dòng)流的數(shù)值研究在文獻(xiàn)中很常見(jiàn)，常被用于標(biāo)準(zhǔn)解來(lái)檢驗(yàn)數(shù)值算法的穩(wěn)定性、可靠性和高效性。其特點(diǎn)是幾何簡(jiǎn)單，但包含基本的物理流動(dòng)特征，在角區(qū)有反向旋轉(zhuǎn)的回流區(qū)。Burggraf[1]早在1966年就研究了方腔驅(qū)動(dòng)流內(nèi)的流場(chǎng)。Gupta等[2]于1981年使用半分析的方法給出了小雷諾數(shù)下尖角附近的驅(qū)動(dòng)流與奇點(diǎn)問(wèn)題，并與其他文獻(xiàn)的數(shù)值解進(jìn)行了比較。 Ghia[3]使用了渦流函數(shù)法以及多重網(wǎng)格加速技術(shù)，在(129×129)網(wǎng)格數(shù)下對(duì)雷諾數(shù) Re=1000的方腔驅(qū)動(dòng)流給出了數(shù)值解。該文后來(lái)成為方腔驅(qū)動(dòng)流較早的基準(zhǔn)解之一，被大量后續(xù)研究者作為對(duì)比基準(zhǔn)。Botella等[4]采用Chebyshev譜方法，Tezduyar[5]采用有限元法也分別給出了雷諾數(shù)下100和1000時(shí)的方腔驅(qū)動(dòng)流內(nèi)部流場(chǎng)。Stortkuhl等[6]首先用分析漸進(jìn)解的方法給出了角區(qū)附近的流動(dòng)解，然后使用多重網(wǎng)格法給出數(shù)值解，并指出隨著網(wǎng)格尺度的減小，數(shù)值解逐漸向漸進(jìn)解靠近。Li等[7]使用高階的緊致四階有限差分格式，給出了雷諾數(shù)小于7500時(shí)的流場(chǎng)解。Tucker和Pan[8]沒(méi)有局限于數(shù)值算法，而是利用切割單元方法給出了驅(qū)動(dòng)流流場(chǎng)解。Bruneau等[9]對(duì)兩維方腔驅(qū)動(dòng)流進(jìn)行了回顧并給出了Re=10000以內(nèi)的基準(zhǔn)解。相對(duì)方腔驅(qū)動(dòng)流而言，由于斜腔驅(qū)動(dòng)流內(nèi)部網(wǎng)格劃分的不正交對(duì)數(shù)值算法提出了新的要求，對(duì)斜腔流的研究較少。Peric等[10]為了彌補(bǔ)非正交網(wǎng)格數(shù)值解法的不足，使用了較密的(160×160)和(320×320)兩種網(wǎng)格，分別給出了在斜腔角30o時(shí)Re=100和1000時(shí)的數(shù)值解，作者使用有限體積的SIMPLE算法求解結(jié)構(gòu)網(wǎng)格內(nèi)的N-S方程，并使用了多重網(wǎng)格加速技術(shù)。Oosterlee等[11]使用有限體積方法求解了一般曲線坐標(biāo)下斜腔角30o和45o時(shí)定常不可壓縮N-S方程問(wèn)題，給出了斜腔流動(dòng)的數(shù)值解。

大部分對(duì)于斜腔驅(qū)動(dòng)流的研究主要集中在斜腔角30o和 45o，且使用的都是結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，很少使用非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的。非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格主要用于處理復(fù)雜外形、減小生成復(fù)雜網(wǎng)格生成時(shí)間上。由于易于網(wǎng)格自適應(yīng)和采用動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，在復(fù)雜幾何中得到廣泛應(yīng)用[12]。事實(shí)上，受到設(shè)備內(nèi)部流動(dòng)空間的限制，斜腔驅(qū)動(dòng)流在工業(yè)上應(yīng)用十分廣泛，如斜船塢內(nèi)流動(dòng)，葉輪機(jī)械機(jī)匣處理的斜槽內(nèi)流動(dòng)以及軸承迷宮密封內(nèi)的不穩(wěn)定流動(dòng)等。對(duì)于斜腔內(nèi)流動(dòng)問(wèn)題的研究有助于了解這些復(fù)雜物理背景中的流場(chǎng)，對(duì)其內(nèi)部的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)等情況加深認(rèn)識(shí)，進(jìn)而在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段給予建議，優(yōu)化產(chǎn)品或結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，減少流動(dòng)損失。

本文在張楚華[13]研究基礎(chǔ)上使用陣面推進(jìn)法生成非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，利用Laplacian算子和對(duì)角交換技術(shù)改善生成網(wǎng)格質(zhì)量，對(duì)斜腔驅(qū)動(dòng)流從斜腔角15o～165o范圍進(jìn)行了N-S方程求解，給出了內(nèi)部詳細(xì)流場(chǎng)，并與已有的標(biāo)準(zhǔn)解進(jìn)行了比較。一方面驗(yàn)證網(wǎng)格生成以及流場(chǎng)計(jì)算程序的可靠性，考核非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格用于簡(jiǎn)單幾何問(wèn)題的精度，另一方面給出各種斜腔角時(shí)的數(shù)值解，為以后不同斜腔角的流場(chǎng)研究提供參考，并對(duì)工業(yè)類似結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)予以借鑒意義。

1 陣面推進(jìn)法

陣面推進(jìn)法(Advancing front method)是最常見(jiàn)的非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格生成方法之一[14-16]，該方法的優(yōu)點(diǎn)是不會(huì)引起物面穿透，邊界附近網(wǎng)格質(zhì)量高。缺點(diǎn)是生成效率低，對(duì)背景網(wǎng)格的依賴性較強(qiáng)。其基本生成方法如圖1所示。首先輸入邊界離散點(diǎn)(如AB)，形成初始陣面，然后根據(jù)背景非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格上所提供的局部尺寸參數(shù)，依據(jù)式(1)計(jì)算。

式中：Sm是AB中點(diǎn)尺度；S1是新生成點(diǎn)C離A、B點(diǎn)的距離。在陣面左側(cè)生成新的網(wǎng)格點(diǎn)(圖1中C點(diǎn))，對(duì)該點(diǎn)及其某半徑r范圍內(nèi)的點(diǎn)按式(2)、(3)進(jìn)行篩選。

選取候選點(diǎn)序列(如Ni)，最后根據(jù)交叉判斷原則，剔除交叉點(diǎn)并選取最合適的點(diǎn)(圖1中D點(diǎn))，形成新的三角形(如ABD)， 最后修改陣面，使邊界點(diǎn)的連接信息向流場(chǎng)內(nèi)部推進(jìn)，直至整個(gè)流動(dòng)區(qū)域被三角形覆蓋為止。

圖1 陣面推進(jìn)法示意圖

使用上述算法生成的網(wǎng)格有時(shí)質(zhì)量較差，會(huì)生成畸形網(wǎng)格，需要對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格光順和對(duì)角交換。如圖2(a)所示，對(duì)角交換改變了網(wǎng)格的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了局部網(wǎng)格最小內(nèi)角最大化的原則。而圖2(b)的網(wǎng)格光順則對(duì)網(wǎng)格單元的頂點(diǎn)幾何位置使用式(4)改進(jìn)。

式中：Pj是待優(yōu)化P節(jié)點(diǎn)的臨近點(diǎn)坐標(biāo)，目的是將網(wǎng)格點(diǎn)盡可能地移到臨近網(wǎng)格點(diǎn)的中心。

圖2 網(wǎng)格優(yōu)化技術(shù)

2 數(shù)值公式

非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格方法不需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，直接在原物理空間求解。在流動(dòng)為定常不可壓縮的假設(shè)下，平面笛卡爾坐標(biāo)系中的N-S方程可寫為通用形式：

式中：Φ為任一輸運(yùn)量；ΓΦ為廣義擴(kuò)散系數(shù)；為廣義源項(xiàng)；將控制方程(5)寫成積分形式：

式中：ρ為密度；Ω為積分區(qū)域；A為Ω的邊界。直接采用三角形單元為有限控制容積，所有的求解變量Φ位于三角形的幾何中心，這樣對(duì)任意三角形單元，方程(6)可以離散為：

對(duì)方程(7)擴(kuò)散項(xiàng)的離散要用到界面上的變量梯度，而對(duì)源項(xiàng)要用到中心點(diǎn)的梯度。界面上的梯度計(jì)算用圖3(a)所示的b-c-d-a積分曲線，假定界面梯度值為沿著積分曲線的平均值，可得：

圖3 梯度計(jì)算積分曲線

對(duì)于單元中心的梯度，采用高斯定理重構(gòu)，選取積分區(qū)域V為三角形單元C，并設(shè)單元中心處的梯度值為單元梯度的平均值：

式中：f1為線性插值系數(shù)；ΔV為單元C的面積，當(dāng)單元C為界面f的左單元時(shí)取正號(hào)，當(dāng)單元C為界面f的右單元時(shí)取負(fù)號(hào)。

對(duì)于對(duì)流項(xiàng)中的界面變量值，使用二階精度混合差分格式，當(dāng)Peclet數(shù)的絕對(duì)值小于2時(shí)采用中心差分格式，大于2時(shí)采用二階迎風(fēng)格式：

3 流場(chǎng)求解

采用推廣至非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的同位網(wǎng)格Simple方法求解流場(chǎng)壓力分布，其基本步驟為：

1）預(yù)估步，對(duì)于假定的壓力分布P*，求解動(dòng)量方程得到預(yù)估的速度U*、V*。

2）校正步，求解壓力和速度的校正值，使得校正后的壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)同時(shí)滿足連續(xù)方程和動(dòng)量方程。

為防止壓力場(chǎng)和速度場(chǎng)的失耦，將動(dòng)量方程的壓力梯度項(xiàng)采用中心差分離散，但界面流速采用Rhie和Chow[17]提出的界面流速“壓力加權(quán)插值”式(11)計(jì)算。

這樣相鄰點(diǎn)的壓力通過(guò)離散系數(shù)以及質(zhì)量流量影響速度和壓力場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)速度場(chǎng)和壓力場(chǎng)的關(guān)聯(lián)。將式(11)應(yīng)用到非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格中，得到相應(yīng)界面質(zhì)量流表達(dá)式為：

4 物理模型

二維斜腔驅(qū)動(dòng)流物理問(wèn)題的示意圖(見(jiàn)圖4)。AB、BC、CD為三個(gè)靜止固體壁面，而AD邊之外的流體以恒定速度UL沿著水平方向運(yùn)動(dòng)。無(wú)量綱雷諾數(shù)定義為Re=(ρULL)/μ，(μ為摩擦系數(shù))。在 Re為100和 1000兩種情形使用陣面推進(jìn)法生成非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，對(duì)于斜腔角α從15o～165o進(jìn)行了數(shù)值模擬，與已有文獻(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，并給出了更廣范圍斜腔角的內(nèi)部流場(chǎng)特征量。

圖4 斜腔驅(qū)動(dòng)流物理模型

5 數(shù)值結(jié)果

為驗(yàn)證程序的正確性，首先將計(jì)算得到結(jié)果與文獻(xiàn)[18]、[9]給出的斜腔算例結(jié)果做了對(duì)比，雷諾數(shù)1000時(shí)斜腔角α=30o、45o的流線對(duì)比結(jié)果如圖5所示。

圖5 Re=1000時(shí)斜腔角30o和45o流線對(duì)比

很明顯，這兩個(gè)斜腔角時(shí)斜腔內(nèi)流動(dòng)結(jié)構(gòu)主要由兩個(gè)大渦組成。本文計(jì)算得到的30o和45o兩種情況下，兩個(gè)大渦的分界線端點(diǎn)分別是(0.8，0.45)和(1.45，0.25)，(0.65，0.65)和(1.35，0.35)，這與文獻(xiàn)[18]符合的很好，但本文計(jì)算還在左下尖角處分辨出更小的渦結(jié)構(gòu)。

圖6 不同斜角的中心線速度分布對(duì)比

文獻(xiàn)[18]只給出了各物理量等值線的分布，沒(méi)有給出定量的數(shù)據(jù)。為了在定量上比較，又與文獻(xiàn)[9]中使用320×320的網(wǎng)格計(jì)算出的數(shù)值解結(jié)果做了對(duì)比。在Re分別是100和1000時(shí)，對(duì)30o斜腔和45o斜腔兩種情形水平中心線的V速度和縱向中心線處的U速度值共8條曲線進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。斜腔角45o時(shí)于x=0.404處達(dá)到V最大值0.082，x=0.879時(shí)達(dá)到V最小值-0.143。而在雷諾數(shù)為1000時(shí)，速度分布沿 x軸是先減小后增大再減小：斜腔角 30o時(shí)于x=0.31處達(dá)到V最小值-0.019，x=0.818時(shí)達(dá)到V最大值0.0174。斜腔角 45o時(shí)于x=0.253處達(dá)到V最小值-0.0398，x=0.6565時(shí)達(dá)到V最大值0.0212。速度的極值分布見(jiàn)表1。從圖6(b)、(d)的縱向中心線處的速度分布看出，雷諾數(shù)1000時(shí)無(wú)論是斜角30o還是45o，U速度均在y=0.9左右處衰減為0，并繼續(xù)減小，變?yōu)樨?fù)值，到y(tǒng)=0.78處減小至負(fù)最小值；雷諾數(shù)100時(shí)U速度在y=0.75處衰減為0，并繼續(xù)減小，變?yōu)樨?fù)值，到y(tǒng)=0.6左右處減小至負(fù)最小值。分析比較不同斜腔角度的速度線，再次證明了斜腔角度的影響相對(duì)于雷諾數(shù)而言是比較小的。表 2中給出了縱向中心線處的極值分布點(diǎn)。此外，文獻(xiàn)[9]中使用的是結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，本程序用的是非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，總?cè)切螁卧獢?shù)為16302個(gè)，相當(dāng)于125×125的結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，其單元數(shù)是文獻(xiàn)[9]的 1/7。比較結(jié)果證明，二者計(jì)算精度完全相當(dāng)，亦表明非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對(duì)于只能用非正交結(jié)構(gòu)網(wǎng)格求解的問(wèn)題有很大的優(yōu)越性，使用較少的網(wǎng)格即可以得到較準(zhǔn)確的結(jié)果。

表1 水平中心線V速度極值點(diǎn)

表2 縱向中心線U速度極值點(diǎn)

圖6(a)、(c)分別是斜角30o和45o斜腔水平中心線處的速度V沿著x軸的分布，圖6(b)、(d)是縱向中心線處的速度U沿著y軸的分布。實(shí)線─、虛線┈分別是雷諾數(shù)100和1000時(shí)的計(jì)算值，方形□和三角△分別是文獻(xiàn)[9]中雷諾數(shù)100和1000時(shí)的值。比較圖6(a)、(c)可以看出，不同的斜腔角度對(duì)速度大小有一定影響，但速度變化趨勢(shì)較類似。雷諾數(shù)為100時(shí)，速度V沿著x方向先增大后減小再增大：斜腔角30o時(shí)于x=0.465處達(dá)到V最大值0.1，x=0.869時(shí)達(dá)到V最小值-0.128。

進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，若考慮到右上角主渦旋中心位置是流場(chǎng)中的主要特征量，與文獻(xiàn)[1，3，19-24]給出的90o方腔主渦旋坐標(biāo)進(jìn)行了比較，比較結(jié)果如表 3所示。文獻(xiàn)[24]給出了雷諾數(shù)100時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，本文計(jì)算得到的雷諾數(shù)100時(shí)的結(jié)果與其符合的很好。

表3 主渦旋中心坐標(biāo)比較

上文多角度的將本文計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中已有的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，充分證明了該計(jì)算結(jié)果的可信性，亦表明非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格在對(duì)于只能用非正交結(jié)構(gòu)網(wǎng)格問(wèn)題時(shí)有足夠的精度。圖7、8給出了雷諾數(shù)100和1000時(shí)計(jì)算得到的斜腔角15o至165o時(shí)內(nèi)部流場(chǎng)的流線分布。

圖7 Re=100時(shí)15°～165°斜角的流線

圖8 Re=1000時(shí)15°～165°斜角的流線

表4給出了各個(gè)斜腔角時(shí)主渦旋的位置坐標(biāo)。比較兩種雷諾數(shù)的主渦旋位置坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)，隨著雷諾數(shù)的增加，在水平方向上，當(dāng)斜腔角位于 15°～60°時(shí)，主渦旋位置向右側(cè)偏移，而在75°～120°時(shí)，又向左側(cè)偏移，在135°～165°時(shí)再次向左側(cè)偏移；在垂直方向上，隨著雷諾數(shù)的增加，當(dāng)斜腔角位于 15°～45°時(shí)，主渦旋位置向上部偏移，而在60°～165°時(shí)，主渦旋位置向下部移動(dòng)。兩種雷諾數(shù)下，主渦旋的 x坐標(biāo)都在斜腔角 30°時(shí)達(dá)到最大值，并隨著斜角的增加而變小。在Re=100時(shí)，主渦旋的y坐標(biāo)在90°時(shí)取得極大值，而Re=1000時(shí)主渦旋的y坐標(biāo)在60°取得最大值。

比較圖7、8的流線分布可以看出，隨著雷諾數(shù)的增加，流場(chǎng)特征變化最大的集中在斜腔角 30°～60°，在 Re=100時(shí)流場(chǎng)的渦結(jié)構(gòu)主要由一個(gè)主渦構(gòu)成，而Re=1000時(shí)是明顯的兩個(gè)大渦結(jié)構(gòu)。在斜腔角處于120°～150°時(shí)，兩種流場(chǎng)主要差別集中在AB邊側(cè)。在Re=1000情況下的AB邊側(cè)能捕捉到明顯的渦結(jié)構(gòu)，而Re=100時(shí) AB側(cè)是較平滑的流線。對(duì)于斜腔角 15°和165°時(shí)，除了主渦位置外，兩種雷諾數(shù)下的流線并沒(méi)有顯示出明顯的性質(zhì)區(qū)別。

表4 不同斜腔角的主渦旋中心位置坐標(biāo)

6 結(jié)論

本文利用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù)，對(duì)雷諾數(shù)100和1000時(shí) 15°～165°范圍斜腔角的驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值模擬，得到的結(jié)論如下：

1）首次采用非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格方法對(duì)不同斜角驅(qū)動(dòng)流問(wèn)題進(jìn)行了研究。

2）本文計(jì)算結(jié)果與已有文獻(xiàn)結(jié)果比較表明，非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格對(duì)于那些只能用非正交結(jié)構(gòu)網(wǎng)格求解的問(wèn)題有很大的優(yōu)越性，使用較少的網(wǎng)格即可得到可靠的結(jié)果。

3）斜腔驅(qū)動(dòng)流中心線的速度受到雷諾數(shù)的影響比較大，速度分布會(huì)因雷諾數(shù)不同呈現(xiàn)性質(zhì)上的變化；相對(duì)而言，斜腔角度只對(duì)速度值大小有一定影響，但不會(huì)影響速度分布趨勢(shì)。

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Study on Unstructured Grids of Inclined Cavity Driven Flow with Different Angles

ZHAO Nan1,CHEN Xiao-wei1,DING Liang3
(1.Navy Representative office at Warship Design and Research in Shanghai,Shanghai 201001,China; 2.Marine Design & Research Institute of China,Shanghai 201011,China; 3.Shanghai Marine Equipment Institute,Shanghai 200031,China)

The inclined cavity driven flow with inclined cavity angles of 15°-165° is numerically simulated by using unstructured grid method at Reynolds number of 100 and 1000.First,its results are compared with the existing literature results.When using the grid number is 1/7 grid number of reference literature,the simulation results are in good agreement with results of literature.It indicates that the unstructured grid has great advantage for problems that can only be solved withNOn-orthogonal structured grids.Then,the driven flow filed of inclined cavity with large angle is predicted.The results can provide a reference for flow field study of different inclined cavity angles and has the certain significance for the design of similar industrial structures.

unstructured grid; advancing front method; SIMPLE algorithm; inclined cavity driven flow

V211

A

10.16443/j.cnki.31-1420.2015.03.009

趙楠，男，工程師。輪機(jī)工程專業(yè)。