魏巍，馮毅雄，程錦

(1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京100191;2.浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，杭州310027)

產(chǎn)品族設(shè)計(jì)是實(shí)現(xiàn)大批量定制的有效方式［1］，模塊化產(chǎn)品族與參數(shù)化產(chǎn)品族是當(dāng)前產(chǎn)品族設(shè)計(jì)領(lǐng)域的兩大分支.模塊化產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)策略主要是通過(guò)模塊單元的組合與變換來(lái)實(shí)現(xiàn)客戶需求的響應(yīng)，參數(shù)化產(chǎn)品族不改變產(chǎn)品的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，通過(guò)改變影響產(chǎn)品性能的設(shè)計(jì)變量的取值來(lái)設(shè)計(jì)出性能差異的產(chǎn)品.

在參數(shù)化產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)與優(yōu)化方法研究方面，目前的研究主要集中在面向單平臺(tái)的產(chǎn)品族設(shè)計(jì)方法及面向多平臺(tái)的產(chǎn)品族設(shè)計(jì)方法.Dai和Scoot［2］在產(chǎn)品族單平臺(tái)策略下，使用偏好聚合法在一個(gè)數(shù)學(xué)模型中集成描述參數(shù)化產(chǎn)品族的平臺(tái)常量和設(shè)計(jì)變量，提出了綜合考慮性能和成本指數(shù)的參數(shù)化產(chǎn)品族單階段設(shè)計(jì)方法，但該方法的求解效率有待提高.Nomaguchi等［3］根據(jù)信息的重要性與可用性，提出一種設(shè)計(jì)方法選擇矩陣進(jìn)行產(chǎn)品平臺(tái)設(shè)計(jì)，該方法對(duì)信息重要性的評(píng)斷值得商榷.Akundi等［4］建立了產(chǎn)品族性能敏感度評(píng)價(jià)指數(shù)，通過(guò)敏感度分析進(jìn)行產(chǎn)品平臺(tái)設(shè)計(jì)，該方法能夠有效提高產(chǎn)品平臺(tái)的通用性.Khajavirad等［5］研究了多平臺(tái)下產(chǎn)品族染色體表達(dá)方式及算法的交叉與變異算子，開(kāi)辟了產(chǎn)品族的多平臺(tái)求解思路.Kumar和Allada［6］模擬蟻群聚合規(guī)律，提出了基于多代理蟻群算法的參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)法，該方法成功地將蟻群算法應(yīng)用于產(chǎn)品族設(shè)計(jì)過(guò)程中.Alizon等［7］將價(jià)值分析技術(shù)應(yīng)用于產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)中，通過(guò)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣和性能指數(shù)評(píng)價(jià)進(jìn)行產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì).檀潤(rùn)華團(tuán)隊(duì)［8］提出了基于相似性分析與結(jié)構(gòu)敏感性分析的產(chǎn)品平臺(tái)設(shè)計(jì)過(guò)程模型.唐加福等［9］基于質(zhì)量功能配置，以最大化滿足客戶需求為優(yōu)化目標(biāo)，該方法提高了客戶需求滿意度.李中凱等［10］面向柔性產(chǎn)品平臺(tái)，提出了基于定量指數(shù)與聯(lián)合分析的產(chǎn)品族多目標(biāo)優(yōu)化方法，該方法面向柔性產(chǎn)品平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了產(chǎn)品族的多目標(biāo)優(yōu)化.

本文在以上學(xué)者研究基礎(chǔ)上，考慮到目前的產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)研究方法難以客觀地權(quán)衡產(chǎn)品平臺(tái)通用性和產(chǎn)品多樣化性能間的博弈關(guān)系，產(chǎn)品族自身結(jié)構(gòu)的穩(wěn)健性一般，提出參數(shù)化產(chǎn)品族遞進(jìn)式設(shè)計(jì)方法，對(duì)產(chǎn)品平臺(tái)通用性與產(chǎn)品實(shí)例性能進(jìn)行權(quán)衡優(yōu)化.優(yōu)化方法采用遞進(jìn)式的兩階段優(yōu)化設(shè)計(jì)策略，考慮到改進(jìn)的強(qiáng)度Pareto進(jìn)化算法(Strength Pareto Evolutionary Algorithm 2+，SPEA2+)適用于產(chǎn)品平臺(tái)的優(yōu)化求解，非支配排序多目標(biāo)遺傳算法(Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II，NSGA-II)算法適用于多個(gè)產(chǎn)品個(gè)體的并行優(yōu)化求解.因此，第一階段SPEA2+算法優(yōu)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)平臺(tái)，獲得產(chǎn)品族設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感度和變差指數(shù)，劃分平臺(tái)常量和設(shè)計(jì)變量得到穩(wěn)健的產(chǎn)品平臺(tái)，提高了產(chǎn)品平臺(tái)的通用性.第二階段采用NSGA-II對(duì)產(chǎn)品的多個(gè)性能進(jìn)行優(yōu)化，在已有的產(chǎn)品平臺(tái)基礎(chǔ)上優(yōu)化設(shè)計(jì)變量的取值，設(shè)計(jì)出性能最佳的產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案.

1 參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化模型

在參數(shù)化產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)中，一方面要在設(shè)計(jì)過(guò)程中考慮到產(chǎn)品平臺(tái)的通用性，另一方面要兼顧到產(chǎn)品的多樣化性能.通常來(lái)說(shuō)這二者之間存在著此消彼長(zhǎng)的相互博弈關(guān)系，針對(duì)二者間的作用關(guān)系，文獻(xiàn)［11］建立了以目標(biāo)的偏離程度為衡量標(biāo)準(zhǔn)的定量評(píng)價(jià)機(jī)制，分別建立了產(chǎn)品族設(shè)計(jì)平臺(tái)通用性目標(biāo)評(píng)價(jià)指數(shù)(Non Commonality Index，NCI)與產(chǎn)品族性能目標(biāo)的偏離指數(shù)(Performance Deviation Index，PDI)［11］.如圖 1 所示，在通用性與性能權(quán)衡的參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)模型中，NCI值越小，表示產(chǎn)品族設(shè)計(jì)平臺(tái)的通用性越高，PDI值越小，表示產(chǎn)品族的綜合性能越優(yōu).通過(guò)分析可以看出，綜合最優(yōu)的產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案分布在G區(qū)，最劣的設(shè)計(jì)方案分布在D區(qū)，參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)以同時(shí)減小產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案的NCI和PDI值為目標(biāo)，提高平臺(tái)通用性和產(chǎn)品性能，使得產(chǎn)品設(shè)計(jì)方案從D區(qū)演變到G區(qū).

圖1 通用性與性能權(quán)衡的參數(shù)化產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)模型Fig.1 Universality and performance balance optimization design model of parametric product family

2 參數(shù)化產(chǎn)品族遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 參數(shù)化產(chǎn)品平臺(tái)的設(shè)計(jì)

產(chǎn)品族中包括多個(gè)變量，首先區(qū)分這些變量的屬性進(jìn)行產(chǎn)品平臺(tái)的設(shè)計(jì)，產(chǎn)品平臺(tái)常量與設(shè)計(jì)變量的劃分結(jié)果直接影響到產(chǎn)品平臺(tái)的通用性.為了客觀地規(guī)劃產(chǎn)品平臺(tái)常量和設(shè)計(jì)變量，引入設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感度［12］和變差指數(shù)［13］進(jìn)行產(chǎn)品平臺(tái)常量與設(shè)計(jì)變量的劃分計(jì)算.

設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感度表征了參數(shù)的取值變化對(duì)產(chǎn)品性能變化的影響程度［12］，敏感度數(shù)值較小的參數(shù)對(duì)產(chǎn)品性能變化的影響相對(duì)較小，在參數(shù)化產(chǎn)品族遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，對(duì)于產(chǎn)品族中包括的多個(gè)變量參數(shù)，敏感度小的參數(shù)被設(shè)置為產(chǎn)品平臺(tái)常量，這些參數(shù)在平臺(tái)層進(jìn)行優(yōu)化，敏感度大的參數(shù)被設(shè)置為設(shè)計(jì)變量，這些參數(shù)需要在實(shí)例層進(jìn)行優(yōu)化.產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)的變差指數(shù)［13］用來(lái)衡量設(shè)計(jì)參數(shù)的變化程度.在設(shè)計(jì)產(chǎn)品平臺(tái)時(shí)，變差指數(shù)較小的設(shè)計(jì)參數(shù)被選作平臺(tái)常量，變差指數(shù)較大的設(shè)計(jì)參數(shù)被選作設(shè)計(jì)變量.

對(duì)各個(gè)參數(shù)敏感度的計(jì)算可以通過(guò)一階偏導(dǎo)［12］法求取.設(shè)產(chǎn)品族的性能目標(biāo)函數(shù)集合為F(x)={f1(x)，f2(x)，…，fm(x)}(m 為性能目標(biāo)的個(gè)數(shù))，在 x={x1，x2，…，xn}(n 為設(shè)計(jì)參數(shù)的個(gè)數(shù))時(shí)得到最佳設(shè)計(jì)結(jié)果，則產(chǎn)品Pk中第j個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)xj對(duì)第i個(gè)性能目標(biāo)的敏感度為

式中:Δxj為設(shè)計(jì)參數(shù)xj的微小變化;Δfi(x)為產(chǎn)品第i個(gè)性能受設(shè)計(jì)參數(shù)變化引起的波動(dòng).

建立產(chǎn)品Pk中所有設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)產(chǎn)品性能目標(biāo)fm(x)的敏感度矩陣為

則設(shè)計(jì)參數(shù)xj對(duì)產(chǎn)品性能i的全局敏感度為

式中:Mijk為第k個(gè)產(chǎn)品第j個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)xj對(duì)產(chǎn)品第i個(gè)性能的局部敏感度;H為產(chǎn)品實(shí)例數(shù).

產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)的變差指數(shù)可通過(guò)參數(shù)的均值和方差值求取，求取過(guò)程為

式中:dj為第j個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)xj的變差指數(shù);μj為第j個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)xj在產(chǎn)品實(shí)例中的均值;δj為第j個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)xj的方差值.

敏感度和變差指數(shù)都計(jì)算完畢后，需要設(shè)置敏感度的閾值λj和變差指數(shù)的閾值β，然后提取敏感度和變差指數(shù)都小于閾值的設(shè)計(jì)參數(shù)選作平臺(tái)常量，其他參數(shù)選作設(shè)計(jì)變量，如圖2所示，產(chǎn)品平臺(tái)常量為敏感度小于λj并且變差指數(shù)小于β的設(shè)計(jì)參數(shù)交集.

2.2 參數(shù)化產(chǎn)品族的遞進(jìn)式設(shè)計(jì)流程

建立參數(shù)化產(chǎn)品族的遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)流程.如圖3所示，首先確定產(chǎn)品族設(shè)計(jì)問(wèn)題的優(yōu)化目標(biāo)，建立相應(yīng)的產(chǎn)品族設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型.將參數(shù)化產(chǎn)品族遞進(jìn)式設(shè)計(jì)過(guò)程分為兩個(gè)階段，分別是第一階段的產(chǎn)品平臺(tái)優(yōu)化設(shè)計(jì)和平臺(tái)建立后第二階段的產(chǎn)品實(shí)例優(yōu)化設(shè)計(jì).針對(duì)SPEA2+與NSGA-II算法求解優(yōu)化問(wèn)題各自特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，提出SPEA2+與NSGA-II相結(jié)合的多目標(biāo)混合進(jìn)化算法.在產(chǎn)品平臺(tái)設(shè)計(jì)階段，采用SPEA2+算法［14］進(jìn)行優(yōu)化，通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感度分析和變差指數(shù)的計(jì)算進(jìn)行產(chǎn)品平臺(tái)常量和設(shè)計(jì)變量的選取，提高產(chǎn)品族的NCI值，增強(qiáng)產(chǎn)品平臺(tái)的通用性和穩(wěn)健性.在產(chǎn)品實(shí)例的設(shè)計(jì)階段采用NSGA-II算法［15］進(jìn)一步優(yōu)化產(chǎn)品實(shí)例的多個(gè)性能，提高產(chǎn)品族的PDI值.

圖2 參數(shù)化產(chǎn)品平臺(tái)的設(shè)計(jì)Fig.2 Parametric product platform design

圖3 參數(shù)化產(chǎn)品族遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.3 Parametric product family progressive optimization design process

3 基于混合進(jìn)化算法的產(chǎn)品族優(yōu)化

3.1 SPEA2+與NSGA-II混合進(jìn)化算法

參數(shù)化產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題通常是多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，考慮到傳統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)線性加權(quán)法不能保證設(shè)計(jì)結(jié)果的Pareto最優(yōu)性［15］，本文采用SPEA2+與NSGA-II相結(jié)合的多目標(biāo)混合進(jìn)化算法對(duì)產(chǎn)品族設(shè)計(jì)平臺(tái)及產(chǎn)品實(shí)例進(jìn)行優(yōu)化求解.

SPEA2+是改進(jìn)的強(qiáng)度Pareto進(jìn)化算法的改進(jìn)［14］，該算法不需要設(shè)置小生境算子，通過(guò)外部種群裁減機(jī)制來(lái)控制種群規(guī)模，具有較高的收斂速度，改進(jìn)算法具有解集分散特點(diǎn)，能夠獲得分布均勻的Pareto前沿，適用于產(chǎn)品平臺(tái)的優(yōu)化求解.

NSGA-II算法［15］基于非支配排序策略，通過(guò)擁擠距離計(jì)算和優(yōu)勢(shì)點(diǎn)的保持來(lái)獲取Pareto解前沿，該算法的特點(diǎn)是可以建立多線程的并行優(yōu)化機(jī)制，種群規(guī)模對(duì)算法求解時(shí)間影響較小，適用于多個(gè)產(chǎn)品個(gè)體的并行優(yōu)化求解.

針對(duì)以上兩種算法的特點(diǎn)，提出SPEA2+與NSGA-II相結(jié)合的多目標(biāo)混合進(jìn)化算法對(duì)參數(shù)化產(chǎn)品族進(jìn)行優(yōu)化，將兩種算法分別應(yīng)用到產(chǎn)品平臺(tái)優(yōu)化和產(chǎn)品實(shí)例性能優(yōu)化兩個(gè)過(guò)程，采用遞進(jìn)式優(yōu)化策略對(duì)產(chǎn)品族進(jìn)行優(yōu)化，混合進(jìn)化算法使用了兩類種群進(jìn)行求解，解決了同步進(jìn)化過(guò)程中引起的數(shù)據(jù)擾動(dòng)問(wèn)題，使得產(chǎn)品族設(shè)計(jì)優(yōu)化求解更有效.

3.2 多目標(biāo)混合進(jìn)化算法的求解流程

基于參數(shù)化產(chǎn)品族遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，建立多目標(biāo)混合進(jìn)化算法的求解運(yùn)算步驟如下:

步驟1 根據(jù)文獻(xiàn)［3］提出的方法，通過(guò)基因鏈來(lái)表達(dá)參數(shù)化產(chǎn)品族結(jié)構(gòu).

步驟2 初始化參數(shù)化產(chǎn)品族種群，設(shè)置初始種群規(guī)模數(shù)N，并根據(jù)種群規(guī)模隨機(jī)生成種群Pop.

步驟3 應(yīng)用SPEA2+算法優(yōu)化初始種群，得到設(shè)計(jì)方案的Pareto最優(yōu)解，根據(jù)基因鏈排列結(jié)構(gòu)得到各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)值.

步驟4 計(jì)算各個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的平均值、方差和變差指數(shù)，分析每個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的微小變化帶來(lái)的產(chǎn)品性能波動(dòng)，列出設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)產(chǎn)品性能的敏感度，并設(shè)定敏感度的閥值λ和變差指數(shù)的閥值β.

步驟5 根據(jù)敏感度和變差指數(shù)劃分產(chǎn)品平臺(tái)常量和設(shè)計(jì)變量，建立穩(wěn)健的產(chǎn)品平臺(tái)，降低平臺(tái)通用性目標(biāo)偏離指數(shù)NCI，提高產(chǎn)品平臺(tái)的通用性.

步驟6 在建立好的穩(wěn)健產(chǎn)品平臺(tái)上，根據(jù)步驟2的方法進(jìn)行種群初始化，建立NSGA-II的并行進(jìn)化機(jī)制，保持產(chǎn)品平臺(tái)常量不變，優(yōu)化產(chǎn)品平臺(tái)設(shè)計(jì)變量，求取產(chǎn)品Pareto前沿，降低產(chǎn)品族的性能目標(biāo)偏離指數(shù)PDI，優(yōu)化產(chǎn)品實(shí)例的多個(gè)性能，

步驟7 根據(jù)步驟6獲得的產(chǎn)品Pareto前沿，得到最佳解的基因鏈排列結(jié)構(gòu)，進(jìn)而推出產(chǎn)品最佳設(shè)計(jì)方案，并輸出設(shè)計(jì)結(jié)果.

4 實(shí)例應(yīng)用與算法對(duì)比分析

4.1 電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

電動(dòng)機(jī)在保持其產(chǎn)品平臺(tái)常量恒定，僅通過(guò)變化疊厚就能夠派生出不同輸出扭矩的系列化產(chǎn)品，是典型的參數(shù)化產(chǎn)品.其設(shè)計(jì)任務(wù)是設(shè)計(jì)輸出功率相同，但扭矩不同的8個(gè)電動(dòng)機(jī)組成的產(chǎn)品族.建立電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族設(shè)計(jì)問(wèn)題的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型［16］，兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)為:電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的效率η最高，同時(shí)優(yōu)化電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的質(zhì)量W最小.

建立電動(dòng)機(jī)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束條件［16］:

電動(dòng)機(jī)質(zhì)量:

電動(dòng)機(jī)效率:

電動(dòng)機(jī)扭矩:

式中:W1為定子質(zhì)量;W2為電樞質(zhì)量;W3為電圈質(zhì)量;t為定子厚度;ro為定子外徑;L為電動(dòng)機(jī)的疊厚;Awa為轉(zhuǎn)子線圈橫截面積;Awf為定子線圈橫截面積;Awire為導(dǎo)線橫截面積;Ns為定子磁極繞線扎數(shù);Nc為轉(zhuǎn)子繞線扎數(shù);ρ為銅導(dǎo)線電阻率;ρcopper為銅線密度;ρsteel為鐵密度;Pin為輸入功率;Pout為輸出功率;Ploss為功率損失;I為電流強(qiáng)度;Rs為電樞電阻;Ra為線圈電阻;Ф為磁通量;L為疊厚;lgap為空氣槽間隙.

為方便求解，用電動(dòng)機(jī)的效率損失代替效率，將電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族的設(shè)計(jì)模型轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)目標(biāo)最小值的多目標(biāo)約束優(yōu)化問(wèn)題.獲取電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的主要設(shè)計(jì)參數(shù)及其取值范圍如表1所示，獲取設(shè)計(jì)約束條件如表2所示.

表1 電動(dòng)機(jī)的主要設(shè)計(jì)參數(shù)及其取值范圍Table 1 Main design parameters and their ranges of electromotor

表2 電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的設(shè)計(jì)約束條件Table 2 Design constraints of electromotor product

4.2 電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族設(shè)計(jì)平臺(tái)優(yōu)化

第一階段通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)的敏感度進(jìn)行分析，并計(jì)算參數(shù)的變差指數(shù)，劃分出產(chǎn)品平臺(tái)常量和設(shè)計(jì)變量，建立通用性較高的產(chǎn)品平臺(tái).式(5)～式(8)建立了電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化的多目標(biāo)優(yōu)化模型，電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)的第一階段采用SPEA2+進(jìn)化算法求解模型，設(shè)定SPEA2+進(jìn)化算法的優(yōu)化群規(guī)模Pop=500，循環(huán)迭代數(shù)G=1000，設(shè)定算法的交叉概率Uc=0.6，算法的變異概率Um=0.05.改變電動(dòng)機(jī)的扭矩T，分別求得不同扭矩下電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品的Pareto集及綜合最優(yōu)點(diǎn)如圖4所示.

圖4 電機(jī)產(chǎn)品族優(yōu)化設(shè)計(jì)的Pareto集及綜合最優(yōu)點(diǎn)Fig.4 Pareto set of electromotor product family optimization design and the comprehensive best point

采用SPEA2+進(jìn)化算法對(duì)不同扭矩下的電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品進(jìn)行優(yōu)化求解，選取不同轉(zhuǎn)矩下電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)效率η和電動(dòng)機(jī)質(zhì)量W的局部敏感度，并按照式(3)計(jì)算其全局敏感度，計(jì)算結(jié)果如表3、表4所示.

根據(jù)式(4)計(jì)算各設(shè)計(jì)參數(shù)的均值、方差和變差指數(shù)，如表5所示.設(shè)定電動(dòng)機(jī)質(zhì)量的全局敏感度MGW閾值λ1=0.20，設(shè)定電動(dòng)機(jī)運(yùn)行效率的全局敏感度MGη閾值λ2=0.15，設(shè)定設(shè)計(jì)參數(shù)變差指數(shù)d的閾值β=10%.由設(shè)計(jì)結(jié)果可知，工作效率全局敏感度小于0.15的參數(shù)有{Awf，Awa，ro，t}，電動(dòng)機(jī)質(zhì)量的全局敏感度小于0.20的參數(shù)有{Awf，Awa，ro，t，I}，變差指數(shù)小于 10% 的參數(shù)為{Awf，Awa，ro，t}.選擇全局敏感度小于 λ2并且變差指數(shù)小于β的參數(shù)作為平臺(tái)常量，其余參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，得到電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品平臺(tái)常量集合{Awf，Awa，ro，t}和設(shè)計(jì)變量集合{L，Nc，Ns，I}，對(duì)于平臺(tái)常量的取值，可通過(guò)計(jì)算原數(shù)據(jù)中對(duì)應(yīng)參數(shù)的平均值獲得，計(jì)算結(jié)果為{I=4.1，Awf=0.35，t=5.6，Awa=0.22}.

表3 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)電動(dòng)機(jī)工作效率的敏感度Table 3 Sensibility of electromotor design parameters and efficiency

表4 設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)電動(dòng)機(jī)質(zhì)量的敏感度Table 4 Sensibility of electromotor’s design parameters and weight

表5 電動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)的均值、方差和變差指數(shù)Table 5 Mean value，variance and diversity factor of electromotor design parameters

4.3 電動(dòng)機(jī)實(shí)例產(chǎn)品的設(shè)計(jì)優(yōu)化

根據(jù)電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)流程，在第二階段，采用NSGA-II算法在已有的產(chǎn)品平臺(tái)基礎(chǔ)上進(jìn)一步優(yōu)化求解設(shè)計(jì)模型，采用與電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族遞進(jìn)式設(shè)計(jì)第一階段相同的運(yùn)算參數(shù)，優(yōu)化求取各電動(dòng)機(jī)的優(yōu)化結(jié)果如表6所示.

表6 電動(dòng)機(jī)實(shí)例產(chǎn)品設(shè)計(jì)優(yōu)化結(jié)果Table 6 Optimization result of electromotor design product instance

4.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)比

Simpson等［11］提出了參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)的(Product Platform Concept Exploration Method，PPCEM)方法，Dai等［2］提出了參數(shù)化產(chǎn)品族的單階段優(yōu)化方法.將本文提出的基于混合進(jìn)化算法的產(chǎn)品族遞進(jìn)式設(shè)計(jì)方法與上述兩種方法在同一運(yùn)算環(huán)境下進(jìn)行對(duì)比分析，表7為采用不同方法優(yōu)化電動(dòng)機(jī)質(zhì)量和效率的對(duì)比結(jié)果.為比較本文提出方法與PPCEM及單階段獨(dú)立優(yōu)化方法的求解效率與運(yùn)算性能，引用Pareto解的趨近前沿標(biāo)準(zhǔn)［17］和解集分散多樣性標(biāo)準(zhǔn)［15］.對(duì)于 Pareto 解的趨近前沿標(biāo)準(zhǔn)，趨近前沿度數(shù)值越大表征解集的收斂程性越好，對(duì)于解集分散多樣性標(biāo)準(zhǔn)，其數(shù)值越小表征解集的分散程度越佳.表8所示為不同算法求解獲得的Pareto解趨近前沿度、分散多樣性以及運(yùn)算時(shí)間的比較.

表7 混合進(jìn)化算法的產(chǎn)品族遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)方法與其他設(shè)計(jì)方法的結(jié)果對(duì)比Table 7 Comparison of product family progressive optimization design approach based on mix-evolution algorithm and other approaches

表8 不同算法獲得的結(jié)果比較Table 8 Comparison of results obtained by different optimization algorithms

綜合算法的對(duì)比結(jié)果可知，基于混合進(jìn)化算法的遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在解決參數(shù)化產(chǎn)品族設(shè)計(jì)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題上，能夠在獲得分布性和收斂性更好的Pareto解同時(shí)，縮短算法的運(yùn)算時(shí)間.

對(duì)于更為復(fù)雜的產(chǎn)品，隨著產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù)的增加，本算法在解的多樣性方面會(huì)有所提升，但收斂性會(huì)隨參數(shù)的增加而降低.

5 結(jié)論

1)本文提出了參數(shù)化產(chǎn)品族的遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，構(gòu)建了穩(wěn)健的產(chǎn)品平臺(tái).所提出的多目標(biāo)混合進(jìn)化算法，能夠在提高產(chǎn)品平臺(tái)通用性的同時(shí)優(yōu)化產(chǎn)品設(shè)計(jì)參數(shù).

2)混合進(jìn)化算法解決了同步進(jìn)化帶來(lái)的數(shù)據(jù)擾動(dòng)問(wèn)題，使得運(yùn)算求解更有效.通過(guò)與產(chǎn)品族PPCEM方法及單階段獨(dú)立優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的仿真結(jié)果對(duì)比分析，本文提出的基于多目標(biāo)混合進(jìn)化算法的遞進(jìn)式優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在解決電動(dòng)機(jī)產(chǎn)品族設(shè)計(jì)問(wèn)題上，能夠獲得更好的設(shè)計(jì)結(jié)果.

References)

［1］樊蓓蓓，紀(jì)楊建，祁國(guó)寧，等.產(chǎn)品族零部件關(guān)系網(wǎng)絡(luò)實(shí)證分析及演化［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào):工學(xué)版，2009，43(2):213-219.Fan B B，Ji Y J，Qi G N，et al.Demonstration analysis and evolution of parts relationship network for product family［J］.Journal of Zhejiang University:Engineering Science，2009，43(2):213-219(in Chinese).

［2］ Dai Z，Scoot M.Product platform design through sensitivity analysis and cluster analysis［J］.Journal of Intelligent Manufacturing，2007，18(1):97-113.

［3］ Nomaguchi Y，Askh?j A，Madsen K F，et al.Study on how to select appropriate design methods for product platform and family design［J］.Nihon Kikai Gakkai Ronbunshu，C Hen/Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers，Part C，2013，79:866-879.

［4］ Akundi S V K，Simpson T W，Reed P M.Multi-objective design optimization for product platform and product family design using genetic algorithms［C］∥Proceedings of ASME International Design Engineering Technical Conferences＆Computers and Information in Engineering Conference.167 Jalan Bukit Merah:American Society of Mechanical Engineers，2005，2B:999-1008.

［5］ Khajavirad A，Michalek J J，Simpson T W.A decomposed genetic algorithm for solving the joint product family optimization Problem［C］∥Proceedings of the 48th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures，Structural Dynamics，and Materials Conference.Reston:AIAA，2007，2:2111-2124.

［6］ Kumar R，Allada V.Scalable platforms using ant colony optimization［J］.Journal of Intelligent Manufacturing，2007，18(1):127-142.

［7］ Alizon F，Shooter S，Simpson T W.Improving an existing product family based on commonality/diversity，modularity，and cost［J］.Design Studies，2007，28(4):387-409.

［8］張換高，趙文燕，江屏，等.基于相似性與結(jié)構(gòu)敏感性分析的產(chǎn)品平臺(tái)設(shè)計(jì)過(guò)程模型［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48(11):104-118.Zhang H G，Zhao W Y，Jiang P，et al.Product platform design process model based on similarity and structural sensitivity analysis［J］.Mechanical Engineering，2012，48(11):104-118(in Chinese).

［9］李柏姝，唐加福，雒興剛.面向細(xì)分市場(chǎng)的產(chǎn)品族規(guī)劃方法及應(yīng)用［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2009，15(6):1055-1061.Li B S，Tang J F，Lou X G.Method and application of product family design for market niche［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2009，15(6):1055-1061(in Chinese).

［10］李中凱，朱真才，程志紅，等.基于聯(lián)合分析和定量指數(shù)的柔性產(chǎn)品平臺(tái)多目標(biāo)規(guī)劃方法［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2011，17(8):1757-1765.Li Z K，Zhu Z C，Cheng Z H，et al.Multiobjective planning for flexible product platform based on conjoint analysis and quantitative indices［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2011，17(8):1757-1765(in Chinese).

［11］ Simpson T，Seepersad C，Mistree F.Balancing commonality and performance within the concurrent design of multiple products in a product family［J］.Concurrent Engineering:Research and Applications，2001，10(11):1-14.

［12］ Scott M，Antonsson E.Using indifference points in engineering decisions［C］∥Proceedings of 2000 ASME Design Engineering Technical Conferences.167 Jalan Bukit Merah:American Society of Mechanical Engineers，2000:225-243.

［13］陳永亮，褚巍麗，徐燕申.面向可適應(yīng)性的參數(shù)化產(chǎn)品平臺(tái)設(shè)計(jì)［J］.計(jì)算機(jī)集成制造系統(tǒng)，2007，13(5):877-884.Chen Y L，Chu W L，Xu Y S.Adaptability-oriented parametric product platform design［J］.Computer Integrated Manufacturing Systems，2007，13(5):877-884(in Chinese).

［14］ Kim M，Hiroyasu T，Miki M.SPEA2+:Improving the performance of the strength Pareto evolutionary algorithm2［J］.Parallel Problem Solving from Nature-PPSN VIII，2004，3242:742-751.

［15］ Deb K，Pratap A，Agarwal S.A fast and elitist multi-objective genetic algorithm:NSGA-II［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2002，6(2):182-197.

［16］ Simpson T W，Maier J R，Mistree F.Product platform design:Method and application［J］.Research in Engineering Design，2001，13(1):2-22.

［17］ Zitzler E，Deb K，Thiele L.Comparison of multi-objective evolutionary algorithms:Empirical results［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2000，18(2):173-195.