李信飛

【摘 要】本文主要回顧了反德西特空間中帶電黑洞的相變研究進(jìn)展。黑洞是在理論上研究和實(shí)際觀測中的研究都具有重要意義。將黑洞看成一個熱力學(xué)系統(tǒng)，基于宇宙學(xué)常數(shù)作為黑洞壓強(qiáng)的觀點(diǎn)，使得黑洞熱力學(xué)第一定律獲得拓展，通過與范德瓦爾斯流體的物態(tài)方程類比，獲得黑洞的相變信息，并對黑洞相變其他方向做了相關(guān)展望，特備是黑洞蒸發(fā)的圍觀描述上需要更多物理機(jī)制。

【關(guān)鍵詞】宇宙學(xué)常數(shù) 反德西特黑洞 溫度

1 引言

最初宇宙學(xué)常數(shù)是愛因斯坦引入在愛因斯坦場方程中的，在實(shí)際觀測中，也發(fā)現(xiàn)宇宙學(xué)常數(shù)存在一個非常小的值。然而目前在觀測上的值與量子場論中計(jì)算的值，數(shù)量級相差懸殊，這引發(fā)了宇宙學(xué)常數(shù)的問題[1]。通常在量子場論的計(jì)算中，宇宙學(xué)常數(shù)來自于湯川耦合、規(guī)范耦合常數(shù)和牛頓常數(shù)等，在某種意義上宇宙學(xué)常數(shù)是一個動力學(xué)變量，而不是一個靜態(tài)的物理學(xué)變量。其次，宇宙學(xué)常數(shù)也是研究全息對偶中非常重要的物理參量，全息對偶是將一個2+1維的強(qiáng)關(guān)聯(lián)凝聚態(tài)模型對偶到一個3+1的反德西特空間（AdS）[2]，從引力獲得場論信息?；谏鲜鲈?，在實(shí)際觀測上和理論上研究宇宙學(xué)常數(shù)具有非常重要的意義。

2 研究進(jìn)展

在一個四維的帶電的AdS空間，Robert Mann等人在2012年提出，將負(fù)的宇宙學(xué)常數(shù)經(jīng)過參數(shù)化后，可以獲得與五維AdS空間的半徑相關(guān)的常數(shù)，因此看成黑洞壓強(qiáng)，經(jīng)過在此之前，這個思想先在宇宙學(xué)中獲得解釋。因此，在這個思想之下，可以獲得黑洞的物態(tài)方程，通過量綱上的匹配，可以等效寫出黑洞的體積。存在黑洞類似范德瓦爾斯流體一樣的性質(zhì)，在即大黑洞變成小黑洞。值得注意的是，這和83年霍金和佩吉提出的黑洞相變不同，霍金佩吉相變是黑洞到熱AdS空間的相變[3]，熱AdS空間并不是黑洞，是一個沒有時空奇點(diǎn)，而且將溫度作為額外維緊化的一個維度，這是兩者的最要的區(qū)別。在這中情況下，黑洞的質(zhì)量解釋為焓，而不是內(nèi)能。

我們首先考慮一個帶電的四維AdS空間，通過愛因斯坦場方程可求解出宇宙學(xué)常數(shù)與AdS半徑成平方反比的關(guān)系。在Robert Mann的觀點(diǎn)下，黑洞的熱力學(xué)第一定律增加對壓強(qiáng)的微分即，即M解釋為焓，而不是自由能，其中和是溫度和熵，和表示電勢和電荷，和P是表示體積和壓強(qiáng)，Ω和J表示轉(zhuǎn)動慣量和角動量。通過這個關(guān)系式和歐拉標(biāo)度不變性可以獲得ADM質(zhì)量。

下一個關(guān)鍵的步驟在于獲得黑洞溫度。在Schwarzschild坐標(biāo)下，漸近AdS空間的線元的平方寫成球?qū)ΨQ的形式，然后通過時間分量項(xiàng)對徑向求導(dǎo)獲得黑洞溫度，發(fā)現(xiàn)帶電荷那一項(xiàng)有和其它項(xiàng)有相反的符號。在經(jīng)典效應(yīng)內(nèi)，黑洞視界是一個只有信息墜入，光速也跑不出來的的地方，它的大小求解是通過令徑向分量分母為零，求解一個一元多次的方程來確定的，基于物理上的考慮，通常取這個方程的最大的根作為黑洞視界半徑；存在一些特殊黑洞，比如轉(zhuǎn)動黑洞，情況稍微復(fù)雜，我們只考慮一個靜態(tài)的黑洞；對于不同的黑洞，視界半徑可能沒有精確的解析解，只能通過數(shù)值辦法求解，比如超對成下帶毛黑洞。最后，將視界半徑的表達(dá)式帶入黑洞溫度中，并且用宇宙學(xué)常數(shù)與的AdS半徑關(guān)系一同代入黑洞溫度表達(dá)式，消去AdS半徑，從而獲得帶電的AdS黑洞的物態(tài)方程。

通過和范德瓦爾斯流體的物態(tài)方程的類比，獲得對應(yīng)態(tài)方程，我們可以獲得黑洞的相變的臨界指數(shù)，恰好與經(jīng)典范德瓦爾斯流體的臨界指數(shù)恰好相等。正是這種巧合促使許多關(guān)于求解各種黑洞臨界指數(shù)的研究；或許在某種程度上，許多研究人員向從半經(jīng)典引力方面來獲得黑洞信息，甚至做到和全息對偶原理類似的結(jié)果。此外，黑洞的自由能圖像和范德瓦爾斯流體自由能的圖像有許多類似的地方。Kubiznak等人將結(jié)果推廣到N維的靜態(tài)AdS空間中帶電的黑洞[4]，發(fā)現(xiàn)也出現(xiàn)相變，在壓強(qiáng)-溫度相變圖中，發(fā)現(xiàn)相變點(diǎn)隨著維度的增加單調(diào)抬高。其次Mo等人[5]結(jié)合經(jīng)典的Enfrest方案和PD比率證明那個臨界點(diǎn)是一個二階相變點(diǎn)，其次Jing等人在Mo的基礎(chǔ)上推廣到高維情境。

3 展望

目前很多種引力下的黑洞被研究過熱力學(xué)的相變，并獲得了它們的臨界指數(shù)。但是目前研究很少關(guān)注黑洞熱漲落的問題。實(shí)際上黑洞熵存在熱漲落[6]，通過對黑洞熵的修正，可以唯象地研究等壓比熱容、等溫膨脹系數(shù)和絕熱壓縮系數(shù)，這是一種考察AdS黑洞穩(wěn)定的一種方式。其次，通過范德瓦爾斯流體性質(zhì)，也可以再次類比獲得黑洞的熱漲落信息。

參考文獻(xiàn)：

[1]S. Weiberg. The cosmological constant problem. Rev. Mod. Phys.， 61（1989）1.

[2]J. M. Maldacena， The Large N limit of superconformal field theories. and supergravity， Int. J. Theor. Phys. 38， （1999），1113.

[3]S. W. Hawking and D. N. Page， Thermodynamics of Black Holes in anti-De Sitter Space， Commun. Math. Phys. 87 （1983） 577.

[4]D. Kubiznak and R. B. Mann， P-V criticality of charged AdS black holes， JHEP 1207 （2012） 033.

[5]J. X. Mo and W. B. Liu， Ehrenfest scheme for P-V criticality in the extended phase space of black holes， Phys. Lett. B 727 （2013） 336.

[6]S. Carlip， Logarithmic corrections to black hole entropy from theCardy formula， Class. Quant. Grav. 17 （2000） 4175.