郗篤富

【摘 要】經(jīng)典場論的發(fā)展部分地起源于麥克斯韋方程組的發(fā)現(xiàn)，雖然在有些現(xiàn)象的預測的上麥克斯韋方程組不夠準確，但是沒有人能否認它在經(jīng)典物理學中的地位。量子電動力學等量子場論都是從系統(tǒng)的拉格朗日量出發(fā)對系統(tǒng)進行分析。通過計算，我們可以將麥克斯韋方程組和自由電磁場的拉格朗日量聯(lián)系在一起，并得到一個新的二階一般拉格朗日量。通過對這個拉格朗日量的分析，我們可以尋找研究其它更廣泛正則約束系統(tǒng)的方法。

【關鍵詞】麥克斯韋方程組 比安基恒等式 約束正則系統(tǒng)

麥克斯韋在前人的基礎上將電磁規(guī)律總結為方程組，以極其簡潔的形式概括了相關的電磁規(guī)律，揭示了電磁相互作用的統(tǒng)一，并以此為基礎建立了經(jīng)典場論。雖然麥克斯韋的方程組很好地揭示了電場與磁場之間優(yōu)美的對稱性，準確預測了電磁波的存在，但是在其他一些現(xiàn)象的預測上仍存在一些缺陷。后來發(fā)展起來的量子電動力學（QED）在一些方面的研究中逐漸取代了經(jīng)典場論。人們開始認識到：麥克斯韋方程組可以看作是量子力學在經(jīng)典情況下的近似。量子電動力學是量子場論中發(fā)展時間最長也最為成功的一個理論，它完美地結合了量子力學和廣義相對論。在電磁相互作用、帶電粒子的產(chǎn)生和湮沒等方面，量子電動力學實現(xiàn)了理論預測與實驗數(shù)據(jù)的吻合，并給出了光與物質相互作用的本質[1]。在與此相關的理論研究中，研究者們一般都是從拉格朗日量出發(fā)，因此可以看出對于系統(tǒng)拉格朗日量的分析是大多數(shù)研究的基礎和前提。

1導出麥克斯韋方程組的拉格朗日量

無論是在愛因斯坦場還是阿貝爾規(guī)范場中，比安基恒等式都有很重要的應用。從阿貝爾規(guī)范場的比安基恒等式出發(fā)，我們可以得到麥克斯韋方程組中的兩個基本方程。在這個過程中，我們需要慎重考慮指標的升降問題，因為在電動力學中，我們一般都將指標寫成下指標，而在場論中，我們需要考慮指標的收縮問題。對于麥克斯韋方程組中的另外兩個方程，我們可以通過把比安基恒等式作為約束補充到自由電磁場的拉氏量中，并求解該拉格朗日量的運動方程得到。在這里的運算中，我們要保持運算的自洽性，也就是要由與前面得出兩個方程的定義相一致的條件得出麥克斯韋方程組的后兩個方程。對自由電磁場的拉氏量進行補充后，我們得到了一個新的二階一般拉氏量。通過計算它的Hess矩陣，我們可以知道它的Hess矩陣是退化的，也就是說這個拉格朗日量是奇異的。它所描述的動力學系統(tǒng)是一個存在固有約束的正則哈密頓系統(tǒng)。我們還可以將這一部分加入到旋量電動力學的拉氏量中，得到的也是一個奇異拉氏量。旋量電動力學拉格朗日量描述的是自旋1/2的粒子與電磁場相互作用的系統(tǒng)，它本身的拉氏量也是奇異的。含有奇異拉格朗日量的系統(tǒng)在自然界中很常見，引力場、電磁場、超對稱、超引力和超弦理論等都屬于這類系統(tǒng)[2][3]，所有規(guī)范不變的的系統(tǒng)也都是用奇異拉格朗日量來描述的。因此對于這樣一個系統(tǒng)的研究可以有廣泛的應用。

2 拉格朗日量的特點

對于這種系統(tǒng)的量子化和正則對稱性質的分析，目前已經(jīng)有了比較完整的闡述[4]。從狄拉克對動力學齊次變量的分析開始，Bergmann等人闡述了約束和不變性關系。他們的研究為約束系統(tǒng)的量子化奠定了基礎。Shanmugadhasan和Kamimura分別探究了奇異性對拉格朗日方程的影響和拉格朗日約束與哈密頓約束的關系。而Sudarshan和Mukunda等人，也曾經(jīng)從數(shù)學的角度出發(fā)，分析了狄拉克括號的結構?，F(xiàn)代物理學中的約束正則系統(tǒng)在現(xiàn)代量子場論中起到了很重要的作用。

3對拉格朗日量的分析

對于我們前面得到兩個的拉氏量，我們不能采取傳統(tǒng)或者簡單的高階微商拉氏量的量子化方法。因為這個拉氏量中含有矢勢的一次項和二次項，是一個一般的二階拉氏量。傳統(tǒng)的正則量子化方法中，需要通過線性組合獲得最大數(shù)目的第一類約束，這種方法在這里不能使用。因為通過這個方法獲得的第一類約束形式可變，數(shù)目不能確定，會干擾我們在量子化中得到的結果。而一般的高階微商場論的量子化方法是針對時間的高階項進行的，與我們的拉格朗日量中含有的對矢勢的二階項有很大不同。通過正則動量的定義，我們可以得到系統(tǒng)的初級約束，然后我們根據(jù)初級約束的自洽性條件，可以得到與一般約束系統(tǒng)不同的次級約束。

根據(jù)系統(tǒng)的初級約束、次級約束和正則Hamilton量，我們可以寫出系統(tǒng)的總Hamilton量。只有在得到系統(tǒng)的所有初級約束和次級約束后，我們才可以判斷系統(tǒng)的約束屬于第一類約束還是第二類約束。通過分析，可以發(fā)現(xiàn)將比安基恒等式補充到電磁場的拉格朗日量中后得到的二階拉格朗日量在量子化過程中會得到三個初級約束中，兩個次級約束。初級約束中有一個第一類約束，兩個第二類約束。加上次級約束中一個第一類約束，我們就得到了兩個第一類約束。要完成該系統(tǒng)的量子化，確定系統(tǒng)的演化，針對兩個第一類約束，我們需要選擇兩個合適的規(guī)范固定條件進行量子化。而在將比安基恒等式補充到旋量場的拉格朗日量中后，我們得到的二階拉氏量所描述的系統(tǒng)只有一個第一類約束。同樣，我們通過選取的規(guī)范固定條件可以將第一類約束轉變?yōu)榈诙惣s束，消除變量的規(guī)范自由度。

4結語

針對能導出麥克斯韋方程組的拉格朗日量，我們進行了詳細的分析。通過上面的嘗試，我們得到了一系列的約束和規(guī)范固定條件。由所有約束與規(guī)范固定之間的泊松括號，我們可以得到一個泊松括號矩陣，這個矩陣是一個反對稱的方陣。利用該矩陣的逆矩陣就可以構建狄拉克括號，實現(xiàn)系統(tǒng)的量子化。因此這個由約束和規(guī)范的泊松括號組成的矩陣必須是非退化的。也就是所有約束與規(guī)范固定之間的泊松括號構成的矩陣的秩不能為零。在最后構建出的狄拉克括號中，有些不為零的狄拉克括號，其中有些式子會與自由電磁場在輻射規(guī)范下的狄拉克括號相同，其它的則是我們得到的新結果。

參考文獻：

[1]Feynman， Richard （1985）. QED： The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12575-6.

[2]J.L. Anderson， P.G. Bergmann， Phys. Rev.83，1018（1951）.

[3]P.G. Bergmann， J. Goldberg， Phys. Rev.98，531（1955）.

[4]M. Henneaux， C. Teitelboim， Quantization of Gauge Systems（Princeton University Press， Princeton，1992）.