李成麗 楊靜靜 李海萍 張 妮

基于數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)意平板折疊桌的加工設(shè)計(jì)研究

李成麗 楊靜靜 李海萍 張 妮

（興義民族師范學(xué)院， 貴州 興義 562400）

基于數(shù)學(xué)建模思想，利用Lingo軟件處理數(shù)據(jù)，充分整合了數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及美學(xué)等多學(xué)科知識(shí)，具有較強(qiáng)的創(chuàng)新性。根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，能使桌子滿足造型及靈活度上的要求，減少了誤差，最后給出了創(chuàng)意平板折疊桌的動(dòng)態(tài)展示圖。

數(shù)學(xué)建模；折疊桌；加工設(shè)計(jì)；LINGO

一、問(wèn)題的提出

桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板（見(jiàn)圖1、圖2）。

圖1

圖2

桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度（見(jiàn)圖3）。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。

圖2

1.給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cm×50cm×3cm，每根木條寬2.5cm，連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。試建立數(shù)學(xué)模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如，桌腿木條開(kāi)槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。

2.折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求，討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開(kāi)槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70cm，桌面直徑80cm的情形，確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。

3.公司計(jì)劃開(kāi)發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。

二、模型假設(shè)

1.假設(shè)從最外側(cè)到中間的桌腳長(zhǎng)差距大小為等差數(shù)列且用于連接桌腳的鋼筋固定于最外側(cè)桌腳木條的中心位置。

2.假設(shè)最外側(cè)四條桌腳與地面接點(diǎn)間連線呈矩形。

3.木板各部分成分均勻，是理想材料，幾何參數(shù)一致，不存在加工上的困難；

4.桌腿相互間接觸，不存在間隙

三、符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)符號(hào)的意義hi 第i根木條上的鋼筋到對(duì)應(yīng)木條頂點(diǎn)的垂直距離mi 第i根木條對(duì)應(yīng)的桌腳到桌面圓心的距離b桌面的木條及桌腿的寬度n桌面的木條根數(shù)Y0 最內(nèi)側(cè)木條所在的Y軸坐標(biāo)θ1 第一根桌腿轉(zhuǎn)過(guò)的角度，也等于與地面所成的夾角θi 第i根桌腿轉(zhuǎn)過(guò)的角度Li 第i根桌腿的長(zhǎng)度D桌面圓的直徑

桌面厚度（即板厚度）ιi` 桌面第i根木條的長(zhǎng)度Hi 第i根桌腿上開(kāi)槽的長(zhǎng)度αi 第i根桌腿上開(kāi)槽的頂點(diǎn)到桌腿頂端的距離x鋼筋在第一根桌ι腿上，距離桌腿底端的距離Z0 表示最內(nèi)側(cè)木條所在的Z軸坐標(biāo)d

四、模型的建立與求解

問(wèn)題一：該問(wèn)題已經(jīng)給出木板的尺寸，只需通過(guò)木板的尺寸及要求通過(guò)建立模型得出此桌子折疊的動(dòng)態(tài)過(guò)程，同時(shí)可以得出設(shè)計(jì)加工參數(shù)以及邊緣腳的曲線函數(shù)。

最外側(cè)桌腳長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，其與地面夾角為60°，木條寬為2.5cm，根據(jù)勾股定理求得L1=57.74cm，k=4.52cm.（如圖4）

圖4

最短木條L10=35cm，因連接桌腳木條的鋼筋固定在最外側(cè)木條中心位置且木條長(zhǎng)度差呈等差數(shù)列，故有，從第十根桌腳到最外側(cè)桌腳（以下凡是涉及桌腳位置的均以最外側(cè)的桌腳為第一根）的等公差d=L1-L10/=2.52。

由以上數(shù)據(jù)可分別得出木條長(zhǎng)度：L1=57.74，L2=55.22，L3=52.70,L4=50.18，L5=47.66,L6=45.4，L7=41.62，L8=40.10,L9=37.58，L10=35.06(誤差均以四舍五入取值)。

圖5

圖6

設(shè)當(dāng)折疊成桌子的時(shí)候最短木條上移H10,（即開(kāi)槽最大距離）。如圖5所示，從最短木條頂點(diǎn)C連接桌面中心O，從最長(zhǎng)木條頂點(diǎn)A作OC的垂線,垂點(diǎn)為B，qD為鋼筋所處位置，連接qC，qB，qA,qA=L1/2，qD=AB=m10=r=25cm,Bc=n10=r-k/2=22.74cm,h10=L10-L1/2=6.13cm（如圖 6），由勾股定理解得H10=11.66cm第九根木條長(zhǎng)為37.58cm,設(shè)其中心上移為H9，h9=8.71cm，(如圖7)從第九根作OC的平行線交AB于點(diǎn) G，連接 Fq，Eq=AG=m9=r-k=22.50cm，F(xiàn)G=nq=n10-d=20.22cm， (L1/2)2+=+ （h9+H9）2+，化簡(jiǎn)得 28.872=20.222+ （8.71+H9）2，通過(guò)LINGO軟件解得 H9=11.9cm，H8=11.58,H7=10.81cm,H6=9.48cm,H5=8.09cm,H4=6.42cm,H3=4.

圖7

圖8

51cm,H2=2.37cm。如圖8所示，以兩側(cè)木條桌腿連線為X軸，垂直于其中線水平方向?yàn)閅軸，垂直于水平方向?yàn)閅軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)Z點(diǎn)坐標(biāo)為（0，Y0，Z0），由上面可知 WS=CK,,DZ=17.21cm,DB=28.87cm，DC=17.79cm，CB=22.74cm。 如 圖 所 示 ，CDB 與ZDB相似。因此求出ZW=22.00cm。又由于CDKZDS相似，可得因?yàn)镃K=WS=ZW-ZS,代入求得ZS=10.80cm，所以 Y0=10.80cm。則 CK=WS=11.20cm。根據(jù)題意，DQ=25cm.由于余弦定理得。=（DS2+ZS2-DZ2）(2*DS*ZS)，根據(jù)LINGO軟件求得DS=6.61cm，ZO=SQ=DQ-DS=18.39cm。根據(jù)勾股定理，代入求得QZ=21.60cm。

將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面，如圖9所示以q1q2所在的直線為X軸，以QZ所在的直線為Y軸建立直角坐標(biāo)系。已知曲線上三點(diǎn)：q1（25,0），q2（-25,0），QZ（0，21.60）。設(shè)方程為 y2=a（x-25）（x+25）將 QZ點(diǎn)坐標(biāo)代入解得 a=-0.75。所以方程為 y2=-0.75（x-25）（x+25）化簡(jiǎn)得3x2+4 y2-1875=0。

圖9

問(wèn)題二：構(gòu)建立體直角坐標(biāo)系，以圖中（0,0,0）點(diǎn)（桌面邊緣，中軸線正下方，地面上）為坐標(biāo)原點(diǎn)，在人面對(duì)桌子坐著的時(shí)候，右側(cè)x軸正方向，右側(cè)為Y軸正方向，正上方為X軸正方向；再假設(shè)人坐在椅子上時(shí)，腹部到桌面距離為C，那么人的腹部中心（0，-c,b）點(diǎn)；由于人有兩條腿，假設(shè)大腿外側(cè)距離大腿內(nèi)側(cè)為d，那么人的右大腿外側(cè)位于（d,-c,b），左大腿的大腿外側(cè)位于（-d,-c,b）.假設(shè)人的腳一直緊貼地面，那么可以設(shè)右腳的坐標(biāo)是（x,y,0）,左腳的坐標(biāo)是(-x,y,0)，右膝蓋的坐標(biāo)是（x1，y1,z1）,左膝蓋的坐標(biāo)是（-x1,y1,z1）,且

可以根據(jù)大腿長(zhǎng)度、小腿長(zhǎng)度、人坐在椅子上時(shí)腹部到桌面的距離等參數(shù)算出（x1，y1,z1）、（-x1,y1,z1）、（x,y,0）、（-x,y,0）的外側(cè)極限，從而得到桌子支起來(lái)后，木條必須離開(kāi)的區(qū)域。

如果技術(shù)滿足不了，則放寬要求，只求人的腿緊閉或伸得不太開(kāi)時(shí)腿不能接觸木條的條件下（x1,y1,z1）、（-x1,y1,z1）、（x,y,0）、（-x,y,0）的外側(cè)極限。

對(duì)于桌高70cm，桌面直徑80cm的情形。應(yīng)用材料最少的要求，方形平板，得出直徑為80cm，半徑為40cm。可設(shè)想每根木棒寬度為4cm，共80/4=20根。設(shè)木板總長(zhǎng)度為X，最邊緣木棒長(zhǎng)度為：

X/2-=X/2-≈X/2-12.5，先不考慮桌面厚度的情況下，要求桌面高度為 70cm，即：X/2-12.5≥70，且X≥165，同時(shí)需要有一定的傾角以固定穩(wěn)定性，在考慮桌面厚度的情況下，桌腳長(zhǎng)度可取170cm，得出建議使用桌面規(guī)格長(zhǎng)170cm，寬80cm。

又設(shè)每根木條寬度為，木條根數(shù)為S=（）最短邊長(zhǎng)度為l10=a-b/2=45.又桌腳間距離成等差數(shù)列固有公差d=3.98cm，由此可得以下數(shù)據(jù)：

l1=80.83，l2=76.85，l3=72.87，l4=68.89，l5=64.91，l6=60.93，l7=56.95，l8=52.9，l9=48.99，l10=45.01（單位：

第九根木條的長(zhǎng)度為48.99cm，設(shè)折疊成桌子時(shí)，木 條 上 移 H9，AG=r-x=(40-x)，F(xiàn)G=BC-d=32.02，h9=l9-l1/2=40.415，qa=40.42cm， 由 勾 股 定 理 得Aq2=FG2+(h9+H9)2求得H9=16.09cm，以此類推，H8=16.61cm，H7=15.94cm，H6=14.56cm，H5=12.58cm，H4=10.08cm，H3=7.13cm，H2=3.77cm，所以對(duì)于桌面直徑為80cm的情況下，長(zhǎng)方形平板的尺寸為170。鋼筋位于最外側(cè)木條的中心位置。從最外側(cè)到最中間的木條開(kāi)槽長(zhǎng)度分別為H10=13.79cm，H8=16.61cm，H7=15.94cm，H6=14.56cm，H5=12.58cm，H4=10.08cm，H3=7.13cm，H2=3.77cm。

問(wèn)題三：我們?cè)O(shè)定桌子的高度為65cm，桌面邊緣線為半長(zhǎng)軸為30cm，半短軸為20cm，即厘米cm）鋼筋位置位于最外側(cè)木條中心位置，如圖10所示，從最短木條頂點(diǎn)A作OC的垂線垂直于B，連接AB，qD為鋼筋所處的位置，連接qC，qB，qA，設(shè)折疊成桌子時(shí)最短木條上移H10（即為開(kāi)槽最長(zhǎng)距離）

由勾股定理得

解得 H10=13.79cm

①對(duì)賦值，令x=0，則|y|=30cm，D=60cm。即平板的寬度為60cm。

③求出所有的木條長(zhǎng)度 和 ，其中 要用到θ1這個(gè)變量來(lái)表示。這里i=1,2，…..12。

第一根桌腿的長(zhǎng)度：

④通過(guò)對(duì)四個(gè)方程的整合，得到下式：

⑤通過(guò)對(duì)兩個(gè)方程的整合，得到下式：

及下式：

利用MATLAB軟件計(jì)算槽長(zhǎng)度之和取最小值，得到θ1為90°，x為28.3cm是最優(yōu)的加工參數(shù)。計(jì)算出所有的桌腿的長(zhǎng)度 、開(kāi)槽長(zhǎng)度 、槽的頂部到桌腿的頂部的距離 ，如下表所示：

i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 62.5 58.5 56 54.1 52.6 51.4 50.4 49.7 49.1 48.7 48.35 48.2 0 4.1 6.9 9.1 11.0 12.5 13.8 14.7 15.5 16.0 16.4 16.6 34.2 30.2 27.7 25.8 24.3 23.1 22.1 21.4 20.8 20.4 20.1 19.9

最后，我們得到創(chuàng)意平板折疊桌的動(dòng)態(tài)展示圖，如圖11所示。

圖11

五、小結(jié)

本項(xiàng)目基于數(shù)學(xué)建模思想，利用Lingo軟件處理數(shù)據(jù)，通過(guò)Photoshop軟件畫(huà)出研究過(guò)程中所產(chǎn)生的圖片，充分整合了數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)及美學(xué)的多學(xué)科知識(shí)，具有較強(qiáng)的創(chuàng)新性。根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀，能使桌子滿足造型及靈活度上的要求，減少了誤差，最后給出了創(chuàng)意平板折疊桌的動(dòng)態(tài)展示圖。

比起普通折疊桌，本項(xiàng)目研究的折疊桌方便收放攜帶且造型獨(dú)特美觀，可作為外出野餐野營(yíng)等的最佳伴侶，造型美觀且可收放因此可用作擺設(shè)，又可作為餐桌、咖啡桌，不占空間使用價(jià)值卻極高，無(wú)論是房屋里面、茶餐廳還是狹窄的空間又或是野外草地上均可使用，所謂物超所值，既能給人以美的享受，又能在使用方面帶來(lái)極大的便捷。

不足的是，模型考慮到桌面邊緣線的曲線已經(jīng)桌角邊緣線的函數(shù)曲線，不易獲取。應(yīng)用函數(shù)擬合只能大體上估計(jì)，存在一定的偏差，得出的桌腳邊緣線函數(shù)不夠精確。

本模型的改進(jìn)方向是，應(yīng)該進(jìn)一步考慮外界對(duì)其的影響，木板的尺寸應(yīng)易于存放，采用適用最廣泛最實(shí)惠的木材進(jìn)行加工，考慮折疊桌的用途估算出其受載，再建立數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出模型結(jié)構(gòu)。

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].高等教育出版社，2007.

[2]袁新生,邵大宏，郁時(shí)煉.LINGO和Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M].科學(xué)出版社，2013.

[3]王紅衛(wèi).PS摳圖秘技[M].機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].高等教育出版社，2011.

[5]同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院.材料力學(xué)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2010.

Study On Processing Design Flat Folding Table Based On Mathematical Modeling

LICheng-li YANG Jing-jing LIHai-ping ZHANG Ni
（Xingyi Normal University for Nationalities,Xingyi,Guizhou 562400,China）

Based on the ideaof mathematical modeling,using Lingosoftware toprocessdata,the full integration of multidiscipline knowledgeof mathematics,computer and aesthetics,with astronginnovation.According to thegeneral shapeof folding tableheight,arbitrarilysetthedesktop clientedge lineshapesizeand the footofthetableedge,theshapeand thesizeoftheplatematerialand practicaloptimaldesignofmachiningparameters,the folding table isproduced ascloseaspossible to thecustomersof thedesired shape,canmeetrequirementsoftableshapeand flexibilitydegree,reducetheerror,thecreativeflatfoldingtabledynamicdisplaychartaregiven.

mathematical modeling of LINGO process design of folding table

1009—0673（2015）02—0110—07

O29

A

2015—01—01

興義民族師范學(xué)院2014年大學(xué)生項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：14XYXS13，本項(xiàng)目獲2014年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽貴州賽區(qū)二等獎(jiǎng)。）

李成麗（1995— ），女，貴州織金人，興義民族師范學(xué)院信息技術(shù)學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)2012級(jí)學(xué)生；指導(dǎo)教師：張妮（1982— ），女（壯族），廣西南寧人，興義民族師范學(xué)院信息技術(shù)學(xué)院副教授，教育學(xué)碩士，主要從事信息與計(jì)算科學(xué)的教學(xué)和研究。

責(zé)任編輯：李玨