趙偉霞， 董全林， 孫茂多， 丁 瑩， 楊婭姣， 黨玉杰

（北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

一種圓鞍形磁屏蔽線圈的設(shè)計(jì)與性能研究

趙偉霞， 董全林， 孫茂多， 丁 瑩， 楊婭姣， 黨玉杰

（北京航空航天大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京 100191）

以畢奧-薩伐爾定律為基礎(chǔ)，推導(dǎo)了一種圓鞍形線圈在空間任意點(diǎn)處的磁場分布表達(dá)式，優(yōu)化了一種線圈結(jié)構(gòu)，證明了圓鞍形線圈可以產(chǎn)生一定區(qū)域的穩(wěn)恒磁場，并定量地給出了線圈內(nèi)部磁場的空間分布情況。所設(shè)計(jì)線圈產(chǎn)生的磁場中，1%均勻度的磁場均勻區(qū)占軸上區(qū)域的28%，0.1%均勻度的磁場均勻區(qū)占軸上區(qū)域的10%；在1 mA的電流下，單圈線圈最大磁場補(bǔ)償值為15 nT，相對偏差量不超過0.14 nT，驗(yàn)證了所推導(dǎo)表達(dá)式的正確性，為多維磁場補(bǔ)償系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究提供了理論依據(jù)和參考。

計(jì)量學(xué)；穩(wěn)恒磁場；畢奧-薩伐爾定律；圓鞍形線圈；磁屏蔽

1　引 言

在原子陀螺、電子顯微鏡、超冷原子團(tuán)溫度和密度測量、超高靈敏度磁強(qiáng)計(jì)等許多精密測量領(lǐng)域中，地磁場、雜散磁場等環(huán)境磁場會引起測量誤差［1～3］，因此需要進(jìn)行補(bǔ)償和屏蔽。目前廣泛采用的是磁場產(chǎn)生系統(tǒng)，它利用3組軸心線互相垂直的線圈組，通以適當(dāng)?shù)姆€(wěn)恒電流，沿3個不同方向產(chǎn)生可控穩(wěn)恒磁場與外部磁場矢量疊加抵消，使預(yù)定區(qū)域達(dá)到零磁場（磁場強(qiáng)度微弱）的效果，從而屏蔽環(huán)境磁場的影響［4］。

磁場產(chǎn)生系統(tǒng)的主體是產(chǎn)生磁場的線圈，用來描述線圈的指標(biāo)有線圈常數(shù)和磁場均勻度［5］。線圈常數(shù)是指線圈中心產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度與通入的電流強(qiáng)度之比，反映了線圈產(chǎn)生磁場的能力；磁場均勻度是指一定半徑球面上的磁場與圓心處磁場的相對變化量，反映了線圈磁場的均勻性。可產(chǎn)生均勻磁場的線圈有螺線管形、方形、環(huán)形、矩鞍形等線圈。傳統(tǒng)的螺線管線、方形、環(huán)形線圈結(jié)構(gòu)龐大，不易安裝，而鞍形線圈相較其他線圈可使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡化、體積減小、安裝方便、耗能降低，非常適用于原子陀螺、原子鐘等需要微小結(jié)構(gòu)的磁屏蔽系統(tǒng)。另外由于矩鞍形線圈特有的異型形狀切合圓柱形人體，因此在無線內(nèi)窺鏡、核磁共振成像等醫(yī)療領(lǐng)域得到應(yīng)用［6～8］。

由于矩鞍形線圈存在不易繞制、拐角處易偏移和漆包線涂層破損等情況，本文考慮了不存在直形拐角的圓鞍形線圈，研究其內(nèi)部任意點(diǎn)處的磁場變化情況，并進(jìn)行仿真驗(yàn)證，避免直形拐角存在，提高磁場精度，為其在原子陀螺、電子顯微鏡等領(lǐng)域的應(yīng)用開辟一條新的設(shè)計(jì)方法。

2　圓鞍形載流線圈的空間磁場分析

2.1圓鞍形載流線圈空間磁場理論計(jì)算

圓鞍形是圓形緊貼柱面上彎曲后形成的馬鞍形狀，如圖1所示。以對稱放置的圓鞍形載流線圈S1、S2的中心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，穿過線圈圓心O1、O2的方向?yàn)閤軸，向右垂直O(jiān)1O2的方向?yàn)閥軸，z軸垂直于xOy平面。

圖1　圓鞍形載流線圈坐標(biāo)圖

圖2　未彎曲前的線圈形狀

圖3　線圈電流元在場點(diǎn)處磁場分布示意圖

式中，μ0為真空磁導(dǎo)率，單位是H·m-1；R為電流元到場點(diǎn)的距離，單位是m；I為線圈電流，單位是A；B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，單位是T。

由式（1）～（3）可得單側(cè)線圈S1在空間任意一點(diǎn)產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場強(qiáng)度為：

同理可求得中心線放置在x軸負(fù)半軸的圓鞍形線圈S2產(chǎn)生的空間磁場強(qiáng)度。單側(cè)線圈S2在空間任意一點(diǎn)各方向產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度為：

式（4）～式（9）中，μ0為真空磁導(dǎo)率，I為線圈通入的電流，R0為彎曲前圓形線圈的半徑，R為彎曲后圓鞍形線圈柱體的半徑，r2=x2+y2+z2，θ=R0cos φ/R。

通過以上分析，一組對稱放置的圓鞍形線圈S1和S2疊加作用在空間任意場點(diǎn)產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場強(qiáng)度為：

S1和S2在空間任意場點(diǎn)產(chǎn)生的總磁場強(qiáng)度為：

同理，兩個對稱放置的圓鞍形載流線圈中心線位于y軸時，可以得到與式（10）～式（13）相似的表達(dá)式。

2.2圓鞍形載流線圈軸上磁場理論計(jì)算

為進(jìn)一步了解圓鞍形線圈內(nèi)部磁場分布情況，對圓鞍形系統(tǒng)進(jìn)行軸上磁場分布分析。當(dāng)場點(diǎn)P位于x軸時，即令式（4）～式（9）中的y、z為0，得圓鞍形線圈組S1和S2產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場強(qiáng)度為：

可見，在x軸上y、z兩個方向的磁場強(qiáng)度為0，線圈只產(chǎn)生x方向的磁場強(qiáng)度，這為線圈的分析和利用打下了基礎(chǔ)。同理可以求出，當(dāng)場點(diǎn)P位于y、z軸時，線圈在該點(diǎn)處也只產(chǎn)生x方向的磁場強(qiáng)度。

通過上面分析，x軸放置的圓鞍形線圈在軸上只產(chǎn)生x方向的磁場，其它方向的磁場強(qiáng)度為0。這樣，可以通過把幾組線圈放置在不同軸上來對相應(yīng)軸向磁場進(jìn)行獨(dú)立補(bǔ)償，彼此間不受影響。

2.3圓鞍形線圈產(chǎn)生均勻磁場的條件

由上面的分析可知x軸上放置的圓鞍形線圈在軸上產(chǎn)生的磁場為B（x）=Bx（x，0，0），將其在x=0處泰勒展開為：

由于B（x）為偶函數(shù)，故奇次項(xiàng)導(dǎo)數(shù)B′（x）=0、B（3）（0）=0，…，B（2n+1）（0）=0，而當(dāng)x的值很小時（0＜x＜1），O（x4）≈0，可以忽略它對磁場的影響。若使得圓鞍形線圈在中心附近產(chǎn)生均勻的磁場，要滿足的條件為：

式（20）不存在解析解，因此利用逐步逼近法由式（18）、式（20）計(jì)算得出數(shù)值解α=2.119 5，即圓鞍形線圈產(chǎn)生均勻磁場的條件為R0=2.1195 R，其中R0為線圈半徑，R為柱體半徑。

3　圓鞍形載流線圈磁場仿真結(jié)果

由上面的分析可以確定，圓鞍形線圈彎曲程度即柱體半徑?jīng)Q定了其均勻磁場的范圍。對線圈性能進(jìn)行定量分析，取I=1 mA，R=50 mm，R0=105.975 mm，對模型進(jìn)行Matlab仿真。圓鞍形線圈在3個坐標(biāo)軸上產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度分布曲線和磁場均勻性分別如圖4（a）、圖4（b）所示。

為更準(zhǔn)確地展示圓鞍形線圈產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度情況，表1給出了線圈在x軸上不同點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度值和磁場偏差量。

圖4　圓鞍形線圈軸上磁場分布情況

表1　線圈在x軸上產(chǎn)生的磁場強(qiáng)度和磁場偏差量

為進(jìn)一步分析線圈內(nèi)部磁場分布，對圓鞍形線圈在xOy平面上產(chǎn)生的x、y、z三個方向的磁場分布進(jìn)行分析，仿真結(jié)果如圖5、圖6、圖7所示。

圖5　xOy平面上x方向磁場強(qiáng)度和等值線分布

圖6　xOy平面上y方向磁場強(qiáng)度和等值線分布

可以看出，圓鞍形線圈在xOy平面上產(chǎn)生的y方向磁場分量最大只能達(dá)到0.2 nT，而在z方向產(chǎn)生的磁場分量在10-15量級，因此可以認(rèn)為線圈在xOy平面上只產(chǎn)生x方向的磁場，并且由圖5可以看出，線圈在xOy平面上圓心O周圍14 mm的圓形區(qū)域內(nèi)能產(chǎn)生不超過15 nT的磁場，均勻性能達(dá)到1%，而且與軸上磁場分布情況相同，越靠近中心，其均勻性越好，驗(yàn)證了模型磁場解析表達(dá)式的正確性。

為更形象直觀地表示圓鞍形線圈空間的磁場分布，選取線圈內(nèi)30 mm×30 mm×30 mm的空間立體區(qū)域，共8 000個采樣點(diǎn)進(jìn)行分析，標(biāo)記能產(chǎn)生磁場強(qiáng)度在14.997 1±0.15 nT范圍內(nèi)的點(diǎn)，仿真結(jié)果如圖8所示。

圖7　xOy平面上z方向磁場強(qiáng)度和等值線分布

圖8　圓鞍形線圈在空間立方區(qū)域內(nèi)的磁場分布

由圖8可以看出所標(biāo)記的點(diǎn)集中分布在線圈中心28 mm×28 mm×28 mm大小的立體空間內(nèi)，形成一個穩(wěn)恒磁場區(qū)域，表明這種圓鞍形線圈可以在一定空間區(qū)域產(chǎn)生穩(wěn)恒磁場，在磁補(bǔ)償和屏蔽系統(tǒng)中具有可應(yīng)用性。

4　結(jié) 論

（1）推導(dǎo)了一種圓鞍形線圈在空間任意點(diǎn)處的磁場分布表達(dá)式，優(yōu)化了一種線圈結(jié)構(gòu)，利用Matlab軟件畫出了線圈的軸上和空間磁場分布圖，定量地給出了圓鞍形線圈內(nèi)部磁場的空間分布情況。

（2）設(shè)計(jì)的線圈軸向磁場1%均勻度的均勻區(qū)為軸上區(qū)域的28%，0.1%均勻度的均勻區(qū)為軸上區(qū)域的10%，驗(yàn)證了所推導(dǎo)表達(dá)式的正確性，為多維磁場補(bǔ)償系統(tǒng)提供了理論依據(jù)和參考值。

（3）圓鞍形線圈形成穩(wěn)定磁場區(qū)域的原因是選取了一種結(jié)構(gòu)使得式（17）中B（2）（0）為零，如果要進(jìn)一步提高磁場的均勻性和均勻區(qū)域，可以通過改進(jìn)使式（17）中B（x）在原點(diǎn)的更高階導(dǎo)數(shù)B（4）（0）、B（6）（0）也為零，可以大大提高屏蔽線圈的性能。

［1］ 趙永明，徐云飛，吳艷，等.通過補(bǔ)償法獲得零磁場環(huán)境［J］.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2006，（01）：44-47.

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［4］ 陸小松，陳群峰，史保森，等.基于冷原子系綜制備非經(jīng)典關(guān)聯(lián)光子對［C］//中國物理學(xué)會原子與分子物理專業(yè)委員會.第十五屆全國原子與分子物理學(xué)術(shù)會議論文摘要集，貴陽：2009.

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［8］ Wang X Z，Hao J C，Yu Y，et al.The Design of Coil Assembly Producing Uniform Magnetic Field Using in Plasma Propulsion System［C］//Vacuum Nanoelectronics Conference，2006andthe50thInternationalField Emission Symposium，IVNC/IFES.Technical Digest.19th International，Guilin：2006，379-380.

The Design and Research on Performance of Round-saddle Coils for Magnetic Shielding

ZHAO Wei-xia， DONG Quan-lin， SUN Mao-duo， DING Ying， YANG Ya-jiao， DANG Yu-jie
（Departmental of Instrumentation Science and Opto-electronics Engineering，Beihang University，Beijing 100191，China）

The magnetic field distribution expression of one pair of round-saddle coils at any point in space is theoretically inferred based on the Biot-Savart Law，and the structure of the coils is optimized.The fact that the roundsaddle coils can produce uniform magnetic field of a certain region is proved，and the partial magnetic field distribution of round-saddle coils is given quantitatively.The designed coils can produce uniform magnetic field of a certain area which is 28%of the axis area which the uniformity can be 1%，10%of the axis area which the uniformity can be 0.1%.The maximum value of the magnetic field compensation of coils of one single round can be 15 nT in the current of 1 mA，and the relative deviation is less than 0.14 nT.Therefore the correctness of the magnetic field distribution expression is verified，providing the theoretical basis and reference for the design and research of the dimensional magnetic field compensation system.

metrology；uniform magnetic field；biot-savart law；round-saddle coils；magnetic shielding

TB972

A

1000-1158（2015）05-0540-06

10.3969/j.issn.1000-1158.2015.05.20

2014-01-27；

；2015-01-23

國家科技支撐計(jì)劃（2006BAK03A24）；國家自然科學(xué)基金委重大科研儀器設(shè)備研制專項(xiàng)（61227902）

趙偉霞（1989-），女，河北臨漳人，北京航空航天大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)槌@微儀器與電子光學(xué)技術(shù)。zhaoweixia@aspe.buaa.edu.cn

董全林為本文通訊作者。dongquanlin@buaa.edu.cn