黃兆麟

本文僅從整數(shù)的奇偶性上引出矛盾，利用反證法給出5，13，21，29等數(shù)均為無(wú)理數(shù)的統(tǒng)一證明，供同學(xué)們參考.

定理 若p是自然數(shù)，則8p+5是無(wú)理數(shù).

證明 假設(shè)8p+5是有理數(shù)，即有8p+5=mn（mn是既約分?jǐn)?shù)），

則有（8p+5）n2=m2……（1）

[1]假設(shè)m與n均為偶數(shù)，則恰與mn為既約分?jǐn)?shù)矛盾！故假設(shè)[1]不真！

[2]假設(shè)m與n的奇偶性不同，由于8p+5始終為奇數(shù)，則（1）式左右兩邊的奇偶性將始終不同，從而矛盾！故假設(shè)[2]也不真！

[3]假設(shè)m與n均為奇數(shù)（m>n），則m+n與m-n均為偶數(shù)！

故此時(shí)可設(shè)m+n=2r，m-n=2s（r，s∈N*，r>s），那么可將（1）式變形為

4（2p+1）n2=（m+n）（m-n），

即有（2p+1）n2=rs……（2）

顯然（2）式左邊為奇數(shù)！那么可知r與s必同時(shí)為奇數(shù)！這將導(dǎo)致

m=r+s，n=r-s，即m與n均為偶數(shù)！恰與開(kāi)始的“[3]假設(shè)m與n均為奇數(shù)”矛盾！故假設(shè)[3]也不真！

綜合假設(shè)[1]、[2]、[3]均不真，知8p+5=mn不真，故知8p+5是無(wú)理數(shù).

練習(xí) 若p是自然數(shù)，則8p+2，8p+3，8p+6均為無(wú)理數(shù).