柴 華，仲 明，梁彥剛

采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的攔截中段制導(dǎo)方法*

柴 華1，仲 明2，梁彥剛1

(1.國(guó)防科技大學(xué) 航天科學(xué)與工程學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073；

2.中國(guó)人民解放軍69006部隊(duì)， 新疆 烏魯木齊 830001)

基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論提出攔截中段制導(dǎo)方法。方法原理為，將攔截器初始軌跡與施加修正后的軌跡視為一主一從兩空間目標(biāo)，以相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論描述從目標(biāo)相對(duì)于主目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，于是初始的修正量可由終點(diǎn)處相對(duì)狀態(tài)求解。給出了一般形式的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，運(yùn)用幾何法與變分法推導(dǎo)得到了J2攝動(dòng)影響下相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，在此基礎(chǔ)上，提出了采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的攔截中段制導(dǎo)方法。仿真算例表明，提出的方法能夠?yàn)楣こ虒?shí)際中的攔截中段制導(dǎo)提供有效支持。

中段制導(dǎo)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)；J2攝動(dòng)；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

(1.CollegeofAerospaceScienceandEngineering,NationalUniversityofDefenseTechnology,Changsha410073,China;

2.ThePLAUnit69006,Wulumuqi830001,China)

在導(dǎo)彈防御作戰(zhàn)中，中段制導(dǎo)是指攔截器在助推段結(jié)束之后、末段導(dǎo)引開(kāi)始之前，為消除環(huán)境噪聲等因素造成的飛行狀態(tài)誤差，采用脈沖推力等方式實(shí)施一次或多次狀態(tài)修正的過(guò)程。中段制導(dǎo)的效果好壞直接關(guān)系到攔截器能否捕獲目標(biāo)并在末段導(dǎo)引中占據(jù)優(yōu)勢(shì)的攔截幾何，因而具有十分重要的作用[1-3]。脈沖推力式的中段制導(dǎo)事實(shí)上可以抽象為一固定時(shí)間攔截問(wèn)題，即給定初、終位置與飛行時(shí)間，求解初始需用速度的問(wèn)題。在二體假設(shè)下，求解固定時(shí)間攔截問(wèn)題有許多經(jīng)典方法，如Herrick方法[4]、Godal方法[4]、Lambert飛行時(shí)間定理[5]等。然而，當(dāng)引入更為精確的引力場(chǎng)模型時(shí)，上述方法不再適用，需要探索更為有效的求解方法。

考慮到對(duì)于攔截中段制導(dǎo)這一特定的固定時(shí)間攔截問(wèn)題而言，飛行時(shí)間較短(約200s)、速度修正量較小(約100m/s)，本文提出基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論的求解方法。相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論廣泛地應(yīng)用于衛(wèi)星編隊(duì)飛行、空間交會(huì)對(duì)接等領(lǐng)域，涌現(xiàn)出了CW方程、TH方程等經(jīng)典模型。通過(guò)引入三大假設(shè)：參考軌道偏心率為0，地球引力為中心引力場(chǎng)，兩目標(biāo)距離遠(yuǎn)小于地心距，Clohessy與Wiltshire[6]將非線性的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)化為便于解析求解的線性時(shí)變微分方程組，即CW方程(亦稱(chēng)Hill[7]方程)。舍棄圓參考軌道假設(shè)，Tschauner與Hempel推導(dǎo)得到了適用于橢圓參考軌道的線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，給出了以參考軌道真近點(diǎn)角/偏近點(diǎn)角表示的解析解，其相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型被稱(chēng)為T(mén)H方程。Yamanaka與Ankersen[8]引入變量替換，簡(jiǎn)化了TH方程的求解過(guò)程，推導(dǎo)了一種形式簡(jiǎn)潔的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，并探討了其與CW方程的一致性。盡管CW方程與TH方程在工程實(shí)際中得到了廣泛應(yīng)用，但兩者均以二體中心引力場(chǎng)為前提，因此難以滿足要求。Gim與Alfriend等[9-11]針對(duì)J2攝動(dòng)影響下的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型展開(kāi)了研究，避免了直接求解復(fù)雜微分方程組，推導(dǎo)給出了相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，為實(shí)現(xiàn)高精度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模創(chuàng)造了條件。本文將以此狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為基礎(chǔ)，提出一種有效的固定時(shí)間攔截問(wèn)題求解策略，并探討其在攔截中段制導(dǎo)中的實(shí)用性。

1 坐標(biāo)系定義

所涉及的坐標(biāo)系為地心慣性坐標(biāo)系與當(dāng)?shù)卮怪?當(dāng)?shù)厮阶鴺?biāo)系，兩者定義如下：

地心慣性(EarthCenteredInertial，ECI)坐標(biāo)系，記為I。 原點(diǎn)OE位于地心，OExI軸在赤道平面內(nèi)指向平春分點(diǎn)，OEzI軸垂直于赤道平面指向北極，OEyI軸與OExI，OEzI軸垂直并滿足右手定則，如圖1所示。由于歲差與章動(dòng)影響，春分點(diǎn)具有進(jìn)動(dòng)性。在建立地心慣性系時(shí)需指定春分點(diǎn)基準(zhǔn)。本文采用的ECI系是以2000年1月1日12:00:00的平春分點(diǎn)為基準(zhǔn)，因此又稱(chēng)為J2000坐標(biāo)系。

當(dāng)?shù)卮怪?當(dāng)?shù)厮?LocalVerticalLocalHorizontal，LVLH)坐標(biāo)系，記為L(zhǎng)。原點(diǎn)O位于飛行器質(zhì)心，Ox軸指向飛行器地心矢徑方向，Oy軸在飛行器彈道(軌道)平面內(nèi)垂直于Ox軸并指向速度方向，Oz軸與Ox，Oy軸垂直并滿足右手定則，如圖1所示。

圖1 ECI坐標(biāo)系與LVLH坐標(biāo)系Fig.1 ECI coordinate system and LVLH coordinate system

由ECI系到LVLH系的轉(zhuǎn)換矩陣可由式(1)給出。

MI→L=M3(θ)M1(i)M3(Ω)

(1)

式中，θ=ω+f為飛行器緯度幅角(ω為近地點(diǎn)角距， f為真近點(diǎn)角)，i為軌道傾角，Ω為升交點(diǎn)赤經(jīng)。

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程

設(shè)空間中存在主目標(biāo)與從目標(biāo)兩飛行器，兩者在ECI系下的位置矢量分別為Rc與Rd，由經(jīng)典軌道力學(xué)可知

(2)

式中，μ為地球引力常數(shù)，fc與fd分別為兩目標(biāo)所受攝動(dòng)力產(chǎn)生的加速度。

將從目標(biāo)相對(duì)于主目標(biāo)的位置矢量記作r=Rd-Rc，那么有

式中，f=fd-fc為兩目標(biāo)攝動(dòng)加速度之差。

以主目標(biāo)LVLH系作為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，記作LC。式(3)在LC系中描述需要考慮絕對(duì)導(dǎo)數(shù)與相對(duì)導(dǎo)數(shù)的相互轉(zhuǎn)換，即

(4)

結(jié)合式(3)、式(4)可得

(5)

式(5)即為L(zhǎng)C系下一般形式的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程。對(duì)應(yīng)于不同的引力場(chǎng)模型，該方程具有不同的表現(xiàn)形式，其解析求解是十分困難的。在二體引力場(chǎng)假設(shè)下，可將式(5)線性化(即TH方程)，并推導(dǎo)給出形式簡(jiǎn)潔的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，相關(guān)研究已經(jīng)較為成熟。當(dāng)考慮更為精確的引力場(chǎng)模型時(shí)，問(wèn)題變得更加復(fù)雜。Alfriend等學(xué)者對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了研究，推導(dǎo)了J2攝動(dòng)影響下相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

為避免直接求解微分方程帶來(lái)的困難，Alfriend等學(xué)者采用幾何法來(lái)推導(dǎo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。該方法的主要思路為，將從目標(biāo)相對(duì)于主目標(biāo)的位置速度轉(zhuǎn)換為軌道根數(shù)之差，以軌道根數(shù)之差隨時(shí)間的變化來(lái)刻畫(huà)相對(duì)狀態(tài)的遷移。在推導(dǎo)過(guò)程中，需引入差分軌道根數(shù)的概念。首先給出兩組相互等價(jià)的軌道根數(shù)：

(6)

式中：eCL為經(jīng)典軌道根數(shù)，a為半長(zhǎng)軸，e為偏心率；eNS為非奇異軌道根數(shù)，q1=ecosω，q2=esinω。為避免經(jīng)典軌道根數(shù)在描述圓軌道時(shí)出現(xiàn)的奇異現(xiàn)象，下文將采用非奇異軌道根數(shù)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的推導(dǎo)。

差分軌道根數(shù)定義為從目標(biāo)與主目標(biāo)軌道根數(shù)之差，即

δe=ed-ec

=[δa,δθ,δi,δq1,δq2,δΩ]T

(7)

式中，下標(biāo)d與c分別表示從目標(biāo)與主目標(biāo)。需要指出，在下文推導(dǎo)中，所有不含下標(biāo)c的軌道根數(shù)(或其衍生項(xiàng))均對(duì)應(yīng)于主目標(biāo)。例如，式(8)中的R等價(jià)于式(2)中的Rc。

3.1 由相對(duì)位置速度到差分密切軌道根數(shù)的轉(zhuǎn)換

以LC系作為基準(zhǔn)坐標(biāo)系，主目標(biāo)地心矢徑與速度矢量可分別表示為

(8)

從目標(biāo)地心矢徑與速度矢量可分別表示為

(9)

式中：x，y，z分別為從目標(biāo)相對(duì)位置矢量r在LC系三方向的分量；?x，?y與?z分別為主目標(biāo)角速度矢量在LC系三方向的分量，即

?c=[?x,?y,?z]T

(10)

與此同時(shí)，從目標(biāo)滿足式(11)所示關(guān)系。

(11)

式(1)已經(jīng)給出了ECI系與LVLH系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，考慮到主目標(biāo)與從目標(biāo)的軌道根數(shù)足夠接近，可將矩陣MLD→I在MLC→I處泰勒展開(kāi)且僅保留一階項(xiàng)，結(jié)合式(8)、式(9)有

(12)

由軌道力學(xué)可知

(13)

(14)

(15)

將式(13)～(15)代入式(12)，可將LC系下從目標(biāo)的相對(duì)狀態(tài)表示為差分軌道根數(shù)的形式。于是有

(16)

3.2 由差分密切軌道根數(shù)到差分平均軌道根數(shù)的轉(zhuǎn)換

在J2攝動(dòng)影響下，密切軌道根數(shù)隨時(shí)間的變化較為復(fù)雜，難以給出解析描述。因此，在推導(dǎo)軌道根數(shù)之差的時(shí)間遷移規(guī)律時(shí)，采用平均軌道根數(shù)作為替代對(duì)象。本節(jié)將推導(dǎo)給出差分密切軌道根數(shù)與差分平均軌道根數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

許多文獻(xiàn)對(duì)密切軌道根數(shù)與平均軌道根數(shù)的轉(zhuǎn)換問(wèn)題進(jìn)行了研究，此處采用文獻(xiàn)[10]的方法，即有

(17)

式中，e為密切軌道根數(shù)，em為平均軌道根數(shù)，elp為長(zhǎng)周期項(xiàng)，esp1與esp2為短周期項(xiàng)。需要指出的是，elp，esp1與esp2均以平均軌道根數(shù)表示，也就是說(shuō)，由密切軌道根數(shù)計(jì)算平均軌道根數(shù)需通過(guò)迭代來(lái)實(shí)現(xiàn)。下文將在4.1節(jié)對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)闡述。

由式(17)可知

(18)

式中，I為單位矩陣。

于是有

δe(t)=D(t)δem(t)

(19)

3.3 差分平均軌道根數(shù)的時(shí)間遷移

與密切軌道根數(shù)相比，平均軌道根數(shù)的變化規(guī)律更為簡(jiǎn)潔，有

(20)

式中，上標(biāo)m表示平均根數(shù)，下標(biāo)0表示初始時(shí)刻，M為平近點(diǎn)角，λ=M+ω為平緯度幅角。ωm，Mm與Ωm的時(shí)間變化率均可由初始時(shí)刻的平均軌道根數(shù)表示。

對(duì)式(20)中最后一式等號(hào)兩邊進(jìn)行變分操作，保留一階項(xiàng)，有

(21)

式中，Δt=t-t0。

δem(t)=Φe(t,t0)δem(t0)

(22)

結(jié)合式(16)、式(19)、式(22)，可以得到J2假設(shè)下相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，即

(23)

4 攔截中段制導(dǎo)方法

4.1 平均軌道根數(shù)的計(jì)算

式(17)給出了密切軌道根數(shù)與平均軌道根數(shù)之間的關(guān)系，依據(jù)該式計(jì)算平均軌道根數(shù)需要通過(guò)迭代來(lái)實(shí)現(xiàn)。迭代步驟如下：

(24)

4) 重復(fù)上述過(guò)程，直到滿足收斂準(zhǔn)則為止。收斂準(zhǔn)則可取為

(25)

式中，ε為容許誤差限。

4.2 制導(dǎo)方法流程

前文指出，攔截中段制導(dǎo)問(wèn)題事實(shí)上可以抽象為固定時(shí)間攔截問(wèn)題?？紤]到對(duì)于中段制導(dǎo)而言，飛行時(shí)間較短而速度修正量較小，因而本文提出基于狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的制導(dǎo)方法。

問(wèn)題描述：

在ECI坐標(biāo)系下，已知t0時(shí)刻攔截器的位置、速度矢量分別為R0，V0，預(yù)測(cè)命中時(shí)刻為tf，預(yù)測(cè)命中點(diǎn)為Rf。 由于誤差因素的影響，攔截器以初始狀態(tài)難以準(zhǔn)確到達(dá)預(yù)測(cè)命中點(diǎn)，需要實(shí)施中段導(dǎo)引，確定速度修正量Δv。

方法流程：

1)由初始狀態(tài)R0、V0計(jì)算初始時(shí)刻的密切軌道根數(shù)es，建立初始的LVLH坐標(biāo)系；

4) 計(jì)算終點(diǎn)LVLH系下預(yù)測(cè)命中點(diǎn)的相對(duì)位置rf，即

(26)

6)初始時(shí)刻的速度修正量Δv滿足

(27)

由式(27)可知

(28)

圖2 制導(dǎo)方法流程

Fig.2Procedureofthemidcourseguidancemethod

5 仿真算例

上文提出了采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的攔截中段制導(dǎo)方法。本節(jié)將引入仿真算例，驗(yàn)證所提方法的性能，分析其適用條件。

5.1 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的精度

首先考察本文給出的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣在刻畫(huà)攔截器相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)的精度。設(shè)t0=1003.6s時(shí)刻攔截器在J2000系下的位置速度矢量分別為

R0=[2 196 308.118, -2 361 659.419, 6 082 688.107]T；V0=[853.466 678，-6 083.398 166，2 767.032 528]T。

在t0時(shí)刻向攔截器施加速度沖量，攔截器的飛行軌跡將發(fā)生變化。表1給出了LVLH系下3組不同的速度沖量值。以解析的J2軌跡外推結(jié)果作為真值，將偏離真值的程度作為衡量狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣精度的指標(biāo)。圖3給出了不同速度沖量下?tīng)顟B(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的誤差隨時(shí)間的變化情況。

表1 LVLH系下的初始速度沖量

圖3 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的誤差隨時(shí)間的變化Fig.3 Error of state transition matrix versus time

由圖3可知，在本文給出的仿真條件下(時(shí)間不超過(guò)200s、速度修正量不大于100m/s)，采用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣刻畫(huà)攔截器的飛行軌跡具有較高的精度：與真值相比，位置誤差不超過(guò)300m，速度誤差不超過(guò)0.4m/s。需要注意的是，在圖3中，隨著速度沖量的增加，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性能出現(xiàn)下降。這是由于當(dāng)速度沖量增加時(shí)，新軌道與參考軌道的偏差在增大，推導(dǎo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣時(shí)引入的小偏差假設(shè)受到挑戰(zhàn)，忽略非線性項(xiàng)的代價(jià)越來(lái)越明顯地體現(xiàn)出來(lái)。

5.2 中段制導(dǎo)方法的性能

設(shè)預(yù)測(cè)命中時(shí)刻tf=1186.9s，預(yù)測(cè)命中點(diǎn)在J2000系下的位置矢量為

Rf=[2 322 135.847, -3 439 448.051, 6 478 344.336]T。

采用兩種方法求解初始時(shí)刻所需的速度修正量Δv。 一種是圖2給出的中段制導(dǎo)方法，一種是文獻(xiàn)[5]給出的基于Lambert飛行時(shí)間定理的聯(lián)合方程方法。將兩種方法求解得到的速度修正量施加至攔截器，得到預(yù)測(cè)命中時(shí)刻攔截器與Rf點(diǎn)的距離Δr作為衡量制導(dǎo)方法精度的指標(biāo)。仿真結(jié)果如表2所示，表2同時(shí)還給出了兩種方法的計(jì)算耗時(shí)Δt。

表2 制導(dǎo)方法性能對(duì)比

由表2可知，由于考慮了J2項(xiàng)攝動(dòng)的影響，本文提出的中段制導(dǎo)方法比聯(lián)合方程方法更加精確。本文方法的計(jì)算耗時(shí)約為20ms，盡管比聯(lián)合方程方法高出一個(gè)量級(jí)，但是仍處于可接受的范圍內(nèi)。

5.3 中段制導(dǎo)方法的適用性

需要指出，本文采用線性化的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型來(lái)實(shí)現(xiàn)攔截中段制導(dǎo)，這決定了制導(dǎo)方法的性能與Δv的大小密切相關(guān)(即主從目標(biāo)是否足夠接近從而滿足線性化條件)。改變預(yù)測(cè)命中點(diǎn)Rf的位置，圖4給出了需用速度修正量Δv與方法誤差Δr的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以此考察制導(dǎo)方法的適用性。由圖可知，隨著Δv的增加，方法誤差Δr也不斷增大。當(dāng)Δv達(dá)到100m/s時(shí)，制導(dǎo)方法產(chǎn)生的Δr不超過(guò)200m，考慮到攔截器末制導(dǎo)段的修正能力，這一誤差量級(jí)是足夠精確的。

圖4 Δr與Δv的對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.4 The relations between Δr and Δv

6 結(jié)論

對(duì)攔截中段制導(dǎo)問(wèn)題展開(kāi)了研究。針對(duì)高精度引力場(chǎng)模型條件下固定時(shí)間攔截問(wèn)題難以求解的現(xiàn)狀，提出了基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型的求解策略。在J2引力場(chǎng)假設(shè)下，推導(dǎo)得到了相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，從而可將固定時(shí)間攔截問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相對(duì)狀態(tài)的轉(zhuǎn)移問(wèn)題。仿真算例表明，提出的方法為快速求解速度修正量提供了一條有效途徑。

由于推導(dǎo)過(guò)程引入了線性化，因此本文的制導(dǎo)方法僅適用于攔截器實(shí)際飛行軌跡與標(biāo)稱(chēng)飛行軌跡足夠接近的情形。但仿真算例分析表明，這一約束并不影響本文方法在攔截中段制導(dǎo)中的應(yīng)用。

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Midcourse guidance of interception using state transition matrix

CHAI Hua1, ZHONG Ming2, LIANG Yangang1

Onthebasisofrelativemotiontheory,amidcourseguidancemethodofexoatmosphericinterceptionwasdeveloped.Themechanismofthismethodisthattreatingtheinitialandmodifiedtrajectoriesaschiefanddeputyspaceobjectsrespectively,modelingthedynamicsofthedeputyrelativetothechiefbytherelativemotiontheoryandsolvingtheinitialcorrectionsthroughthefinalrelativestates.TheuniversalrelativemotionmodelwasprovidedandthenthestatetransitionmatrixofrelativemotionundertheinfluenceofJ2disturbancewasderivedbyemployingthegeometryandthevariationmethod.Lastlythemidcourseguidancemethodusingstatetransitionmatrixwasproposedonthisbasis.Simulationexampleshowsthattheproposedmethodservesasanefficientsupportformidcourseguidanceofinterceptorsinpractice.

midcourseguidance;relativemotion;J2disturbance;statetransitionmatrix

2015-06-10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11272346)作者簡(jiǎn)介：柴華(1988—)，男，山西沁水人，博士研究生，E-mail:chaihua@nudt.edu.cn；梁彥剛(通信作者)，男，副教授，博士，E-mail：liangyg@nudt.edu.cn

10.11887/j.cn.201504023

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文獻(xiàn)標(biāo)志碼： 文章編號(hào)：1001-2486(2015)04-137-06