廖東升 卓明勝 何偉光 藺維君

(珠海格力電器股份有限公司 廣東珠海 519070)

MATLAB是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱，和Mathematical、Maple并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類(lèi)科技應(yīng)用軟件中，在科學(xué)計(jì)算方面首屈一指。MATLAB可以進(jìn)行矩陣運(yùn)算、繪制函數(shù)和數(shù)據(jù)、實(shí)現(xiàn)算法、創(chuàng)建用戶界面、圖像處理、信號(hào)檢測(cè)、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域[1]。在空調(diào)領(lǐng)域，深溝球軸承主要用在商用空調(diào)的風(fēng)機(jī)和電機(jī)中。目前，軸承的失效在商用空調(diào)的故障率方面占據(jù)了很大的比重，軸承的磨損和發(fā)熱是軸承失效的重要原因。因此，我們尋求一種方法來(lái)優(yōu)化軸承的結(jié)構(gòu)，降低軸承失效率，提高商用空調(diào)的質(zhì)量和使用壽命。

1 MATLAB優(yōu)化工具箱描述[2]

MATLAB優(yōu)化工具箱可以求解線性、非線性最小化、最大和最小化、二次規(guī)劃、半無(wú)限問(wèn)題、線性、非線必方程（組）以及線性和非線性最小二乘問(wèn)題。另外，MATLAB優(yōu)化工具箱還提供線性和非線性最小化、方程求解、曲線擬合以及二次規(guī)劃問(wèn)題的求解方法。

1.1 線性規(guī)劃

線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式為：

其中：f—目標(biāo)函數(shù)；A—不等式約束函數(shù)的系數(shù)矩陣；b—不等式約束函數(shù)的常數(shù)向量；Aeq—等式約束函數(shù)的系數(shù)矩陣；beq—等式約束函數(shù)的常數(shù)向量；lb—設(shè)計(jì)變量下限；ub—設(shè)計(jì)變量上界。

MATLAB 優(yōu)化工具箱中,求解線性規(guī)劃的linprog 函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式為：

[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

其中,x—最優(yōu)解；fval—最優(yōu)函數(shù)值；options—設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)。

1.2 非線性規(guī)劃

非線性規(guī)劃問(wèn)題包括無(wú)約束多元函數(shù)極小值和有約束函數(shù)極小值問(wèn)題。

1.2.1 無(wú)約束多元函數(shù)極小值

無(wú)約束多元函數(shù)極小值標(biāo)準(zhǔn)形式為：

求解無(wú)約束多元函數(shù)極小值的fminsearch函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式為：

[x ,fval]=fminsearch (fun, x0, options, P1,P2,……)

其中,P1,P2—函數(shù)fun的附加參數(shù)。

1.2.2 有約束多元函數(shù)極小值

有約束多元函數(shù)極小值標(biāo)準(zhǔn)形式為：

其中，C(x)—等式約束函數(shù)的返回向量；Ceq(x)—不等式約束函數(shù)的返回向量。

求解有約束多元函數(shù)極小值的fmincon函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式為：

[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,……)

其中，nonlcon—非線性約束函數(shù)的調(diào)用函數(shù)。

2 深溝球軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)[3]

深溝球軸承是最具代表性的滾動(dòng)軸承，用途廣泛。適用于高轉(zhuǎn)速甚至極高轉(zhuǎn)速的運(yùn)行，而且非常耐用，無(wú)需經(jīng)常維護(hù)。該類(lèi)軸承摩擦系數(shù)小、極限轉(zhuǎn)速高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造成本低，易達(dá)到較高制造精度。尺寸范圍與形式變化多樣，應(yīng)用在精密儀表、低噪音電機(jī)、汽車(chē)、摩托車(chē)及一般機(jī)械等行業(yè)，是機(jī)械工業(yè)中使用最為廣泛的一類(lèi)軸承。在電器行業(yè)領(lǐng)域，深溝球軸承也可以用在商用空調(diào)風(fēng)機(jī)、電機(jī)等部件中。

2.1 優(yōu)化設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)函數(shù)

深溝球軸承的摩擦力矩是其磨損和發(fā)熱量的體現(xiàn)，把摩擦力矩作為目標(biāo)函數(shù)，影響這個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的主要因素有滾珠直徑、滾珠所在圓的直徑，滾珠數(shù)量以及滾道位置角等幾個(gè)參數(shù)，把這些參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，尋找摩擦力矩最小時(shí)的設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)解。

表1 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

2.1.1 設(shè)計(jì)變量

其中：d—滾珠直徑；D—滾珠所在圓的直徑；Z—滾珠數(shù)量；α—滾道位置角。

2.1.2 目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)問(wèn)題尋優(yōu)的準(zhǔn)則和基礎(chǔ)。本文以摩擦力矩最小為目標(biāo)函數(shù)，則有：

式中，M—摩擦力矩；Fa—軸承的軸向載荷；Fr—軸承的徑向載荷。于是，目標(biāo)函數(shù)為：

2.2 約束條件的建立

（1）滾珠的接觸強(qiáng)度條件：

式中，HB為布氏硬度，于是，約束函數(shù)為：

（2）設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)尺寸條件：

約束函數(shù)為：

3 優(yōu)化實(shí)例和結(jié)果分析[4]

已知，軸承軸向載荷Fa=1000N,軸承徑向載荷Fr=2500N。應(yīng)用MATLAB優(yōu)化工具箱函數(shù)fmincon來(lái)求解最優(yōu)解。

3.1 編寫(xiě)MATLAB優(yōu)化設(shè)計(jì)程序

3.1.1 主程序

x0=[13 220 40 43]；%設(shè)計(jì)變量的初使值；

lb=[6 40 5 30]；%設(shè)計(jì)變量的下限值；

ub=[14.5 250 200 60]；%設(shè)計(jì)變量的上限值；

[x,fval]=fmincon(@xiul8_4,x0 ,[],[],[],[],lb,ub,@fcon). %求解程序

3.1.2 目標(biāo)函數(shù)子程序

function f=xiul8_4(x)

f=0.04*((1.5*1000+1.5*2500*tan(pi/180*x(4)))/x(3)/sin(pi/180*x(4)))*x(1)/x(2);

3.2 優(yōu)化結(jié)果

x(1)= 12.9697；%滾珠直徑%

x(2)= 250.0000；%滾珠所在圓的直徑%

x(3)= 45.8762；%滾珠數(shù)量%

x(4)= 35.3921；%滾道位置角%

f= 0.3252；%摩擦力矩%

3.3 優(yōu)化結(jié)果分析

由表1可以看出，優(yōu)化結(jié)果是令人滿意的，與優(yōu)化前相比，滾珠所在圓直徑增大了12%，滾珠數(shù)量增加了6個(gè)，滾道位置角減小了17.7%,摩擦力矩減小了25%。通過(guò)優(yōu)化，使摩擦力矩明顯減小，有效地降低了軸承磨損和發(fā)熱量，從而說(shuō)明MATLAB對(duì)深溝球軸承進(jìn)行優(yōu)化是可行的。

4 結(jié)語(yǔ)

MATLAB軟件具有優(yōu)越的計(jì)算功能和優(yōu)化功能，應(yīng)用MATLAB的優(yōu)化工具箱功能解決生產(chǎn)實(shí)際中的單目標(biāo)多約束非線性規(guī)劃或者多目標(biāo)多約束非線性規(guī)劃問(wèn)題，可以大幅度提高設(shè)計(jì)和計(jì)算的速度和效率，是解決和處理設(shè)計(jì)問(wèn)題的有效工具。將這種方法應(yīng)用于商用空調(diào)中，可以有效延長(zhǎng)軸承的壽命，減小空調(diào)的損壞機(jī)率，減少售后維修率，對(duì)于空調(diào)品質(zhì)的改善可以起到重要的作用。

[1] 周靈.詳解MATLAB工程科學(xué)計(jì)算與典型應(yīng)用[M].電子工業(yè)出版社,2010:298-304.

[2] 蘇金明，阮沈勇，王永利.MATLAB工程數(shù)學(xué)[M].電子工業(yè)出版社,2005:245-253.

[3] 田璐，孫華，戴躍洪，馬宇庭.基于遺傳算法的深溝球軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[J].設(shè)計(jì)與研究,2010,10(37):12-14.

[4] 朱愛(ài)華，朱成九，張衛(wèi)華.滾動(dòng)軸承摩擦力矩的計(jì)算分析[J].軸承,2008,7:1-3.