劉少偉，關嬌，王潔，舒濤，馮剛

（1.空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051；2.空軍工程大學信息與導航學院，陜西西安710077）

具有橫向供應策略的可維修備件兩級庫存模型

劉少偉1，關嬌2，王潔1，舒濤1，馮剛1

（1.空軍工程大學防空反導學院，陜西西安710051；2.空軍工程大學信息與導航學院，陜西西安710077）

在裝備可維修備件的多級庫存系統(tǒng)中增加橫向供應策略，將傳統(tǒng)的樹狀備件供應模式扁平化，可以大大縮短備件平均延誤時間。在此背景下進行多級可維修備件的庫存研究，建立具有橫向供應策略的可維修備件兩級庫存模型，利用M/M/∞排隊系統(tǒng)評估備件滿足率、橫向供應概率和缺貨概率等重要參數(shù)，設計啟發(fā)式算法進行備件優(yōu)化配置。算例結果表明，引入橫向供應策略后可維修備件兩級庫存系統(tǒng)的保障總費用能夠降低39.4%.

運籌學；可維修備件；橫向供應；兩級庫存系統(tǒng)

0 引言

如何對裝備可維修備件庫存配置進行科學的優(yōu)化決策，尋求裝備可維修備件保障費用與裝備戰(zhàn)備完好性之間的最佳平衡是裝備維修保障研究中的一個重要課題。對于多級庫存模型，Sherbrooke于1968年建立了METRIC模型，該模型是多級庫存系統(tǒng)的首次應用［1］；文獻［2］提出了兩參數(shù)近似模型，稱為VARI-METRIC模型，與METRIC模型不同的是，該模型假設基層級尚未交付的備件申請量服從兩參數(shù)的負二項分布；文獻［3］提出了一個單項備件的兩級庫存模型；文獻［4］提出了基地級和基層級運輸時間可以隨機產(chǎn)生的兩級備件庫存模型。文獻［1-4］為多級庫存模型理論奠定了基礎。文獻［5］提出了以備件平均延誤時間為服務水平的兩級庫存模型，該模型針對的是不可維修備件；文獻［6］提出了類似文獻［5］的兩級庫存模型，考慮了緊急供應策略，使所有倉庫不出現(xiàn)缺貨情況，降低了庫存參數(shù)計算難度；文獻［7］分析了多個基層級倉庫的庫存模型，模型中引入橫向供應策略，但屬于單級模型；文獻［8-12］針對多級庫存系統(tǒng)，以總保障費用最小為目標，對基地級倉庫和基層倉庫的備件庫存優(yōu)化配置進行研究，但是沒有考慮庫存系統(tǒng)的備件保障平均延誤時間，所以不能很好地解決以備件延誤時間為服務水平的庫存優(yōu)化配置問題。國內(nèi)對具有橫向供應的庫存系統(tǒng)也做了一些探索性的研究工作，文獻［13］通過分析穩(wěn)定狀態(tài)下庫存水平的狀態(tài)轉(zhuǎn)移，建立了基于庫存穩(wěn)態(tài)概率的可維修備件多點轉(zhuǎn)運庫存模型，文獻［14］結合相關時間和費用指標建立了具有橫向供應的備件庫存模型。

從國內(nèi)外關于備件庫存系統(tǒng)的研究成果來看，國外文獻的研究對象主要是商業(yè)供應鏈系統(tǒng)，相關研究較多，而國內(nèi)文獻很少涉及基于METRIC模型或者METRIC擴展模型的可維修備件多級庫存系統(tǒng)研究，關于具有橫向供應策略的多級庫存研究更為少見，大多數(shù)涉及橫向供應的研究成果沒有考慮延遲橫向供應的情況，屬于單級模型。本文結合現(xiàn)有的裝備保障模式，建立了可維修備件兩級庫存模型，模型中允許基層級倉庫之間的橫向供應，考慮延遲橫向供應，利用M/M/∞排隊系統(tǒng)對備件滿足率、橫向供應概率和缺貨概率等重要參數(shù)進行評估，通過設計啟發(fā)式優(yōu)化算法，確定滿足所有基層級倉庫備件平均延誤時間允許下的最低備件保障總費用和各種備件在基地級倉庫和各基層級倉庫的最佳目標庫存水平。

1 數(shù)學模型

本文研究的兩級庫存系統(tǒng)的備件具體供應過程為:當裝備發(fā)生故障時，由所屬的基層級倉庫進行備件供應，并向基地級提出備件申請，同時將故障部件送基地級維修中心進行修理；如果所屬基層級倉庫沒有所需備件，由同級其他倉庫進行橫向供應，并由實施橫向供應的基層級倉庫提出備件申請；如果同級的所有倉庫都沒有所需備件時，由基地級供應所需備件；如果基地級倉庫也沒有所需備件，就只好等待有故障部件被修理好再進行供應。同時，基地級維修中心修理好的故障備件被送到基地級倉庫存儲。

1.1 備件滿足率、橫向供應概率及缺貨概率

本文研究的庫存系統(tǒng)執(zhí)行連續(xù)檢查的（S-1， S）庫存策略，當備件需求由橫向供應滿足時，橫向供應概率用α表示；當備件需求由正常供應滿足時，備件滿足率由β表示；當備件需求由于所有基層級倉庫都缺貨暫不能滿足時，缺貨概率由θ表示，以下介紹α、β和θ的求解方法。

將所有基層級倉庫看作一個庫存群，庫存群中備件i（i∈I，I為所有可維修備件的集合）的需求服從參數(shù)為λi0的泊松分布，針對庫存群的備件供應時間服從平均值為Li的指數(shù)分布，假設基地級修理中心的維修服務臺無限，根據(jù)Palm定理［15］，庫存群中尚未交付的備件申請量Qi（Si0）服從參數(shù)為λi0Li的泊松分布，即

基地級倉庫對庫存群的備件平均供應時間Li表達為

式中:Ti為基地級對庫存群中備件i運輸時間；Wi0為備件i的平均延誤時間；為備件i在基地級倉庫平均庫存為Si0時的期望缺貨水平。

對于每個基層級倉庫中的每一項備件，都可以建立多個服務臺的M/M/∞排隊系統(tǒng)。針對基層級倉庫j（j∈J，J為基層級倉庫的集合）中備件i的M/ M/∞排隊系統(tǒng)有以下特性:

1）系統(tǒng)在任一時間的狀態(tài)是倉庫中備件在該時刻的庫存量，庫存量不超過目標庫存水平Sij.

2）當狀態(tài)量為正值或0時，需求率為uij；當狀態(tài)量為負值時，需求率為vij.

3）備件正常供應時間為Tij（Tij=1/μij），對于允許延遲橫向供應的情況，當系統(tǒng)狀態(tài)為1時，備件供應率為為來自倉庫j向其他倉庫橫向供應備件i的延遲橫向供應概率；當系統(tǒng)狀態(tài)為0或負值時，在原來總服務率的基礎上增加延遲供應倉庫j中備件i的橫向供應率所謂延遲橫向供應，指如果某一基層級倉庫庫存為0，此時有對該倉庫的備件補充，備件將通過橫向供應滿足缺貨倉庫（庫存為負），該倉庫備件補充延遲進行。

4）備件需求過程和備件正常供應時間均是統(tǒng)計獨立的。圖1是允許延遲橫向供應的M/M/∞排隊系統(tǒng)的狀態(tài)傳遞圖。

圖1 允許延遲橫向供應的M/M/∞排隊系統(tǒng)狀態(tài)傳遞圖Fig.1 The state-transition diagram of M/M/∞queueing system on delayed lateral transshipments

下面分析具有橫向供應策略時倉庫j中備件i的需求率，當狀態(tài)量為正值時，備件需求率由兩部分組成，第一部分為倉庫j中備件i的正常需求率λij，另一部分為倉庫j有備件i時向其他倉庫的橫向供應率

倉庫j向其他倉庫的橫向供應也就是其他倉庫的橫向供應備件需求，因此λ′ij可以用（4）式進行求解:

即

式中:R（j，k）表示比基層級倉庫k更優(yōu)先供應基層級倉庫j的所有倉庫集合。如果R（j，k）=?，定義

橫向供應率的計算方法仍以上例說明。如果備件庫存為0的倉庫1有備件補充時，就將該備件供應給倉庫2，前提條件是倉庫2缺貨，如果倉庫2庫存為0而倉庫3缺貨，就將該備件供應給倉庫3.另外，當倉庫1缺貨時，可以由倉庫2或倉庫3進行延遲供應。如果由倉庫2延遲供應時，只需倉庫2庫存為0；如果由倉庫3延遲供應時，倉庫2和倉庫3的庫存都應為0.那么來自倉庫1的延遲橫向供應概率為:.另外，當倉庫1缺貨時，可以由倉庫2或倉庫3進行延遲供應。如果由倉庫2延遲供應時，只需倉庫2庫存為0；如果由倉庫3延遲供應時，倉庫2和倉庫3的庫存都應為0.因此延遲供應倉庫1的橫向供應率為:.

推廣到一般情況，去掉代表備件項的上標或者下標“i”，倉庫j的延遲橫向供應概率為

延遲供應倉庫j的橫向供應率ηj為

式中:r（j，k）表示對基層級倉庫j進行橫向供應時，在橫向供應源排序中處于第k個的基層級倉庫；表示倉庫j持有備件i庫存量為l的穩(wěn)態(tài)概率。

當系統(tǒng)狀態(tài)為0或負值時，如果此時備件i有需求，不能夠直接供應，只能面臨兩種選擇:缺貨或者靠庫存群內(nèi)其他倉庫橫向供應。那么有橫向供應策略的情況下，引起缺貨量增加的備件需求率vij為

式中:θi表示備件i的需求由于所有基層級倉庫都缺貨暫不能滿足的概率。

由于允許延遲橫向供應，只有在所有基層級倉庫備件庫存量均為0或負值時庫存群才會出現(xiàn)缺貨，那么庫存群備件i的缺貨概率為

步驟1 根據(jù)（12）式確定庫存群備件i的缺貨概率θi.

步驟3 對于每一個基層級倉庫j，如果Sij＞0，根據(jù)（11）式計算如果Sij=0，

步驟4 重復執(zhí)行步驟3，直到兩次迭代過程中所有基層級倉庫的誤差均滿足δ＜0.001，輸出此時各基層級倉庫的和θi，算法停止。

1.2 備件期望庫存水平與期望缺貨水平

1.2.1 基地級備件期望庫存水平和缺貨水平

式中:Ri為基地級倉庫可維修備件i的平均修理時間。

1.2.2 基層級備件期望庫存水平和缺貨水平

庫存群中備件i的期望缺貨水平為

庫存群中備件i的期望庫存水平為

基層級倉庫j中備件i的期望缺貨水平為

基層級倉庫j中備件i的期望庫存水平為

1.3 數(shù)學描述

單位時間內(nèi)兩級庫存系統(tǒng)所有備件的備件保障總費用為期望庫存持有費用與橫向供應費用之和，即

式中:hi為單位備件i在單位時間內(nèi)的庫存持有費用；為備件i的橫向供應運輸管理費用。

解決的問題為

針對以上問題，設計貪婪算法求解。算法中備件延誤時間相對最大允許延誤時間的減小量ΔWuv和備件保障費用增加量ΔCuv表達式如下:

式中:u∈I，v∈J；euv表示倉庫v中備件u有1個單位庫存量，其他所有倉庫所有備件庫存為0；C（S）為基地級庫存水平和基層級庫存水平確定的情況下總的備件保障費用。在所有組合中搜索費用增加幅度最小、對應備件延遲時間減小幅度最大的情況，最終得到基地級倉庫的最優(yōu)目標庫存水平和各基層級倉庫的最優(yōu)目標庫存水平

2 應用舉例

假設兩級庫存系統(tǒng)中有一個基地級倉庫，5個基層級倉庫，其中倉庫0代表基地級倉庫，倉庫1、2、3、4、5代表5個基層級倉庫。共有20項備件，不同基層級中每項備件的需求率見表1，每項備件的庫存持有費用見表2.備件在基地級的平均修理時間為4 d，從基地級倉庫到各基層級倉庫的運輸時間為2 d.橫向供應時間均為0.1 d，橫向供應費用均為150元，備件需求最大允許延誤時間為0.05 d.橫向供應源的選擇順序為:當基層級倉庫1需要橫向供應時，供應源排序為r2＞r3＞r4＞r5；當基層級倉庫2需要橫向供應時，供應源排序為r1＞r3＞r5＞r4；當基層級倉庫3需要橫向供應時，供應源排序為r5＞r1＞r2＞r4；當基層級倉庫4需要橫向供應時，供應源排序為r5＞r2＞r1＞r3；當基層級倉庫5需要橫向供應時，供應源排序為r3＞r4＞r2＞r1.

表1 備件在不同基層級倉庫中的需求率（個/d）Tab.1 Demand rate of spare parts in different organizational-level depots（unit/day）

表2 備件的庫存持有費用（元/（個·d））Tab.2 Inventory holding cost of spare parts（yuan/unit/day）

通過計算得到備件滿足率、橫向供應概率和缺貨概率以及備件期望庫存水平、期望缺貨水平，利用貪婪算法得到各倉庫最優(yōu)目標庫存水平見表3.

表3 各倉庫各備件目標庫存值（個）Tab.3 Stock level of spare parts in different depots（unit）

表3中“，”左側(cè)為有橫向供應時的備件數(shù)量，“，”右側(cè)為無橫向供應時的備件數(shù)量，對應的備件保障總費用分別為19 613元和32 360元。

從本算例可以看出，有橫向供應策略比無橫向供應策略的最低保障費用減少了12 747元，費用降低的幅度為39.4%.可見在可維修備件兩級庫存系統(tǒng)中，橫向供應策略是降低備件保障總費用的有效手段。

3 結論

本文結合可維修備件保障的保障流程，建立具有橫向供應策略的兩級多項可維修備件庫存模型，利用系統(tǒng)方法進行可維修備件多級庫存模型研究，重點給出了備件滿足率、橫向供應概率和缺貨概率的近似求解方法，同時確定了具有橫向供應策略系統(tǒng)中的兩個重要的備件保障效能指標:期望庫存水平和期望缺貨水平，特定的算例表明，在相同的服務水平約束下，與無橫向供應策略的兩級庫存系統(tǒng)相比，具有橫向供應策略的兩級庫存系統(tǒng)的備件保障費用有大幅下降。本文將傳統(tǒng)的樹狀結構備件保障模式扁平化，強調(diào)同級庫存間的資源共享，為部隊裝備保障人員制定合理的備件方案提供一定的決策依據(jù)。

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Research on Two-echelon Spare Parts Inventory Systems with Lateral Transshipments

LIU Shao-wei1，GUAN Jiao2，WANG Jie1，SHU Tao1，F(xiàn)ENG Gang1
（1.Missile Institute，Air Force Engineer University，Xi'an 710051，Shaanxi，China；2.Telecommunication Engineer Institute，Air Force Engineer University，Xi'an 710077，Shaanxi，China）

Multi-echelon spare parts inventory systems with lateral transshipments make the traditional tree-like supply mode become a flat structure，which can shorten the average waiting time of spare parts. The multi-echelon spare parts inventory system is analyzed to build a multi-echelon spare parts inventory model with lateral transshipments，and the related important parameters，including spare fill rate，lateral transshipment probability and probability of shortage，are evaluated based on M/M/∞queue model.A heuristic algorithm is used to minimize system-wide spare parts.The experiment shows that the two-echelon support cost with lateral supply can be reduced by 39.4%by introducing the lateral supply strategy.

operations research；repairable spare part；lateral transshipment；two echelon inventory system

TJ762111

A

1000-1093（2015）07-1334-06

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.024

2014-10-15

劉少偉（1979—），男，講師，博士。E-mail:lsw3721@163.com