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從一道反比例函數(shù)題談函數(shù)大小比較

2015-11-19 03:31:41農(nóng)漢濤
新教育時代電子雜志(教師版) 2015年10期
關(guān)鍵詞:反比例雙曲線象限

農(nóng)漢濤

(廣西靖西縣民族中學(xué) 廣西靖西 533800)

從一道反比例函數(shù)題談函數(shù)大小比較

農(nóng)漢濤

(廣西靖西縣民族中學(xué) 廣西靖西 533800)

在初中階段所涉及的三種函數(shù)一次函數(shù)(包括正比例函數(shù)),二次函數(shù),反比例函數(shù)中,只有反比例函數(shù)對自變量x有要求,即x≠0。因為k≠0,則y也必定≠0,所以反比例函數(shù)的圖象雙曲線永遠不會與坐標軸相交,因此它的性質(zhì)中就特別強調(diào):"在圖象所在的每個象限內(nèi)"這一條件。,若忽略這個條件,就會給后面的解題帶來麻煩,這也從某個方面說明教材編寫具有相當?shù)膰烂苄浴?/p>

反比例函數(shù) 雙曲線 增減性 自變量x的取值

一、引言

數(shù)學(xué)新教材的最大特點就是體現(xiàn)素質(zhì)教育的要求,重視人的發(fā)展,提倡課程與生活的聯(lián)系,以數(shù)學(xué)源于生活又用于生活為主線,著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和動手能力,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識,使其養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣?!稊?shù)學(xué)課程標準》明確指出:義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程,其基本出發(fā)點是促進學(xué)生全面、持續(xù)、和諧的發(fā)展。因此,我們要以鼓勵學(xué)生主動參與,主動思考,主動探究,主動實踐為基本特征,以實現(xiàn)學(xué)生多方面能力綜合發(fā)展為核心.充分注意學(xué)生各種能力的培養(yǎng)。從實際出發(fā),努力激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性。教會學(xué)生學(xué)習(xí),教會學(xué)生思考,教會學(xué)生探索,使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。

二、背景和遇到的問題

在九年級上冊第一章反比例函數(shù)的教學(xué)中,當學(xué)習(xí)完反比例函數(shù)的性質(zhì)后,書本第14頁“做一做”第1題第2小題是這樣的:已知x1,y1和x2, y2是反比例函數(shù)兩對自變量與函數(shù)的對應(yīng)值,x1>x2>0,則0___y1___y2(填>、<、=),我們不妨稱此題為例1,本題中因為a2≥0,所以-a2≤0,即反比例函數(shù)中的k<0,所以y的值會隨x的增大而增大,因為x1>x2。所以y1>y2,學(xué)生基本上能正確解決,但我相信,有許多同學(xué)都是一知半解的,為什么要在自變量中加入大于0的條件?為什么函數(shù)值中也涉及了與0的大小比較?所以我加入了例2,下列函數(shù)中,y隨x的增大而減小的是___,A、y=-3x+4 B、y=C、y=-D、y=3x-2

生1:老師,選A。

生2:B也對,A和B都對。

師:同意生2的觀點嗎?

生:同意!

師:那誰來幫老師分析一下,為什么這兩個解都對?

生3:因為一次函數(shù)y=kx+b,當k<0時,y必定隨著x的增大而減少,而A中,y=-3x+4,k=-3<0,所以A正確。

師:對嗎?

生:對。

師:B呢?

師:講的很好。有誰需要補充嗎?

生:……

師:我們不妨回到書本第13頁,一起仔細地研讀反比例函數(shù)的性質(zhì)。

師:剛才生4的表述與書本上的表述有什么不同?

生5:書上詳細地講到,在圖象所在的每一個象限內(nèi)。

師:這是一句廢話嗎?為什么書本上不把它刪去?

生:……

生:x≠0。

師:為什么?

生:因為分母不等于0。因為0不能作除數(shù)。

師:而一次函數(shù)y=kx+b中有沒有這樣的限制條件?

生:沒有。

師:那么體現(xiàn)在圖象上又有什么區(qū)別呢?

生:一次函數(shù)的圖象是一條直線,x可以取任意值。

師:對,但反比例函數(shù)的雙曲線呢?

如圖,當k>0時,圖象分布在一、三象限。試問:圖象的兩個分支可不可能與兩線標軸相交?

生:不可能。因為x≠0,y≠0。

師:恩,所以,兩個分支是獨立的。k>0,y的值隨著x的增大而減小,但必須在同一分支上,即在圖象所在的每一個象限內(nèi)才可以比較大小。

生:也就是自變量x必須都大于0,或都小于0。

師:所以例2中,該選擇……

生:A。

師:若讓B也正確,該如何修改?

生:加上x>0或x<0。

師:講得很棒,現(xiàn)在我們再一起回過頭來看例1,你注意到例1中 x1>x2>0了嗎?

生:嗯,所以,最好利用圖像來解決。

師:讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限,x1>x2>0,說明圖象只研究位于第四象限的那一支,y1>y2,且0>y1>y2。

三、問題的解決

愛因斯坦說:“提出一個問題往往比解決一個問題更重要?!卑l(fā)現(xiàn)問題,大膽懷疑,課堂上把“提問權(quán)”還給學(xué)生,并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導(dǎo),對激發(fā)學(xué)生的強烈的探索動機,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力會起到重要作用。在復(fù)習(xí)課中,我又結(jié)合兩種函數(shù),即反比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)值大小和學(xué)生進行了一次探討。因為我們都知道,在初中階段,學(xué)習(xí)的幾種函數(shù)中,只有反比例函數(shù)對自變量加以了限制(函數(shù)應(yīng)用中自變量取值除外)。

作為教師,我們都知道,思維的發(fā)展過程是從發(fā)現(xiàn)問題開始,如鄭板橋老先生說過:“學(xué)問二字,需要拆開來看,學(xué)是學(xué),問是問,有學(xué)無問,雖讀萬卷書,只是一條鈍漢耳。”所以學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn),可以說,是數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育的前提,學(xué)生應(yīng)成為“提出問題——分析問題——解決問題”這個認知過程的主體,應(yīng)享有這種思維活動的權(quán)利和機會。

例3,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)y1=x+1與反比例函數(shù)交于A、B兩點,問當x取何值時,y1>y2?

兩個函數(shù)圖象的交點問題我們都可以把它轉(zhuǎn)化為聯(lián)列方程組求公共解的問題,如本例中解得即定點坐標為A(2,3),B(-3,-2),再接下來,利用函數(shù)圖象,可以解題。如圖:

當x=2或x=-3時,y1=y2,要使y1>y2,即當取一個特定的x值,一次函數(shù)圖象上的點要高于反比例函數(shù),所以借助直線x=-3和直線x=2,以及y軸,就把整個坐標平面分成了四部分,即x<-3, -3<x<0,0<x<2,x>2發(fā)現(xiàn),當-3<x<0和x>2時,

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