魏國(guó)達(dá)

（福建省清流縣第一中學(xué)）

例析函數(shù)含參問(wèn)題中的分類(lèi)討論與分段討論

魏國(guó)達(dá)

（福建省清流縣第一中學(xué)）

在高中數(shù)學(xué)思想方法中，分類(lèi)與整合思想是非常重要的思想方法之一。這種思想在解決有關(guān)含參的問(wèn)題中更是顯出它的重要性。分類(lèi)與整合思想有兩種形式：參數(shù)的分類(lèi)討論與自變量的分段討論。學(xué)生在運(yùn)用時(shí)往往混淆不清，特別是在整合的結(jié)果上分不清是取交還是取并。通過(guò)對(duì)例題的解析談?wù)劮诸?lèi)討論與分段討論。

數(shù)學(xué)思想；分類(lèi)討論；分段討論

高中數(shù)學(xué)的七大數(shù)學(xué)思想中，分類(lèi)與整合思想是很重要的思想方法之一。福建2015年《考試說(shuō)明》中指出：“分類(lèi)與整合思想不僅是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用方法，也是其他自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)研究的基本邏輯方法，高考把分類(lèi)與整合思想放在比較重要的位置，并以解答題為主進(jìn)行考查?！狈诸?lèi)與整合思想方法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié)中，特別是在分段函數(shù)與含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題中更是體現(xiàn)得淋漓盡致。在含有參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題中討論有兩類(lèi)：對(duì)于參數(shù)的分類(lèi)討論和對(duì)于自變量的分段討論，然而學(xué)生在對(duì)于是分類(lèi)討論還是分段討論混淆不清,也不知如何整合結(jié)果。這里結(jié)合一些例題談?wù)労瘮?shù)中含參問(wèn)題的分類(lèi)討論與分段討論。

一、對(duì)參數(shù)的分類(lèi)討論

1.含參的函數(shù)問(wèn)題中研究的對(duì)象是自變量時(shí)，若需對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，且自變量的范圍在參數(shù)的每一種分類(lèi)中都是完整的，這種討論方法為參數(shù)的分類(lèi)討論法，其整合的結(jié)果為各類(lèi)結(jié)果的并集。

解：（fx）的定義域?yàn)镽

由f′（x）=x2-（a+2）x+2a=（x-a）（x-2）=0得x=a或x=2

（1）當(dāng)a＜2時(shí)，由f′（x）＞0得x＜a或x＞2，由f′（x）＜0得a＜x＜2，則（fx）的增區(qū)間為（-∞，a），（2，+∞）；減區(qū)間為（a，2）；

（2）當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=（x-2）2≥0恒成立，（fx）的增區(qū)間為R，無(wú)減區(qū)間；

（3）當(dāng)a＞2時(shí)，由f′（x）＞0得x＜2或x＞a，由f′（x）＜0得2＜x＜a，則（fx）的增區(qū)間為（-∞，2），（a，+∞）；減區(qū)間為（2，a）；

綜上：當(dāng)a＜2時(shí)，（fx）的增區(qū)間為（-∞，a），（2，+∞）；減區(qū)間為（a，2）；當(dāng)a=2時(shí)，（fx）的增區(qū)間為R，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)a＞2時(shí)，（fx）的增區(qū)間為（-∞，2），（a，+∞）；減區(qū)間為（2，a）；

注：本題研究的對(duì)象是自變量x，通過(guò)比較f′（x）的兩個(gè)值a 與2的大小，對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論。在a的每一種情形中，都是在自變量x的范圍R上研究，則結(jié)果為各類(lèi)結(jié)果的并集。

2.含參的函數(shù)問(wèn)題中研究的對(duì)象是參數(shù)時(shí)，常用分離參數(shù)的方法。若參數(shù)不好分離，則對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，且在每一類(lèi)的討論中自變量的范圍保持完整不變。其參數(shù)所求的結(jié)論是各類(lèi)結(jié)論的并集。

解：（fx）的定義域?yàn)椋?，+∞）

（1）當(dāng)a=0時(shí)，（fx）=x（x＞0）在（1，2）上為增函數(shù)，符合題意；

（3）當(dāng)a＜0時(shí)，由（fx）＞0得x＜3a或x＞-a，（fx）的增區(qū)間為（-∞，3a），（-a，+∞），由題意得區(qū)間（1，2）是（-a，+∞）的一個(gè)子集，

注：本題研究的對(duì)象是參數(shù)a，由f′（x）≥0不好分離參數(shù)，則根據(jù)f′（x）=0的兩根-a與3a的大小關(guān)系分類(lèi)，求出增區(qū)間，利用（1，2）是f（x）的增區(qū)間的一個(gè)子集解決問(wèn)題。在a的每一種情形中，x的范圍（1，2）沒(méi)有變化，因而這是一個(gè)分類(lèi)討論問(wèn)題，參數(shù)a的取值范圍是三種情形結(jié)果的并集。當(dāng)然此題也可由f′（x）≥0在（1，2）恒成立，用二次函數(shù)的圖象解決。

二、對(duì)自變量的分段討論

用分離參數(shù)的方法研究含參問(wèn)題中參數(shù)的取值范圍時(shí)，若在分離參數(shù)的過(guò)程中要對(duì)參數(shù)的系數(shù)進(jìn)行討論，即要把自變量的范圍分割成幾個(gè)小范圍進(jìn)行求解時(shí)，則應(yīng)對(duì)自變量采取分段討論的方式，其參數(shù)的結(jié)果應(yīng)取每段結(jié)果的交集。

綜上：a的取值范圍為［-2，2］。

注：本題中分離參數(shù)時(shí)由于參數(shù)的系數(shù)x的符號(hào)無(wú)法確定，因而要對(duì)x的范圍進(jìn)行分割處理，所以本題要對(duì)x進(jìn)行分段討論。其參數(shù)的范圍是各段參數(shù)范圍的交集。

（1）當(dāng)x=0時(shí)，0≤0恒成立，則a∈R；

三、分類(lèi)討論與分段討論的區(qū)別與聯(lián)系

含參的函數(shù)問(wèn)題中，不論研究對(duì)象是參數(shù)還是自變量，若以研究對(duì)象作為主體進(jìn)行討論時(shí)，則是分類(lèi)討論，其結(jié)論為各類(lèi)結(jié)論的并集；若研究對(duì)象不動(dòng)，以另一個(gè)對(duì)象為主體進(jìn)行討論時(shí)，則是分段討論，其結(jié)論為各段結(jié)論的并集。以研究對(duì)象作為主體進(jìn)行討論其實(shí)是對(duì)研究對(duì)象自己進(jìn)行分段討論；研究對(duì)象不動(dòng)，以另一個(gè)對(duì)象為主體進(jìn)行討論時(shí)，其實(shí)是對(duì)另一對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)討論。這兩種分類(lèi)方法實(shí)際上是解決問(wèn)題的兩種不同的思維途徑，它們之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，如解決含參問(wèn)題中求參數(shù)的范圍時(shí)，既可對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，也可對(duì)自變量進(jìn)行分段討論。

（1）當(dāng)Δ=a2-4≤0時(shí)滿(mǎn)足條件，解得：-2≤a≤2；

綜上：a的取值范圍為［-2，2］。

注：此種方法結(jié)合二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和對(duì)稱(chēng)軸的位置進(jìn)行分類(lèi)，實(shí)際是在對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)討論，其結(jié)果取各類(lèi)結(jié)果的并集。但這種方法很容易由于考慮不周全而漏解。

例4.另解：由于f′（x）=cosx-a

總之，含參問(wèn)題中都是圍繞著所求對(duì)象展開(kāi)的，無(wú)論是對(duì)哪個(gè)量進(jìn)行討論，分類(lèi)的對(duì)象都要科學(xué)分類(lèi)，且分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，做到不重不漏，并能科學(xué)地研究、合理地整合結(jié)果。

·編輯 魯翠紅