邵云龍

（桂林電子科技大學(xué)，廣西 桂林 541004）

伸縮梯度投影法在天文圖像復(fù)原中的應(yīng)用

邵云龍

（桂林電子科技大學(xué)，廣西 桂林 541004）

在地基天文觀測中，由于大氣湍流的干擾，使得觀測結(jié)果降質(zhì)，嚴(yán)重影響高分辨率天文圖像的獲取，因此需要對天文圖像進(jìn)行復(fù)原?；谏炜s梯度投影（SGP）的圖像反卷積算法精度高、收斂快，但需要較為精確的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）估計作為前提。對此，聯(lián)合基于稀疏測度的PSF估計算法提出改進(jìn)的ESGP算法。仿真結(jié)果表明，經(jīng)改進(jìn)的算法能夠較好的復(fù)原天文圖像。

天文圖像；大氣湍流；SGP；PSF估計

1 引言

地基光學(xué)望遠(yuǎn)鏡對天文目標(biāo)成像時，由于大氣湍流引起的波前畸變，所獲取的圖像產(chǎn)生嚴(yán)重的降質(zhì)，很難獲得高分辨率的天文圖像[1]，需要對天文圖像進(jìn)行復(fù)原。

天文圖像的高清晰復(fù)原方法，主要分為兩類：一類是針對成像環(huán)節(jié)，利用自適應(yīng)光學(xué)（adaptive optics,AO）系統(tǒng)實(shí)時補(bǔ)償大氣湍流造成的影響，實(shí)現(xiàn)波前像差糾正[2]。但自適應(yīng)光學(xué)儀器制造極其復(fù)雜，改進(jìn)成本高；受硬件條件的限制，不可避免的存在誤差。第二類方法是針對觀測結(jié)果，通過圖像復(fù)原技術(shù)來復(fù)原高分辨率圖像。這類方法簡單、易于實(shí)現(xiàn)且代價低，同時也可作為第一類方法的有效補(bǔ)充。因此，無論采取哪種方法，相應(yīng)的圖像復(fù)原后處理技術(shù)都是必不可少的[3]。

圖像復(fù)原算法研究作為天文圖像處理的一個重要方向，已取得了大量成果。在斑點(diǎn)成像技術(shù)方面，最早的有A.Labeyrie提出的斑點(diǎn)干涉測量算法[4]。之后，W.H.Richarson和L.B.Lucy分別相互獨(dú)立的提出了基于Bayes原理的R-L算法[5]，R-L算法收斂速度較慢且需要知道點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為前提。Ayers和Dainty提出了迭代盲解卷積（Itertive Blind Deconvolution,IBD）算法[6]，其基本思想就是在空間域和Fourier域交替施加約束條件，最終得到理想目標(biāo)圖像的估計。但算法受樣本初始值的影響大，缺乏可靠性，解的唯一性和收斂性不能得到有效保證。Deepa Kundar提出了基于非負(fù)性和有限支持域的遞歸迭代逆濾波算法（NAS-RIF)[7]。算法結(jié)構(gòu)簡單，且算法在凸集上進(jìn)行迭代，解的唯一性和算法的收斂性都可以得到保證，取得了很好的效果。但由于算法構(gòu)建的逆濾波器具有高通的性質(zhì)，會導(dǎo)致高頻噪聲放大。Bonettini等利用高效的伸縮策略和步長更新規(guī)則提出了伸縮梯度投影算法[8]，該算法具有精度高，魯棒性好的特點(diǎn)，同時由于利用了高效的伸縮策略和步長更新策略，相比常規(guī)梯度投影類迭代算法，其收斂速率大大提高。

SGP算法假定點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）是已知的，但實(shí)際情況下，PSF通常是未知的，這限制了SGP算法的應(yīng)用。本文在伸縮梯度投影算法（SGP）基礎(chǔ)之上，針對其需要較為精確的PSF估計為前提，聯(lián)合基于稀疏測度的PSF估計算法提出改進(jìn)的ESGP算法。首先，通過基于稀疏測度的PSF估計算法[10]估計出較為精確的PSF；然后，利用估計出來的PSF通過SGP算法對圖像進(jìn)行反卷積得到復(fù)原圖像。

2 伸縮梯度投影算法（SGP）概述

其中，A是一個N×N的矩陣，指成像過程對清晰圖像的物理影響，這里可理解為PSF。X是需要被復(fù)原的清晰圖像，η指的是圖像獲取過程中的加性噪聲，b指的是實(shí)際觀測圖像。圖像盲復(fù)原問題即在除觀測圖像以外無任何先驗知識的前提下，從觀測圖像b中得到清晰圖像的近似x的過程，這是一個病態(tài)的問題。這類問題根據(jù)非負(fù)性和通量守恒的約束可以轉(zhuǎn)化為極小值問題：

在SGP算法中，J(x)表示為Ax與b之間的K-L距離：

梯度類投影算法中，關(guān)鍵的一步就是投影的計算。投影算子的定義為：

在SGP算法中，每次迭代中需要計算：

也就是說，必須解決如下的約束凸二次規(guī)劃問題：

其中，

根據(jù)約束集的特殊結(jié)構(gòu)，問題（2-6）可以表示為一維的尋根問題。

對于這種含非等式約束的情形，首先構(gòu)造拉格朗日罰函數(shù)：

列出其KKT條件：

由上述KKT條件可得：

對于（2-11）這種分段線性單調(diào)非遞增的求根問題，采用文獻(xiàn)[11]中基于切割的方法可以高效的解決。

同比常規(guī)梯度投影類算法，SGP算法通過使用有效的步長和伸縮矩陣的更新策略使得收斂速率大大提高。同L-R算法相比，SGP算法在圖像去模糊問題中得到與L-R算法相同復(fù)原精度的同時，所需的時間大大減少。

3 改進(jìn)的圖像盲復(fù)原算法ESGP

SGP算法在處理圖像去模糊問題時是有非常有效的，但需要一個較為精確的PSF估計為前提。實(shí)際問題中，PSF往往是未知的，因此需要在僅已知觀測圖像的情況下估計出較為精確的PSF。

目前已有很多PSF的估計算法，總體上分為兩類：第一類是利用圖像的邊緣估計模糊核[12,13,14]，這類算法估計圖像的邊緣并用模擬的塊替換掉模糊圖像的邊緣，由此估計出模糊核。由于現(xiàn)實(shí)模糊圖像中，需要被替換掉的復(fù)雜的紋理信息往往遭到嚴(yán)重的破壞，此類算法不穩(wěn)定，甚至產(chǎn)生錯誤的模糊核。第二類算法充分利用了自然圖像統(tǒng)計信息的先驗知識，即它們的分布導(dǎo)數(shù)和模糊核是稀疏的、連續(xù)的。利用這些信息，此類算法通過最大后驗概率的方法[15,16]或者簡單的代價函數(shù)[10,17]來估計模糊核。其中，文獻(xiàn)[10]中的基于稀疏測度的PSF估計算法相對簡單，且復(fù)原效果好，適用于天文圖像的復(fù)原。

圖像復(fù)原問題是個病態(tài)問題，即在圖像復(fù)原過程中由于噪聲的存在導(dǎo)致復(fù)原的結(jié)果與真實(shí)圖像相差甚遠(yuǎn)，解決圖像復(fù)原病態(tài)問題的基本做法就是對解進(jìn)行正則化約束[18-19]，來減少數(shù)據(jù)波動對解的影響，從而保證解的穩(wěn)定性。

l1范數(shù)相對 l0范數(shù)具有更好的優(yōu)化求解特性而廣泛應(yīng)用于表達(dá)信號的稀疏性，但是由于它的尺度可變性，簡單的減小信號就會使l1范數(shù)變小。圖像處理中，l1范數(shù)作用于高頻部分，當(dāng)圖像中噪聲增加時，相應(yīng)的 l1范數(shù)會增大，因此減小l1范數(shù)可以有效地抑制噪聲。而當(dāng)圖像的模糊度增加時，相應(yīng)的l1范數(shù)會減小。因此，在圖像去模糊中，簡單的使用l1范數(shù)約束會產(chǎn)生模糊的圖像。l1范數(shù)和 l2范數(shù)的比例 l1/l2是 l1范數(shù)的歸一化，當(dāng)它作用于圖像高頻部分時，圖像模糊度的增加會導(dǎo)致兩個范數(shù)同時減小，但 l2范數(shù)減小的更快，因此它們的比例會增大，這樣l1/l2可作為圖像模糊度的有效約束。

其中，x是未知的在高頻空間的清晰圖像，k是未知的模糊核，?是二維卷積算子。代價函數(shù)包含三個部分，第一部分是模型(3-1)的似然項。第二部分是一個 l1/l2正則項，它是l1的歸一化版本，具有尺度不變性。第三部分，是對模糊核的k的l1范數(shù)的懲罰，以減少模糊核中的噪聲。

式(3-3)是非凸的，解決方法是給x和k一個初始值，然后交替進(jìn)行x和k的更新：

x更新的子問題可表示為：

k更新的子問題可表示為：

該問題可通過迭代重加權(quán)最小二乘算法[21]高效解決，其中k到約束集的投影即設(shè)定非零元素為0，并重新歸一化。

仿真結(jié)果表明，該算法結(jié)構(gòu)簡單、效率高且能夠較為精確的估計出PSF。

4 仿真結(jié)果與分析

為客觀驗證算法的恢復(fù)質(zhì)量，本文采用峰值信噪比(Peak Signal to Noise Ratio,PSNR)、結(jié)構(gòu)相似度(structural similarity)2個指標(biāo)對復(fù)原結(jié)果進(jìn)行比較。峰值信噪比主要用于來評價圖像復(fù)原方法對噪聲的影響，其值越大，說明圖像受噪聲影響越小。其定義為：

上述指標(biāo)從統(tǒng)計意義上對圖像進(jìn)行分析，并不涉及信號自身的內(nèi)容，沒有考慮到像素之間的相關(guān)性。因此評價結(jié)果與人的主觀感知不能取得完全一致。結(jié)構(gòu)相似法 SSIM（structural similarity）是一種基于結(jié)構(gòu)信息衡量原始信號與處理后信號之間相似程度的方法，與主觀質(zhì)量評價關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)，其值在0到1之間，越接近1說明與原始清晰圖像越相似。

下面給出不同PSF估計對SGP算法的影響的仿真，將第一類算法中文獻(xiàn)[13]中的算法和第二類算法中文獻(xiàn)[15]中的算法仿真比較，結(jié)果如圖1所示：

圖1　不同PSF估計對SGP影響

表1　不同PSF估計下SGP復(fù)原指標(biāo)

從復(fù)原圖直觀的可看出，文獻(xiàn)[11]中的算法取得了更佳的效果，PSNR和SSIM指標(biāo)也印證了這一點(diǎn)。

5 結(jié)束語

本文給出一種基于SGP算法改進(jìn)的圖像盲復(fù)原算法，鑒于SGP算法需要較為精確的PSF估計為前提，采用了基于稀疏測度的 PSF估計算法，該 PSF估計算法能較好的估計出PSF。仿真結(jié)果顯示改進(jìn)的算法能獲得較好的恢復(fù)效果，具有很好的收斂性。

[1] Sheppard D G,Hunt B R,Marcellin M W.Iterative multiframe superresolution algorithms for atmospheric-turbunceegraded imagery[J].JOSA A,1998,15(4):978- 992.

[2] Jolissaint L,Carfantan H, Anterrieu E.Exploring the impact of PSF reconstruction errors on the reduction of astronomical adaptive optics based data[C]//SPIE Astronomical Telescopes+ Instrumentation.International Society for Optics and Photonics,2008.

[3] Schulz T J.Multiframe blind deconvolution of astronomical images[J].JOSA A,1993,10(5):1064-1073.

[4] Labeyrie A. Attainment of diffraction limited restoration in large telescopes by Fourier analyzing speckle patterns in star images[J]. Astron.&Astrophys,1970,(6):85-87.

[5] Lucy L B.An iterative technique for the rectification of observed distributions[J].The astronomical journal,1974, (79):745.

[6] Ayers G R,Dainty J C.Iterative blind deconvolution method and its applications[J].Optics letters,1988,13(7):547-549.

[7] Kundur D,Hatzinakos D.A novel blind deconvolution scheme for image restoration using recursive filtering[J]. Signal Processing,IEEE Transactions on,1998,46(2):375-390.

[8] Bonettini S,Zanella R,Zanni L. A scaled gradient projection method for constrained image deblurring[J].Inverse Problems,2009,25(1):125-130.

[9] Dabov K, Foi A,Katkovnik V,et al.Image Denoising by Sparse 3-D Transform-Domain Collaborative Filtering[J]. Image Processing,IEEE Transactions on,2007,(16):080-095.

[10] Krishnan D,Tay T,Fergus R.Blind deconvolution using a normalized sparsity measure[C].Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR),2011 IEEE Conference on. IEEE,2011:233-240.

[11] Dai Y H, Fletcher R.New algorithms for singly linearly constrained quadratic programs subject to lower and upper bounds[J].Mathematical Programming,2006,106(3):403-421.

[12] Sun L,Cho S,Wang J,et al.Edge-based blur kernel estimation using patch priors[C]//Computational Photography (ICCP), 2013 IEEE International Conference on.IEEE, 2013:1-8.

[13] Cho T S, Paris S,Horn B K P,et al.Blur kernel estimation using the radon transform[C]//Computer Vision and Pattern Recognition(CVPR),2011 IEEE Conference on.IEEE,2011: 241-248.

[14] Joshi N, Szeliski R,Kriegman D.PSF estimation using sharp edgeprediction[C]//ComputerVisionandPattern Recognition,2008.CVPR 2008.IEEE Conference on.IEEE, 2008:1-8.

[15] Levin A,Weiss Y,Durand F,et al. Efficient marginal likelihood optimization in blind deconvolution[C]// Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR),2011 IEEE Conference on.IEEE,2011:2657-2664.

[16] Levin A,Weiss Y,Durand F,et al.Understanding and evaluating blind deconvolution algorithms[C]//Computer Vision and Pattern Recognition, 2009.CVPR 2009.IEEE Conference on.IEEE,2009:1964-1971.

[17] Shan Q,Jia J,Agarwala A.High-quality motion deblurring from a single image[C]//ACM Transactions on Graphics (TOG).ACM,2008,27(3):73.

[18] Karayiannis N B,Venetsanopoulos A N.Regularization Theory in Image:the Regularizing Operator Approach[J]. Optical Engineering,1989,28(7):761-780.

[19] Karayiannis N B. Regularization Theory in Image Restoration-the Stablizing Functional Approach [J]. IEEE Trans on Acoustics,Speech and Signal Processing, 1990, 38(7):1155-1179.

[20] Beck A,Teboulle M.A fast iterative shrinkage-thresholding algorithm for linear inverse problems[J].SIAM Journal on Imaging Sciences,2009, 2(1):183-202.

[21] Levin A, Fergus R, Durand F, et al. Image and depth from a conventional camera with a coded aperture[C]//ACM Transactions on Graphics (TOG).ACM, 2007,26(3):70.

[22] Buades A, Coll B, and Morel J M. A non-local algorithm for image denoising[J].Proceedings of the IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition, San-Diego,2005,(2):60-65.

Application Of Scaled Gradient Projection Method In Telescopic Astronomical Image Restoration

In ground-based astronomy observations, due to the interference of atmospheric turbulence, the observed images are degraded, making it difficult to obtain high-resolution astronomical images, so astronomical image restoration is needed. The image deconvolution algorithm based on scaled gradient projection is highly effective with a high precision and a fast convergence, but requires an accurate point spread function (PSF) estimation as a prerequisite. Based on SGP, an enhanced SGP (ESGP) is proposed connected with the PSF estimation algorithm based on sparsity measure. Simulation results show that the improved algorithm gets brilliant performance on astronomical image restoration.

Astronomical image; atmospheric turbulence; SGP; PSF estimation

P11

A

1008-1151(2015)04-0008-03

2015-03-08

邵云龍（1988-），男，桂林電子科技大學(xué)在讀生，研究方向為適用于天文觀測的天文圖像復(fù)原算法研究。