□ 劉 揚(yáng) □ 張健滔

1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 上海 200072

2.上海大學(xué) 上海市智能制造及機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200072

十字形多自由度超聲電機(jī)接觸分析模型研究*

□ 劉 揚(yáng)1，2□ 張健滔1，2

1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院 上海 200072

2.上海大學(xué) 上海市智能制造及機(jī)器人重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 200072

十字形多自由度超聲電機(jī)其動(dòng)子繞X、Y軸旋轉(zhuǎn)與繞 Z軸旋轉(zhuǎn)的驅(qū)動(dòng)機(jī)理是不同的，根據(jù)彈性接觸理論，對(duì)其進(jìn)行了分別考慮，并建立了電機(jī)摩擦接觸分析模型。利用建立的模型，對(duì)多自由度電機(jī)機(jī)械特性進(jìn)行了估算，分析了定子振幅、摩擦因數(shù)、驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)電機(jī)輸出性能的影響規(guī)律。對(duì)所研制樣機(jī)的機(jī)械特性進(jìn)行了測(cè)試，結(jié)果表明，所建立的模型對(duì)十字形超聲電機(jī)特性的預(yù)估是有效的，可為多自由度超聲電機(jī)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。

多自由度超聲電機(jī) 接觸模型 仿真分析 機(jī)械特性

隨著機(jī)電系統(tǒng)的發(fā)展，使用多自由度驅(qū)動(dòng)的場(chǎng)合越來(lái)越多，例如多自由度運(yùn)動(dòng)平臺(tái)、機(jī)器人關(guān)節(jié)與眼球驅(qū)動(dòng)等，這些應(yīng)用對(duì)驅(qū)動(dòng)器提出了體積小、功率密度大、定位精度高等要求。傳統(tǒng)的多個(gè)單自由度電機(jī)驅(qū)動(dòng)，存在結(jié)構(gòu)復(fù)雜、體積大、質(zhì)量重等問(wèn)題。因而對(duì)多自由度電機(jī)的研究十分必要，特別是多自由度超聲電機(jī)，由于其具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、直接驅(qū)動(dòng)、推重比大、慣性小、響應(yīng)快、斷電自鎖、可控制性好和定位精度高等優(yōu)點(diǎn)，備受?chē)?guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注［1-5］。

建立多自由度超聲電機(jī)定、動(dòng)子接觸模型，有助于理解其運(yùn)行機(jī)理，了解各參數(shù)對(duì)機(jī)械特性的影響，可為電機(jī)設(shè)計(jì)提供指導(dǎo)。目前研究較多的是行波型多自由度超聲電機(jī)的理論模型，最早，Takashi Maeno［6］利用有限元方法建立了行波型單自由度超聲電機(jī)模型。Joachim［7］通過(guò)假設(shè)定子為伯努利-歐拉梁，建立了行波單自由度超聲電機(jī)定、動(dòng)子接觸模型。國(guó)內(nèi)學(xué)者也對(duì)行波單自由度超聲電機(jī)的定、動(dòng)子接觸模型進(jìn)行了深入研究，周盛強(qiáng)等利用有限元三維點(diǎn)點(diǎn)接觸單元，分析了接觸界面的接觸狀態(tài)，曲建俊等假設(shè)定子摩擦層為黏彈性體，提出了行波超聲電機(jī)黏彈性接觸模型［4-5，8-9］。這些學(xué)者深入研究了行波單自由度超聲電機(jī)接觸模型，但有關(guān)多自由度超聲電機(jī)接觸模型的研究很少有報(bào)道。筆者對(duì)所研制的一款十字形多自由度超聲電機(jī)的定、動(dòng)子接觸機(jī)理進(jìn)行了研究，并建立其理論接觸模型，利用該模型進(jìn)行電機(jī)機(jī)械特性仿真。

1 十字形多自由度超聲電機(jī)接觸模型

1.1 十字形多自由度超聲電機(jī)結(jié)構(gòu)

研制的一款十字形多自由度超聲電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示，電機(jī)動(dòng)子為球形金屬體，定子整體結(jié)構(gòu)呈十字

形，定子中心開(kāi)方形盲孔，將定子分為后驅(qū)動(dòng)足、右驅(qū)動(dòng)足、前驅(qū)動(dòng)足、左驅(qū)動(dòng)足，4片壓電陶瓷非對(duì)稱(chēng)地貼在定子的4個(gè)驅(qū)動(dòng)足上。動(dòng)子直徑大于定子中心方形盲孔的寬度，定子與動(dòng)子沿豎直方向具有一定的接觸壓力，并通過(guò)摩擦傳動(dòng)。該超聲電機(jī)可實(shí)現(xiàn)繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)，具有結(jié)構(gòu)緊湊、構(gòu)件少、易于小型化等特點(diǎn)。

十字形多自由度超聲電機(jī)利用兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)工作，如圖2所示。第一振動(dòng)模態(tài)的振型如圖2（a）所示，其左右驅(qū)動(dòng)足交替伸長(zhǎng)、收縮。第二振動(dòng)模態(tài)的振型如圖2（b）所示，其前后驅(qū)動(dòng)足交替伸長(zhǎng)、收縮，兩個(gè)工作振動(dòng)模態(tài)的頻率需近似相等。

▲圖1 十字形多自由度超聲電機(jī)樣機(jī)

▲圖2 電機(jī)工作模態(tài)振型

1.2 繞X、Y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的定、動(dòng)子接觸模型

電機(jī)定子驅(qū)動(dòng)動(dòng)子繞X、Y軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，工作機(jī)理類(lèi)似，只需激勵(lì)出其中一個(gè)工作模態(tài)。以繞X軸旋轉(zhuǎn)為例進(jìn)行分析，此時(shí)只需激勵(lì)出工作模態(tài)一。電機(jī)正常工作時(shí)，定子驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子接觸點(diǎn)作斜線運(yùn)動(dòng)。定子工作時(shí)驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P的位移響應(yīng)為：

當(dāng)電機(jī)穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，定、動(dòng)子間接觸狀態(tài)如圖3所示。式（1）表示定子工作時(shí)驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P位移響應(yīng)可轉(zhuǎn)換到NOτ坐標(biāo)系，如圖3（a）所示，即：

在一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)，驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)與動(dòng)子的狀態(tài)分為：接觸期和脫離期。當(dāng)定子、動(dòng)子穩(wěn)定工作后，驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)P沿法向N的位移如圖3（b）所示，σ0表示定子穩(wěn)態(tài)工作時(shí)驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的法向平衡位置面到動(dòng)子接觸表面的距離。

在驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)與動(dòng)子脫離時(shí)，動(dòng)子沿N方向的接觸變形量δN（t）=0；接觸時(shí)，可表示為：

式中：WC為定子、動(dòng)子接觸狀態(tài)下定子驅(qū)動(dòng)點(diǎn)的振幅。

設(shè)ta、td分別為驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子開(kāi)始接觸及開(kāi)始脫離時(shí)間，一個(gè)驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)定子與動(dòng)子接觸時(shí)間為：

設(shè)ε=Tj/T，T為驅(qū)動(dòng)周期，所以有：

在驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子接觸時(shí)段內(nèi)，定子驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的法向和切向位移及速度都是變化的。為簡(jiǎn)化分析，由于電機(jī)穩(wěn)態(tài)工作時(shí)定、動(dòng)子間接觸頻率很高，且動(dòng)子有一定慣性，可假定動(dòng)子在穩(wěn)態(tài)工作時(shí)速度不變?yōu)関s1。驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子接觸區(qū)域內(nèi)，定子驅(qū)動(dòng)足上質(zhì)點(diǎn)切向振動(dòng)速度vτ不斷變化，故在接觸時(shí)段內(nèi)存在等速點(diǎn)（即定子驅(qū)動(dòng)點(diǎn)切向振動(dòng)速度與動(dòng)子切向速度相同的點(diǎn)），如圖4所示。

根據(jù)庫(kù)侖定律，驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子間的摩擦力為：

▲圖3 驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子接觸狀態(tài)示意圖

▲圖4 一個(gè)周期內(nèi)定、動(dòng)子切向速度關(guān)系及做功示意圖

式中：μd為驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子間動(dòng)摩擦因數(shù)。

根據(jù)動(dòng)量定理，一個(gè)周期內(nèi)定子對(duì)動(dòng)子的平均驅(qū)動(dòng)力（沿切線方向）為：

故十字形多自由度電機(jī)繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí)輸出力矩為：

式中：l為驅(qū)動(dòng)力的力臂；D為動(dòng)子直徑。

以上兩式中的符號(hào)函數(shù)為：

1.3 繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的定、動(dòng)子接觸模型

1.3.1 面外行波分析

十字形多自由度超聲電機(jī)繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，將用正弦、余弦電信號(hào)同時(shí)激勵(lì)出兩個(gè)工作振動(dòng)模態(tài)，此時(shí)定子驅(qū)動(dòng)端產(chǎn)生行波來(lái)驅(qū)動(dòng)動(dòng)子，驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子間的接觸比較連續(xù)平穩(wěn)。根據(jù)赫茲接觸理論，驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子間的接觸力可分解為兩個(gè)部分，即沿Z軸的接觸力與沿徑向的接觸力。沿Z軸的接觸力為：

式中：kZ為動(dòng)子沿Z軸方向的等效彈簧剛度；δZ為動(dòng)子沿Z軸方向的接觸變形量，與定子振幅、動(dòng)子接觸剛度等相關(guān)。

根據(jù)庫(kù)侖定律，驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子間的摩擦力為：

十字形多自由度超聲電機(jī)繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，可將電機(jī)沿Z軸方向中心線展開(kāi)，根據(jù)赫茲接觸理論，此時(shí)定子與動(dòng)子可等效于球體（定子）與面 （動(dòng)子）接觸的情況。故當(dāng)僅考慮面外行波驅(qū)動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子間的接觸界面如圖5所示。

▲圖5 驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子沿Z軸方向接觸狀況

在圖5中，區(qū)間［a，d］為一個(gè)周期內(nèi)接觸區(qū)域，b、c點(diǎn)代表等速點(diǎn)，即定子振動(dòng)速度與動(dòng)子切向速度相同點(diǎn)。在［b，c］區(qū)域內(nèi)，驅(qū)動(dòng)足表面質(zhì)點(diǎn)切向振動(dòng)速度大于動(dòng)子切向速度，這一區(qū)域內(nèi)摩擦力做正功，定子對(duì)動(dòng)子起驅(qū)動(dòng)作用，該區(qū)域?yàn)轵?qū)動(dòng)區(qū)間。在［a，b］及［c，d］區(qū)域內(nèi)，驅(qū)動(dòng)足表面質(zhì)點(diǎn)切向振動(dòng)速度小于動(dòng)子切向速度，該區(qū)域內(nèi)摩擦力做負(fù)功，定子對(duì)動(dòng)子起阻礙作用，這些區(qū)域稱(chēng)為制動(dòng)區(qū)間。

在分析定子、動(dòng)子接觸狀況時(shí)，假設(shè)定子、動(dòng)子材料具有彈性特性，根據(jù)赫茲理論，在沿Z軸方向預(yù)壓力Fp作用下，接觸區(qū)域的接觸寬度為：

式中：r0為等效定子球體半徑；E1為定子材料彈性模量；E2為動(dòng)子材料彈性模量；u1為定子材料泊松比；u2為動(dòng)子材料泊松比；p為單位長(zhǎng)度上的載荷，且：

式中：L為定子與動(dòng)子沿Z軸方向接觸長(zhǎng)度；Fp為動(dòng)子對(duì)定子沿Z方向的作用力。

在接觸區(qū)間［o，d］內(nèi)，接觸力沿切向τ（半徑）方向的分布可表示為：

式中：q0為區(qū)間［o，d］上的最大應(yīng)力，可表示為：

在接觸區(qū)域內(nèi)接觸應(yīng)力關(guān)于中點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此區(qū)間［a，o］上的接觸力也可用式（14）表示。驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子接觸過(guò)程中，假定驅(qū)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)切向運(yùn)動(dòng)速度與動(dòng)子切向速度不同，則存在打滑，否則，兩者相互黏結(jié)。結(jié)合庫(kù)侖定律，定子對(duì)動(dòng)子產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩為：

1.3.2 面內(nèi)行波分析

當(dāng)僅考慮定子產(chǎn)生的面內(nèi)行波作用，其產(chǎn)生徑向力可表示為：

式中：kr為動(dòng)子沿徑向的等效彈簧剛度；δr為動(dòng)子沿徑向接觸變形量，與定子振幅、動(dòng)子接觸剛度等相關(guān)。

切向摩擦力可表示為：

此時(shí)，定、動(dòng)子間的接觸情況如圖6所示，圖中［a′，d′］為定、動(dòng)子的接觸區(qū)間，b′、c′為等速點(diǎn)，那么區(qū)間［b′，c′］為驅(qū)動(dòng)區(qū)間，區(qū)間［a′，b′］及［c′，d′］為制動(dòng)區(qū)間。

根據(jù)彈性接觸理論［10-12］，沿徑向預(yù)壓力作用下Fr的接觸弧度α可表示為：

▲圖6 驅(qū)動(dòng)足與動(dòng)子沿徑向接觸狀況

式中：rs、r0為等效定子、等效動(dòng)子的半徑；Dα為Dund-urs參數(shù)。

最終，定、動(dòng)子接觸長(zhǎng)度可表示為：

在接觸區(qū)間［o，d′］內(nèi)，接觸 力沿切向分布力為：

由于接觸區(qū)域內(nèi)的接觸力關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故區(qū)間［a′，o］內(nèi)的接觸力亦可用式（23）表示。面內(nèi)行波產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩為：

式中：L′為定子與動(dòng)子沿Z軸方向接觸長(zhǎng)度；vτ3（t）為驅(qū)動(dòng)足表面質(zhì)點(diǎn)切向速度。

綜上所述，繞Z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)輸出力矩為：

2 機(jī)械特性仿真及分析

根據(jù)所建立的十字形多自由度超聲電機(jī)接觸模型，利用MATLAB進(jìn)行仿真計(jì)算，分析電機(jī)各參數(shù)對(duì)電機(jī)輸出性能的影響，有助于了解十字形多自由度超聲電機(jī)在不同條件下的工作狀態(tài)及輸出性能，為電機(jī)設(shè)計(jì)提供參考。

2.1 仿真參數(shù)

表1為進(jìn)行仿真計(jì)算時(shí)所采用多自由度電機(jī)的相關(guān)參數(shù)的基值。研究其中某參數(shù)對(duì)電機(jī)輸出性能的影響時(shí)，取表中基值附近范圍內(nèi)的值進(jìn)行仿真分析。

表1 電機(jī)的仿真相關(guān)參數(shù)

2.2 電機(jī)參數(shù)對(duì)其性能的影響

2.2.1 定子振幅對(duì)電機(jī)輸出特性的影響

定子振幅與定子材料、結(jié)構(gòu)、尺寸以及驅(qū)動(dòng)電壓的幅值等相關(guān)，其它參數(shù)確定的情況下，在一定范圍內(nèi)，定子振幅會(huì)隨驅(qū)動(dòng)電壓幅值的增大而增大。圖7所示為定子沿Z軸的振幅對(duì)電機(jī)輸出力矩與輸出速度關(guān)系特性曲線的影響。在保持其它參數(shù)不變的情況下，改變定子沿Z軸方向振幅時(shí)，電機(jī)的最大輸出力矩及空載速度隨著定子振幅增加而增加，且空載速度比最大輸出力矩對(duì)振幅的改變更敏感。

2.2.2 摩擦因數(shù)對(duì)電機(jī)輸出特性的影響

定子與動(dòng)子間的接觸摩擦因數(shù)是影響電機(jī)輸出特性的最重要因素之一。因此，為了解動(dòng)摩擦因數(shù)對(duì)動(dòng)子輸出特性的影響，對(duì)不同摩擦因數(shù)時(shí)的輸出響應(yīng)進(jìn)行仿真分析。圖8為只改變摩擦因數(shù)、其它參數(shù)不變的情況下輸出力矩與輸出速度的關(guān)系曲線，從圖中可以看出，電機(jī)的最大輸出力矩隨著摩擦因數(shù)的增大而增大，而空載速度保持不變。

2.2.3 驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)電機(jī)輸出特性的影響

圖9為驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)電機(jī)輸出特性影響的仿真曲線，從圖中可以看出，隨著驅(qū)動(dòng)頻率偏離共振頻率越來(lái)越遠(yuǎn)，電機(jī)的輸出特性越來(lái)越差，因?yàn)轵?qū)動(dòng)頻率偏離共振頻率時(shí)，電機(jī)的振動(dòng)幅值會(huì)隨之顯著減小。因而，選取合適的驅(qū)動(dòng)頻率可以顯著提高電機(jī)工作時(shí)的輸出性能，且可通過(guò)調(diào)節(jié)驅(qū)動(dòng)頻率來(lái)控制電機(jī)的輸出特性。

3 樣機(jī)試驗(yàn)

利用所研制的多自由度超聲電機(jī)進(jìn)行了樣機(jī)輸出特性試驗(yàn)。

3.1 驅(qū)動(dòng)電壓與轉(zhuǎn)速關(guān)系

壓電陶瓷片工作電壓過(guò)高時(shí)容易被擊碎，工作電壓太低時(shí)運(yùn)行效率低，為獲得較為合理的工作電壓，測(cè)量了超聲電機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓與轉(zhuǎn)速的關(guān)系曲線。

▲圖7 定子振幅WZ對(duì)電機(jī)輸出特性的影響

▲圖8 摩擦因數(shù)對(duì)電機(jī)輸出特性的影響

▲圖9 驅(qū)動(dòng)頻率fw對(duì)電機(jī)輸出特性的影響

利用信號(hào)發(fā)生器（Tektronix AFG3022）與功率放大器（HFPA-41）為電機(jī)供電。在動(dòng)子上作標(biāo)記，使用攝像機(jī)記錄一段時(shí)間內(nèi)動(dòng)子的運(yùn)動(dòng)情況，再根據(jù)攝像計(jì)算平均轉(zhuǎn)速。以26 kHz為激勵(lì)頻率，測(cè)試驅(qū)動(dòng)電壓峰峰值從100～250 V變化時(shí)的電機(jī)轉(zhuǎn)速，如圖10所示。電機(jī)繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)速隨激勵(lì)電壓的增加而增加，可通過(guò)控制激勵(lì)電壓的大小來(lái)獲得不同的電機(jī)轉(zhuǎn)速。其實(shí)驅(qū)動(dòng)電壓減小時(shí)，電機(jī)的驅(qū)動(dòng)振幅也減小，進(jìn)而影響電機(jī)的轉(zhuǎn)速。從圖7仿真曲線可以看出，振幅減小時(shí)，計(jì)算出來(lái)的電機(jī)空載速度也在減小，其與圖10測(cè)試的電機(jī)轉(zhuǎn)速變化趨勢(shì)基本一致。

3.2 驅(qū)動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)速關(guān)系的試驗(yàn)

實(shí)測(cè)樣機(jī)在不同驅(qū)動(dòng)頻率下的轉(zhuǎn)速，以獲取驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速的影響規(guī)律。當(dāng)驅(qū)動(dòng)電壓峰峰值為250 V時(shí)，測(cè)得電機(jī)在25.2～26.8 kHz激勵(lì)頻率范圍內(nèi)繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)速。其中當(dāng)驅(qū)動(dòng)頻率分別為25.6 kHz、26 kHz、26 kHz時(shí)，電機(jī)繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的最高轉(zhuǎn)速分別為：55.4 r/min、55 r/min和125.5 r/min。根據(jù)該驅(qū)動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系曲線，可以通過(guò)改變驅(qū)動(dòng)頻率的方法來(lái)控制電機(jī)的轉(zhuǎn)速。從圖9驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)電機(jī)輸出特性的仿真曲線可看出，驅(qū)動(dòng)頻率偏離共振頻率時(shí)，計(jì)算出的電機(jī)空載轉(zhuǎn)速將變小。這與圖11試驗(yàn)測(cè)試的電機(jī)轉(zhuǎn)速變化趨勢(shì)基本一致。

▲圖10 驅(qū)動(dòng)電壓與轉(zhuǎn)速的關(guān)系曲線

▲圖11 驅(qū)動(dòng)頻率與轉(zhuǎn)速的關(guān)系曲線

4 結(jié)論

建立十字形多自由度超聲電機(jī)摩擦接觸模型。由于該電機(jī)動(dòng)子繞X、Y軸旋轉(zhuǎn)與繞Z軸旋轉(zhuǎn)的驅(qū)動(dòng)機(jī)理不同，該模型利用彈性接觸理論進(jìn)行了分別考慮。

利用所建立的接觸分析模型，對(duì)多自由度電機(jī)機(jī)械特性進(jìn)行了估算，分析了定子振幅、摩擦因數(shù)、驅(qū)動(dòng)頻率對(duì)電機(jī)輸出性能的影響規(guī)律。

對(duì)研制樣機(jī)的機(jī)械特性進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果的變化趨勢(shì)基本一致，表明所建立模型對(duì)十字形超聲電機(jī)的預(yù)估是有效的。本分析模型能有助于十字形多自由度電機(jī)的特性仿真分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

［1］趙淳生.超聲電機(jī)技術(shù)與應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

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（編輯 丁 罡）

In cross-type multi-DOF Ultrasonic Motor,the drive mechanisms are different when the rotor rotates around X axis and Y axis or rotates around Z axis.So that they should be treated separately in accordance with the elastic contact theory and a model is established to analyze the frictional contact of the motor.The established model is used to estimate the mechanical properties of the cross-type multi-DOF ultrasonic motor and analyze the regular pattern involving the impact of the stator amplitude,the friction factor and driving frequency to the output performances of the motor.The test results of the mechanical properties of the prototype show that，The established model is valid for prediction of the characteristics of cross-type multi-DOF ultrasonic motor,it may provide guidance in design of the cross-type multi-DOF ultrasonic motor.

Multi-DOF Ultrasonic Motor Contact Model Simulation Analysis Mechanical Properties

TH122；TM356

A

1000-4998（2015）10-0006-06

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（編號(hào)：51305248）

上海市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（編號(hào)：13ZR1416900）

上海大學(xué)創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（編號(hào)：SDCX 2012025）

2015年4月