王建紅，林健，張建華，陸寶春

(1.南京工程學(xué)院自動化學(xué)院，江蘇南京211167;2.南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇南京210094)

0 前言

微細加工需要采用相應(yīng)的高精度、高分辨率的運動裝置 (即機床系統(tǒng))來滿足其對加工尺度、精度和加工穩(wěn)定性的要求，微位移執(zhí)行器及其驅(qū)動技術(shù)為滿足這一要求提供了契機。目前，微位移驅(qū)動元件很多，如機電驅(qū)動類、電磁驅(qū)動類、壓電/電致伸縮驅(qū)動類、磁致伸縮驅(qū)動類等［1］。其中，壓電陶瓷微位移器件具有功耗小、位移分辨率高、無噪聲、響應(yīng)快等優(yōu)點，已被廣泛應(yīng)用于微電子機械、精密加工、航空航天等領(lǐng)域，是目前最具有前途的微位移執(zhí)行器件［2］。

壓電陶瓷位移量與電場強度的特性曲線存在遲滯，即在任意時刻，系統(tǒng)的輸出不僅依賴于輸入，而且還依賴系統(tǒng)以前的狀態(tài)，同時，這種輸入輸出間的對應(yīng)關(guān)系具有非線性，給壓電致動器的微位移控制帶來一定的難度［3-6］。因此，要想提高控制精度，必須要針對壓電陶瓷的遲滯特性建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型［7-10］。對壓電致動器的遲滯特性進行實驗測量，在此基礎(chǔ)上，通過多項式擬合的方式求得任意初始點對應(yīng)的特征曲線方程，完成對壓電致動器遲滯特性的建模。

1 實驗測量

文中所選用型號為PST 150/7/60 VS12的低壓驅(qū)動疊層機械封裝式壓電致動器，其絕對最大驅(qū)動電壓:-30～180 V，長度:64 mm，位移輸出范圍:0～60μm，內(nèi)置專用的微位移傳感器，驅(qū)動、傳感及電源模塊采用集成的控制器。

對該壓電致動器進行遲滯特性實驗測試，對于上升曲線，首先將控制電壓范圍 (0～10 V)等分成20份，以0.5 V為分度，即分別以0，0.5，1，…，9.5 V作為初始電壓，然后分別在不同的初始電壓的條件下每次增加0.5 V的控制電壓作為一個節(jié)點直至控制電壓增加到了10 V。按照這樣的劃分方式，初始電壓為0的基準(zhǔn)上升曲線有20個節(jié)點，初始電壓為0.5 V的基準(zhǔn)上升曲線有19個節(jié)點，初始電壓為1 V的基準(zhǔn)上升曲線有18個節(jié)點，以此類推。對于這20條不同初始電壓的基準(zhǔn)上升曲線，分別測量各個節(jié)點的傳感器的反饋電壓，并記錄下來。

分別將所測數(shù)據(jù)通過Origin軟件繪制上升特性曲線和下降特性曲線如圖1、2所示，由圖可知，對于不同初始點和控制電壓變化方向有不同的曲線與其對應(yīng)，因此，需要通過多項式擬合的方式求得任意初始點對應(yīng)的特征曲線方程。

圖1 上升特性曲線

圖2 下降特性曲線

2 多項式擬合建模的基本原理

多項式函數(shù)擬合，是指用一條光滑的擬合曲線來代表給定數(shù)據(jù)的一般趨勢，而不要求曲線通過所有的點。多項式函數(shù)擬合的基本原理如下:設(shè)已知由線圖或?qū)嶒炈玫膍個點的值為 (x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)。設(shè)擬合公式:

則在每一節(jié)點處的偏差:

所有節(jié)點偏差的平方和:

擬合公式f(x)具有一定的函數(shù)類型及系數(shù)，在確定其各個系數(shù)的過程中，最終的目的就是使所得曲線各節(jié)點的偏差的平方和盡可能的?。?］。

如圖1、2所示，為了能夠求出任意初始點對應(yīng)的上升曲線或者下降曲線方程，分別在上升和下降階段選定20條基本曲線，對應(yīng)測量所需參數(shù)，通過多項式擬合的方法求得相應(yīng)的基準(zhǔn)曲線方程gi(x)(i＝1，2，3，…，20)。然后根據(jù)各個基準(zhǔn)曲線方程，同樣通過多項式擬合的方法求得相應(yīng)的偏差方程ej(x')(j＝1，2，3，…，19)。所謂偏差方程指的是目標(biāo)曲線與基準(zhǔn)曲線的偏差曲線方程。根據(jù)經(jīng)驗，為了達到更好的擬合效果，偏差方程的自變量x'是通過控制電壓輸入x換算得來的，上升偏差曲線方程與下降偏差曲線方程的換算方法略有不同，具體的換算公式分別如式 (4)和式 (5):

式中:gi(x)為對應(yīng)基準(zhǔn)曲線方程;V為對應(yīng)基準(zhǔn)曲線的起始電壓。

根據(jù)不同的初始點位置和控制電壓變化方向，正確的選取基準(zhǔn)曲線方程和偏差曲線方程，則所求的目標(biāo)曲線方程為f(x)＝g(x)＋e(x')?；鶞?zhǔn)曲線和偏差曲線擬合原理相同，曲線多項式擬合程序的流程圖如圖3所示。

圖3 多項式擬合程序流程圖

3 壓電致動器多項式擬合建模

對于壓電陶瓷致動器多項式擬合，多項式可以采用2階、3階或更高階來擬合遲滯特性，為了提高建模的準(zhǔn)確性，選用4階的多項式作為擬合公式，擬合公式具體形式如下:

按照經(jīng)驗，一般會給擬合曲線各個系數(shù)賦較小的數(shù)作為初值，使用該擬合曲線與已有的每個節(jié)點的電壓求偏差，從而得到所有節(jié)點的偏差平方和，求偏差平方和的公式:

式中:m為節(jié)點數(shù);yi為節(jié)點處實際測得的電壓值，V;g(xi)為節(jié)點處擬合曲線計算得出的電壓值，V。

上式表明各節(jié)點偏差的平方和是以a0，a1，a2，a3，a4自變量的函數(shù)，多項式擬合的目的是為了使其最小，于是取 F(a0，a1，a2，a3，a4)對各自變量a0，a1，a2，a3，a4的偏導(dǎo)數(shù)如下:

多項式擬合調(diào)整各系數(shù)時使用的步長的大小與各個偏導(dǎo)數(shù)的大小有關(guān)，因此多項式擬合過程為變步長調(diào)節(jié)過程。通過判斷擬合公式各個偏導(dǎo)數(shù)的值，選擇合適步長與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以改變擬合公式各項系數(shù)。每次調(diào)節(jié)完成后計算新的各節(jié)點的偏差的平方和，判斷該值是否滿足要求，若滿足精度要求，說明完成擬合過程，得到曲線方程;若不滿足精度要求，則需要再一次對各節(jié)點偏差和公式求偏導(dǎo)數(shù)，進行擬合曲線系數(shù)的調(diào)節(jié)，直至各節(jié)點的偏差的平方和滿足精度要求 (精度要求為各節(jié)點偏差和小于0.008)。

得到所有的上升基準(zhǔn)曲線方程之后，便可根據(jù)各個上升基準(zhǔn)曲線方程擬合對應(yīng)的上升偏差方程，通過對基準(zhǔn)曲線的分析，發(fā)現(xiàn)不同初試電壓的上升曲線的差值曲線取自變量x'時與指數(shù)曲線十分類似，故選取偏差曲線擬合公式:

式中:Emax指的是初始點與相應(yīng)的上升基準(zhǔn)曲線方程的縱坐標(biāo)之差，并不是方程的系數(shù)。擬合某一上升基準(zhǔn)曲線方程gi(x)對應(yīng)的上升偏差方程ei(x')，需選定初始電壓比該基準(zhǔn)曲線方程gi(x)高0.5 V的另一上升基準(zhǔn)曲線方程gi＋1(x)作為擬合目標(biāo)，此時Emax的值便為 gi＋1(x)初始點 x0處的 gi＋1(x0)與 gi(x0)的差值。擬合的具體方法與擬合上升基準(zhǔn)曲線方程一致，只要選擇合適的步長與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，便可以得到滿足精度要求的所有的上升偏差方程。在精度要求為各節(jié)點偏差和小于0.015的條件下，得到19條偏差上升曲線的各項系數(shù)如表1所示。

表1 偏差上升曲線的各項系數(shù)

擬合下降基準(zhǔn)曲線方程及其對應(yīng)下降偏差方程的方法與擬合上升基準(zhǔn)曲線方程及其對應(yīng)上升偏差方程的方法一樣，唯一的區(qū)別在于下降基準(zhǔn)曲線方程的擬合公式選擇的是3次方程，原因在于3次方程已經(jīng)可以達到精度要求。具體擬合過程在此不再贅述。

在Matlab軟件中繪制通過多項式擬合所得到的上升基準(zhǔn)曲線和下降基準(zhǔn)曲線，分別如圖4、5所示。

圖4 擬合所得上升基準(zhǔn)曲線

圖5 擬合所得下降基準(zhǔn)曲線

將圖4和圖5與實際測量的特性曲線圖1和圖2比較，通過多項式擬合的特性曲線與根據(jù)實際測量的數(shù)據(jù)繪制的特性曲線非常接近，較好地反映出壓電致動器遲滯非線性。

得到所有上升和下降曲線方程之后，首先通過比較所設(shè)定控制電壓與初始點的控制電壓判斷是上升過程還是下降過程。若是上升過程，比較初始點與各個上升基準(zhǔn)曲線的位置關(guān)系，選取初始點下方并且最貼近它的上升基準(zhǔn)曲線gi(x)，計算初始點與該曲線上對應(yīng)的的縱坐標(biāo)之差作為Emax，選取對應(yīng)的上升偏差方程ei(x')，從而得到所要求的曲線方程f(x)＝gi(x)＋ei(x');若是下降過程，比較初始點與各個下降基準(zhǔn)曲線的位置關(guān)系，選取初始點上方并且最貼近它的下降基準(zhǔn)曲線gi(x)，計算初始點與該曲線上對應(yīng)的的縱坐標(biāo)之差作為Emax，選取對應(yīng)的下降偏差方程e(x')，從而得到所要求的曲線方程f(x)＝gi(x)＋ei(x')，完成對壓電致動器的對遲滯非線性的建模。圖6為在Matlab軟件Simulink中實現(xiàn)的此靜態(tài)模型。

圖6 壓電致動器靜態(tài)模型

4 模型驗證

由圖6中可以看出壓電致動器的靜態(tài)模型有3個輸入量:初始電壓，初始位置 (壓電致動器位置傳感器反饋電壓)，控制電壓。為了檢驗該模型的正確性，將對壓電致動器實際測試結(jié)果與在同等輸入量條件下模型的輸出結(jié)果進行比較，得到壓電致動器靜態(tài)模型的精確度，具體對比結(jié)果如表2所示。

表2 靜態(tài)模型精確度測試結(jié)果

由表可知，初始位置不在基準(zhǔn)曲線上以及所設(shè)定的控制電壓較小時，壓電致動器靜態(tài)模型的精確度較低。但從總體上看，壓電致動器靜態(tài)模型誤差均在1%左右。

5 結(jié)束語

通過分析壓電陶瓷微位移器的遲滯特性實驗所獲得的相應(yīng)數(shù)據(jù)，構(gòu)建了基于多項式擬合的靜態(tài)模型，并在MATLAB環(huán)境下得到微位移器輸出位移仿真模型。最后，在同等輸入量條件下，將實驗測試結(jié)果與模型輸出結(jié)果進行比較，壓電致動器靜態(tài)模型誤差均在1%左右，從而表明了該方法的有效性。

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