李 忠，韓崇偉，趙宇和，石志翔，彭 超

（西北機電工程研究所，陜西 咸陽 712099）

齒輪傳動是現(xiàn)代機械產(chǎn)品中十分常見的傳動機構(gòu)，廣泛應用于航天航空、艦船、火炮、機床等許多大中型工業(yè)機器中。齒輪傳動的誤差直接影響了運動傳遞的準確性，進而影響整個機械的性能?；鹋诜较驒C是一種典型的齒輪傳動機構(gòu)，筆者分析了火炮方向機齒輪傳動過程中產(chǎn)生的靜態(tài)傳動誤差和動態(tài)傳動誤差，推導了齒輪傳動總誤差的計算公式，同時得到了方向機在不同載荷下動態(tài)誤差曲線，可為研究火炮方向機對調(diào)炮精度的影響提供參考。

1 影響齒輪傳動誤差的因素

傳動誤差是指輸入軸單向回轉(zhuǎn)時，輸出軸轉(zhuǎn)角的實際值相對于理論值的變動量［1］。在理想的傳動過程中，輸入軸轉(zhuǎn)角φi與輸出軸轉(zhuǎn)角φo之間應該符合理想的傳動關系，即

式中，i為傳動結(jié)構(gòu)的總傳動比。

在齒輪傳動的過程中，影響齒輪傳動誤差的因素主要有齒輪本身的加工誤差、齒輪的裝配偏差以及齒輪在傳動過程中的磨損誤差，在實際工作中通過定期檢修，可以調(diào)整由于磨損造成的齒輪嚙合間隙，因此文中暫不考慮齒輪磨損對齒輪傳動誤差的影響［2］。而影響齒輪傳動鏈誤差的主要因素除了因齒輪制造和裝配不絕對準確造成的單向傳動誤差和回程誤差等靜態(tài)傳動誤差外，還有傳動齒輪與傳動軸因受負載轉(zhuǎn)矩而產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形導致的動態(tài)傳動誤差，它隨著負載轉(zhuǎn)矩的大小而改變。由上可知，齒輪傳動鏈的傳動誤差是由齒輪本身、所在軸和軸承等零部件制造裝配時的誤差，以及受負載轉(zhuǎn)矩時產(chǎn)生動態(tài)誤差等綜合作用的結(jié)果。

2 齒輪傳動的靜態(tài)誤差分析

齒輪靜態(tài)傳動誤差的來源主要是齒輪的制造誤差和安裝誤差。齒輪制造誤差是由于齒輪制造時幾何偏心、運動偏心、齒形誤差和齒厚偏差等因素綜合作用形成。齒輪安裝誤差是由于齒輪實際回轉(zhuǎn)中心相對理論回轉(zhuǎn)中心的偏離引起的，主要影響因素有中心距偏差、齒輪與軸的配合間隙和軸承的徑向游隙。

2.1 單向傳動誤差

齒輪傳動的單向傳動誤差主要是由切向綜合總偏差F′i引起，切向綜合總偏差作為大周期誤差反映了齒輪幾何偏心和運動偏心導致的靜態(tài)傳動誤差。記為

由機械設計手冊［3］查得：

式中：Fp為齒距累積總偏差的公差；f′i為一齒切向綜合偏差。

所以，一對嚙合齒輪副的單向傳動誤差角φ為

式中：K1、K2分別為相互嚙合的兩個齒輪的單向傳動誤差；d2為從動輪的分度圓直徑。

2.2 空回誤差

齒輪傳動的空回誤差，就是當主動輪反向轉(zhuǎn)動時從動輪相對滯后主動輪的轉(zhuǎn)角，其原因主要是由于齒輪的齒厚偏差、中心距偏差和軸承游隙等因素導致齒輪嚙合產(chǎn)生圓周側(cè)隙，從而引起傳動空回［4］。

1）齒厚偏差導致的圓周側(cè)隙

為了補償齒輪制造和安裝誤差，熱膨脹變形以及便于潤滑所留齒側(cè)間隙，可以根據(jù)齒厚偏差來確定。一對齒輪副由此而產(chǎn)生的側(cè)隙為

式中，Es1、Es2分別為兩個齒輪的實際偏差值。

2）中心距偏差導致的圓周側(cè)隙

式中，fa為中心距偏差值，等于實際中心距減去理論中心距；α為壓力角。

3）軸承游隙導致的圓周側(cè)隙

式中，Δu1、Δu2分別為兩齒輪支撐軸承的徑向游隙。

由此可知，一對齒輪副的空回誤差為

式中，jt為齒輪副的圓周側(cè)隙。

由于齒輪傳動靜態(tài)傳動誤差的隨機性，各項誤差是相互獨立的且服從正態(tài)分布，根據(jù)經(jīng)驗，誤差隨機量落在±3σ范圍里的置信率為99.74%，根據(jù)概率論理論得到齒輪傳動靜態(tài)傳動誤差的數(shù)字特征［5］為

式中：E為齒輪靜態(tài)傳動誤差的期望；σ為齒輪靜態(tài)傳動誤差的標準差。

所以取齒輪副的靜態(tài)傳動誤差

齒輪傳動系統(tǒng)的靜態(tài)傳動誤差是由各級齒輪副的誤差逐級疊加而成，通過傳動比折算到末級齒輪上，考慮到各級誤差的隨機性，則

式中，i2，i3，…，ik為各級齒輪副的傳動比。

3 齒輪傳動的動態(tài)誤差分析

齒輪傳動時，由于傳遞轉(zhuǎn)矩的增大，以及傳動軸和齒輪材料的剛度不足，會導致傳動過程中傳動軸和齒輪的彈性扭轉(zhuǎn)變形，使轉(zhuǎn)動角產(chǎn)生滯后，從而引起齒輪傳動動態(tài)傳動誤差。

3.1 傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形

根據(jù)材料力學［6］的相關知識可知：當轉(zhuǎn)動軸受到扭矩T時，傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形為

式中：T為軸承受的扭矩；l為軸的長度；G為材料的剪切模量；I為軸的極慣性矩；其中GI／l被稱為扭轉(zhuǎn)剛度，在實際的工程設計中，為了節(jié)省材料，傳動軸通常為階梯軸，其等效扭轉(zhuǎn)剛度為ke。則式（12）變?yōu)?/p>

所以，齒輪傳動系統(tǒng)因傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差為

3.2 傳動軸的彎曲變形

在齒輪傳動過程中，在齒面法向力Fn的作用下，傳動軸會發(fā)生彎曲變形，變形方向與齒輪傳動的嚙合線方向相一致，如圖1所示。

根據(jù)軸的彈性彎曲變形理論［3］可得，傳動軸在齒輪位置沿嚙合線方向的彈性變形量為

式中：Fn為法向嚙合力；a、b為齒輪到兩軸承端的距離；E為彈性模 量；dz為軸的直徑。

通常將其分解為切向分量和法向分量，由此導致齒輪傳動副產(chǎn)生的圓周側(cè)隙有如下關系：

式中：ft為傳動軸彎曲變形的切向分量；fr為傳動軸彎曲變形的徑向分量。

所以，傳動軸的彎曲變形導致一對齒輪傳動副的動態(tài)傳動誤差角為

當反向傳動時，傳動軸會出現(xiàn)沿嚙合線反方向的彎曲變形，從而引起的回差應該為2χ。齒輪傳動系統(tǒng)因傳動軸的彎曲變形產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差為

3.3 齒輪的扭轉(zhuǎn)變形

齒輪傳動是圓周運動的傳動，從誤差傳遞方法考慮，有學者提出了扭轉(zhuǎn)嚙合剛度理論［7］，定義扭轉(zhuǎn)剛度km為：齒輪承受的扭矩載荷T和在該扭矩載荷作用下輪體產(chǎn)生的彈性扭轉(zhuǎn)角θ之間的比值。

齒輪的扭轉(zhuǎn)變形主要包括3部分：輪轂扭轉(zhuǎn)、輪齒彎曲變形和齒面接觸變形，這3種變形綜合起來對齒輪傳動的誤差可以用齒輪在分度圓上的扭轉(zhuǎn)變形角來描述，如圖2所示。因此，要獲得齒輪扭轉(zhuǎn)嚙合剛度就需要得知齒輪在該載荷下的扭轉(zhuǎn)變形角位移［8］。

以直齒圓柱齒輪為例，利用有限元分析軟件Ansys workbench分析齒輪在齒面法向Fn作用下的扭轉(zhuǎn)變形角位移［9－10］。

對輪齒受力分析，齒輪受到圓周力、徑向力和法向力，有如下關系式：

式中，T為齒輪受到的扭矩。

根據(jù)式（19），可以得到作用于輪齒齒面的法向力Fn。

齒輪的載荷與約束情況：在齒內(nèi)圈面A 添加固定約束，在齒面B添加法向力，如圖3所示。

根據(jù)仿真分析云圖，得到齒頂?shù)呐まD(zhuǎn)變形xa和齒根的扭轉(zhuǎn)變形xf，利用插值法得到分度圓的扭轉(zhuǎn)變形角位移為

式中：d為齒輪分度圓直徑；da為齒輪齒頂圓直徑；df為齒輪齒根圓直徑。

因為齒輪傳動的過程中單齒嚙合和雙齒嚙合是相互交替進行的［11］，從單齒過渡到雙齒時，齒輪的變形會逐漸變小，取齒輪的等效扭轉(zhuǎn)剛度為kme，所以齒輪的扭轉(zhuǎn)變形角為

式中，εα為重合度。

齒輪傳動系統(tǒng)因齒輪的扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差為

所以，齒輪傳動鏈的動態(tài)傳動誤差為

綜上所述，在齒輪鏈傳動過程中，齒輪傳動總誤差由靜態(tài)傳動誤差和動態(tài)傳動誤差組成，即

4 實例分析

以某型火炮方向機的傳動機構(gòu)為例，采用上述誤差分析方法，計算該方向機的傳動誤差，將計算結(jié)果與實際傳動誤差比較。

方向機傳動機構(gòu)主要參數(shù)如下：火炮炮塔水平方向上的轉(zhuǎn)動慣量J＝11 331kg·m2，角加速度α＝70（°）／s2，負載的轉(zhuǎn)動扭矩T＝931.13N·m，齒輪與軸的材料彈性模量E＝2.06×1011Pa，剪切模量G＝7.9×1010Pa，泊松比μ＝0.3。齒輪鏈中傳動齒輪的主要參數(shù)如表1所示。

表1 齒輪鏈的主要參數(shù)

4.1 方向機靜態(tài)誤差的計算

根據(jù)表1中數(shù)據(jù)可知方向機傳動機構(gòu)各級傳動齒輪的單向傳動誤差K1與K2，圓周側(cè)隙jt以及從動輪的分度圓直徑d2等參數(shù)如表2所示，由式（4）以及（8）～（11）計算得到方向機的靜態(tài)傳動誤差如表2所示。

表2 方向機的靜態(tài)誤差

所以，由于制造和安裝等因素的影響，方向機的傳動齒輪的靜態(tài)傳動誤差為δ∑1＝3.173。

4.2 方向機動態(tài)誤差的計算

方向機傳動結(jié)構(gòu)的各傳動軸受到的扭矩如表3所示。

表3 傳動軸受到的扭矩

根據(jù)式（12）計算各級傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形如表4所示。

表4 傳動軸的扭轉(zhuǎn)變形角

代入式（14），得到方向機傳動軸由于扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差角為γ∑＝5.292。

下面計算方向機傳動軸在齒面法向力作用下產(chǎn)生的彎曲變形。首先，根據(jù)表3中傳動軸受到的扭矩和式（19），可以計算得到各傳動齒輪受到法向力Fn，如表5所示。

表5 方向機傳動齒輪受到的法向力

根據(jù)3.2節(jié)的傳動軸彎曲變形分析方法，分析傳動軸Ⅰ的受力情況，如圖5所示。

將參數(shù)代入式（16），得到傳動副齒輪Z5與Z6之間的圓周側(cè)隙f＝0.562，再代入式（17）得到，由于傳動軸Ⅰ彎曲變形導致齒輪Z5與Z6的動態(tài)傳動誤差角χ1＝0.047。

同理，可以計算得到第2級傳動齒輪Z3與Z4的傳動誤差角χ2＝0.216，以及第1級傳動齒輪Z1與Z2的動態(tài)傳動誤差角χ3＝0.015。

代入式（18），計算得到方向機齒輪傳動系統(tǒng)因傳動軸的彎曲變形而產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差χ∑＝0.154。

可見，初級傳動軸和末級傳動軸的彎曲變形導致的傳動誤差是很小的，這是由于在安裝設計過程中，將初級軸上的齒輪與末級軸上的齒輪靠近支撐軸承安裝，減小了軸的彎曲變形，進而減小了對齒輪傳動精度的影響。

下面采用有限元方法，根據(jù)方向機傳動齒輪所受到的負載，計算方向機傳動時因齒輪變形引起的動態(tài)傳動誤差。

利用三維建模軟件UG 的參數(shù)化建模功能，建立傳動鏈齒輪的三維模型，導出Parasolid的.x＿t文件，再導入有限元分析工具Ansys workbench中，對齒輪的受力變形進行分析，得到傳動齒輪的仿真結(jié)果如圖6所示。

根據(jù)上面的仿真分析云圖，可知方向機傳動鏈齒輪在負載扭矩作用下各齒輪的齒頂圓與齒根圓的變形位移，代入式（20），計算得到齒輪分度圓的變形角位移，即是測量點的變形角位移。再由式（21）～（23），計算得到齒輪的扭轉(zhuǎn)變形角，結(jié)果如表6所示。

表6 傳動鏈齒輪的變形位移

由式（24）計算得到方向機傳動由于齒輪扭轉(zhuǎn)變形而產(chǎn)生的動態(tài)傳動誤差ψ∑＝1.091。

綜上所述，當炮塔角加速度為70（°）／s2時，方向機的動態(tài)傳動誤差δ∑2＝6.537。

4.3 方向機傳動總誤差的計算

根據(jù)上述總結(jié)的齒輪傳動誤差計算方法，最后得到該方向機的傳動誤差如表7所示。

表7 方向機的傳動誤差

所以，方向機在該負載作用下的傳動總誤差為9.71′，與工程實際誤差值8′～10′相符。

火炮在跟蹤瞄準射擊目標的過程中，炮塔的調(diào)轉(zhuǎn)角加速度是變化的，那么方向機的負載也應該是變化的，因此方向機傳動結(jié)構(gòu)的動態(tài)傳動誤差隨著負載的變化而變化。利用上述動態(tài)傳動誤差的計算方法，分別計算炮塔的調(diào)轉(zhuǎn)角加速度為10（°）／s2，20（°）／s2，…，70（°）／s2時，方向機傳動的動態(tài)傳動誤差分別如表8所示。

表8 不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下方向機動態(tài)傳動誤差

利用Matlab的數(shù)據(jù)擬合功能，得到方向機動態(tài)傳動誤差在炮塔不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下的變化曲線如圖7所示。

擬合曲線為：

式中：x為炮塔調(diào)轉(zhuǎn)角加速度；y為方向機的動態(tài)傳動誤差。

綜上所述，方向機的傳動總誤差可以寫成：

5 結(jié)論

根據(jù)齒輪傳動制造與安裝誤差的正態(tài)分布規(guī)律，采用概率法分析了火炮方向機齒輪傳動的靜態(tài)傳動誤差；采用有限元法，仿真分析了火炮方向機齒輪傳動結(jié)構(gòu)在不同載荷下的動態(tài)扭轉(zhuǎn)變形，得到了方向機傳動動態(tài)傳動誤差在炮塔不同調(diào)轉(zhuǎn)角加速度下的變化曲線，最后得出了傳動總誤差與炮塔調(diào)轉(zhuǎn)角加速度的關系式，可為研究火炮方向機對調(diào)炮精度的影響提供參考。

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