王小波

（湖南華菱漣源鋼鐵有限公司信息化中心，湖南 婁底 417009）

金屬板帶加工過(guò)程中，板帶厚度和板帶尺寸控制是極為重要的控制目標(biāo)，其中金屬板帶的厚度控制往往和板帶加工的質(zhì)量直接掛鉤，具有高精度厚度控制的板帶產(chǎn)品不僅在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中處于有利地位，同時(shí)也可以增加產(chǎn)品的附加值。而板帶厚度控制中極為重要的一環(huán)就是加工過(guò)程中的板帶厚度檢測(cè)問(wèn)題，精確的板帶厚度檢測(cè)是高精度厚度控制的基礎(chǔ)[1]。

X射線測(cè)厚儀由于具有非接觸、連續(xù)、快捷、無(wú)損傷檢測(cè)，且能夠適用于高油污、高溫惡劣環(huán)境的優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于板帶軋制過(guò)程。但在實(shí)際使用過(guò)程中，X射線測(cè)厚儀的檢測(cè)精度受現(xiàn)場(chǎng)的X射線源穩(wěn)定性、合金成分、帶鋼位置、油污水分等的影響。因此需要對(duì)X射線的測(cè)量曲線進(jìn)行校正或者補(bǔ)償[2]。

針對(duì)板帶加工測(cè)量過(guò)程中的X射線測(cè)厚儀補(bǔ)償和校正問(wèn)題，為提高檢測(cè)的精度和穩(wěn)定性，一些學(xué)者和工程師做了相關(guān)的研究工作。文獻(xiàn)[3]系統(tǒng)地分析了X射線測(cè)厚儀射線強(qiáng)度、統(tǒng)計(jì)誤差以及被測(cè)物的材質(zhì)、溫度、表面附著水層、傾斜角度等對(duì)測(cè)厚精度的影響并給出了理論上的精度修正方法。其后，在文獻(xiàn)[4]中給出了X射線測(cè)厚儀應(yīng)用實(shí)例以及在國(guó)內(nèi)的應(yīng)用情況。文獻(xiàn)[5]結(jié)合X射線測(cè)厚儀測(cè)量原理，著重分析了射線穩(wěn)定性、合金材質(zhì)、帶鋼位置以及環(huán)境對(duì)測(cè)量精度的影響并給出了理論補(bǔ)償方法。文獻(xiàn)[6]和文獻(xiàn)[7]從具體的應(yīng)用出發(fā)，介紹了工業(yè)應(yīng)用現(xiàn)場(chǎng)中，對(duì)X射線測(cè)厚儀的精度補(bǔ)償方法。而針對(duì)具體使用過(guò)程中的精度維護(hù)過(guò)程，文獻(xiàn)[8]介紹了了實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中對(duì)X射線測(cè)厚儀的維護(hù)方法，以保證X射線測(cè)厚儀滿足精度要求。

從上述文獻(xiàn)中可以得知，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，要完成對(duì)X射線測(cè)厚儀的理論測(cè)量曲線繪制和測(cè)量精度補(bǔ)償是一項(xiàng)較為復(fù)雜的過(guò)程。另外，由于使用場(chǎng)景的不同以及環(huán)境的影響，一次的理論計(jì)算并不能夠長(zhǎng)期使用。因此需要尋求一種快捷方便而又具備一定程度精度保證的測(cè)量曲線繪制與精度補(bǔ)償方法。

為解決上述問(wèn)題，本文結(jié)合漣鋼RM215X射線測(cè)厚儀在冷軋過(guò)程的具體應(yīng)用實(shí)例，提出一種基于數(shù)據(jù)的X射線測(cè)厚儀測(cè)量曲線繪制與精度補(bǔ)償方法，并依據(jù)現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)給出具體的應(yīng)用過(guò)程。

1 基于數(shù)據(jù)的X射線測(cè)厚儀檢測(cè)模型

X射線測(cè)厚儀的基本原理為：當(dāng)X射線穿過(guò)物體時(shí)光譜區(qū)輻射將被改物體的材料削弱。如圖1所示，X射線測(cè)厚儀發(fā)射輻射強(qiáng)度為I0，通過(guò)厚度為x的材料后的輻射強(qiáng)度為I，對(duì)于特定能量或波長(zhǎng)，發(fā)射的輻射量和通過(guò)材料的的輻射量用下式給出：

式中：I0為X射線的入射輻射強(qiáng)度；I為通過(guò)厚度為x的樣片后的輻射強(qiáng)度；u為樣片材料的線性吸收系數(shù)；p為樣片材料密度；x為樣片厚度。其中，吸收系數(shù)u是材料對(duì)X射線進(jìn)行衰減的能力的量度，是一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)，并且隨著能量的衰減而非線性地減小。它取決于兩個(gè)因素：材料的化學(xué)組成以及X射線的能量。

圖1 X射線測(cè)厚儀測(cè)量社示意圖

根據(jù)測(cè)厚儀的測(cè)量原理，測(cè)厚儀傳感器的電壓信號(hào)強(qiáng)度V與X射線接收強(qiáng)度I有如下式所示的關(guān)系。

將式（2）代入式中可以得到樣片厚度與測(cè)厚儀傳感器電壓信號(hào)之間的關(guān)系式。

在V0已知下，可得到如式（4）所示的一般表達(dá)式

由于u是與發(fā)射管電壓和材質(zhì)原子序數(shù)相關(guān)的復(fù)雜的非線性表達(dá)式，所以a也是一個(gè)復(fù)雜的非線性表達(dá)式。

根據(jù)文獻(xiàn)[3]的理論分析，在冷軋現(xiàn)場(chǎng)，安裝在固定位置，選取合適的入射強(qiáng)度，配置穩(wěn)定的電源之后，X射線測(cè)厚儀的檢測(cè)精度還受統(tǒng)計(jì)誤差、材質(zhì)吸收系數(shù)u以及環(huán)境的溫度、濕度、帶材表面附著物的影響。其中，統(tǒng)計(jì)誤差與材質(zhì)吸收系數(shù)、板材厚度具有復(fù)雜的非線性函數(shù)關(guān)系，材質(zhì)吸收系數(shù)u反比于管電壓V的3次方，正比于被測(cè)物原子序數(shù)的3次方，而環(huán)境對(duì)檢測(cè)精度的影響，理論分析則更為困難。

依據(jù)上述分析，要完成理論上的X射線測(cè)厚儀理論測(cè)量曲線繪制和精度修正是極為困難的。實(shí)際上，即使完成理論上的計(jì)算與修正，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)還需要根據(jù)具體檢測(cè)情況進(jìn)行精度的補(bǔ)償。在這種情況下，考慮到在設(shè)備完成安裝后，上述對(duì)X射線測(cè)厚儀精度影響的各個(gè)因素在相當(dāng)長(zhǎng)的一個(gè)時(shí)期內(nèi)都不會(huì)發(fā)生大的變化，因此可以使用基于標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)建模方法來(lái)實(shí)現(xiàn)X射線測(cè)厚儀的測(cè)量曲線繪制工作。

上述分析表明在公式表達(dá)式a為一個(gè)三階以上非線性表達(dá)式，而常量b為與具體安裝環(huán)境相關(guān)的補(bǔ)償閾值。經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)與機(jī)理的綜合分析，這些復(fù)雜非線性關(guān)系可以采用5階多項(xiàng)式來(lái)描述：

其中，z=-1（V）.

通過(guò)機(jī)理分析，得到上述X射線檢測(cè)儀檢測(cè)曲線模型的模型結(jié)構(gòu)，但是其中的相關(guān)參數(shù)還需要通過(guò)現(xiàn)場(chǎng)的標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識(shí)，通過(guò)數(shù)據(jù)的訓(xùn)練得到完整的檢測(cè)曲線模型。

2 基于最小二乘的多項(xiàng)式系數(shù)辨識(shí)方法

對(duì)上一節(jié)建立的X射線測(cè)厚儀檢測(cè)模型結(jié)構(gòu)分析表明，模型為典型的多項(xiàng)式系數(shù)辨識(shí)問(wèn)題。針對(duì)多項(xiàng)式系數(shù)辨識(shí)問(wèn)題，最小二乘多項(xiàng)式擬合方法計(jì)算相對(duì)較為簡(jiǎn)單，并且能夠得到較為精確的結(jié)果，因此本節(jié)采用最小二乘多項(xiàng)式擬合方法辨識(shí)檢測(cè)模型中的系數(shù)。

2.1 最小二乘法基本原理

從整體上考慮近似函數(shù)p（x）同所給數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，y）i（i=0，1，…，m）誤差ri=p（x）i-yi（i=0，1，…，m）的大小，常用的方法有以下三種：一是誤差ri=p（x）i-yi（i=0，1，… ，m）絕 對(duì) 值 的 最 大 值，即誤差向量 r=（r1，r2，…，rm）T的∞-范數(shù)；二是誤差絕對(duì)值的和，即誤差向量r

數(shù)據(jù)擬合的具體做法是：對(duì)給定數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=0，1，…，m），在取定的函數(shù)類 Φ 中，求 p（x）∈Φ，使誤差ri=p（xi）-yi（i=0，1，…，m）的平方和最小，即

從幾何意義上講，就是尋求與給定點(diǎn)（xi，yi）（i=0，1，…，m）的距離平方和為最小的曲線 y=p（x），如圖2所示。函數(shù)p（x）稱為擬合函數(shù)或最小二乘解，求擬合函數(shù)p（x）的方法稱為曲線擬合的最小二乘法。

在曲線擬合中，函數(shù)類可有不同的選取方法。

圖2 曲線擬合示意圖

2.2 最小二乘多項(xiàng)式擬合

假設(shè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）（i=0，1，…，m），Φ為所有次數(shù)不超過(guò)n（n≤m）的多項(xiàng)式構(gòu)成的函數(shù)類，現(xiàn)求一使得

當(dāng)擬合函數(shù)為多項(xiàng)式時(shí)，稱為多項(xiàng)式擬合，滿足式（7）的pn（x）稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式。特別地，當(dāng)n=1時(shí)，稱為線性擬合或直線擬合。

顯然式為a0，a1，…an的多元函數(shù)，因此上述問(wèn)題即為求I=I（a0，a1，…an）的極值問(wèn)題。由多元函數(shù)求極值的必要條件，得式（9）為關(guān)于 a0，a1，…an的線性方程組，用矩陣表示為：

該式（9）稱為正規(guī)方程組或法方程組。

可以證明，方程組的系數(shù)矩陣是一個(gè)對(duì)稱正定矩陣，故存在唯一解。從式（10）中解出ak（k=0，1，…，n），從而可得多項(xiàng)式可以證明，式（11）中的p（nx）滿足式（7），即p（nx）為所求的擬合多項(xiàng)式。我們把稱為最小二乘擬合多項(xiàng)式p（nx）的平方誤差，記作

由式（8）可得：

在實(shí)際應(yīng)用中，n＜m或n≤m；當(dāng)n＝m時(shí)所得的擬合多項(xiàng)式就是拉格朗日或牛頓插值多項(xiàng)式。通過(guò)上述多項(xiàng)式擬合方法，在給定標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，即能夠計(jì)算得到確定的X射線檢測(cè)曲線。

2.3 最小二乘擬合多項(xiàng)式的存在唯一性

為論證最小二多項(xiàng)式擬合的解具有唯一性，給出如下兩個(gè)定理。

定理1設(shè)節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn互異，則法方程組（10）的解存在唯一。

證：由克萊姆法則，只需證明方程組的系數(shù)矩陣非奇異即可。

用反證法，設(shè)方程組（10）的系數(shù)矩陣奇異，則其所對(duì)應(yīng)的齊次方程組為：

上式有非零解。式（14）可寫為

將式（15）中第 j個(gè)方程乘以 aj（j=0，1，…，n），然后將新得到的n+1個(gè)方程左右兩端分別相加，得：

式中，pn（x）是次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式，它有m+1>n個(gè)相異零點(diǎn)，由代數(shù)基本定理，必須有a0，a1，…an＝0，與齊次方程組有非零解的假設(shè)矛盾。因此正規(guī)方程組（14）必有唯一解。

定理 2：設(shè) a0，a1，…an是正規(guī)方程組（14）的解，則是滿足式（7）的最小二乘擬合多項(xiàng)式。

證：只需證明，對(duì)任意一組數(shù)b0，b1，…bn組成的多項(xiàng)式恒有

因?yàn)?ak（k=0，1，…，n）是正規(guī)方程組（14）的解，所以滿足式（8），因此有

故pn（x）為最小二乘擬合多項(xiàng)式。

上述證明表明，在給定足夠的不具備線性相關(guān)辨識(shí)數(shù)據(jù)情況下，總能得到唯一的檢測(cè)模型唯一解。

3 基于數(shù)據(jù)的X射線測(cè)厚儀檢測(cè)模型應(yīng)用

在漣鋼冷軋生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)按照要求安裝完RM215型X射線測(cè)厚儀后，采用本文的方法繪制該測(cè)厚儀的測(cè)量曲線，具體的過(guò)程如下。

首先，根據(jù)九個(gè)材料樣片標(biāo)準(zhǔn)件插入到X射線源發(fā)射的光束中進(jìn)行測(cè)量，得到表1所示的標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)，后續(xù)將利用該標(biāo)準(zhǔn)測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)測(cè)量模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

表1 測(cè)厚儀標(biāo)準(zhǔn)樣片測(cè)量數(shù)據(jù)

根據(jù)測(cè)厚儀的測(cè)量原理，X射線的實(shí)際入射輻射量和穿過(guò)樣板后的實(shí)際接收輻射量加上X射線在空氣中的衰減輻射量等于X射線的入射輻射量與接收輻射量的測(cè)量值，所以把表1轉(zhuǎn)化成表2所示的X射線實(shí)際入射與接收輻射量。

表2 X射線實(shí)際入射與輻射強(qiáng)度

根據(jù)式把表2數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成表3所示的數(shù)據(jù)。

表3 樣片標(biāo)準(zhǔn)厚度與射線強(qiáng)度比值對(duì)照

利用表3中的9組值辨識(shí)測(cè)試模型中的系數(shù)，可以得到如下式方程組：

對(duì)式中各項(xiàng)相加得到下式：

式（24）~（29）是由公式（23）線性變換得到的，所以公式（24）~（29）與公式（23）是線性相關(guān)的，由線性相關(guān)性定理知公式（24）~（29）的解也是公式（23）的解。

將表4中的數(shù)據(jù)代入公式~列表如下：

表4 方程求解值表

解得多項(xiàng)式：

式（31）即為擬合得到的測(cè)量曲線，調(diào)整完擬合曲線，生成擬合修正值，寫入對(duì)應(yīng)程序參數(shù)當(dāng)中。這樣測(cè)厚儀的測(cè)量曲線基本完成?，F(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用表明，采用該方法得到的X射線測(cè)厚儀測(cè)量曲線能夠滿足現(xiàn)場(chǎng)的應(yīng)用需求，生產(chǎn)的冷軋板材厚度控制精度高且穩(wěn)定。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在分析X射線測(cè)厚儀檢測(cè)原理基礎(chǔ)上，指出實(shí)際生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)影響測(cè)厚儀檢測(cè)精度的影響因素。根據(jù)分析的結(jié)論，給出一種通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)數(shù)據(jù)建立測(cè)厚儀檢測(cè)模型的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模方法。通過(guò)建立的模型能夠完成測(cè)量曲線的繪制與精度補(bǔ)償。最后，通過(guò)漣鋼冷軋廠的實(shí)際應(yīng)用實(shí)例表明該方法具有可操作性，且得到的測(cè)量曲線能夠滿足現(xiàn)場(chǎng)的精度要求，具備實(shí)用價(jià)值。

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