單澤濤，單澤彪，朱蘭香，3，石要武

(1.諾博橡膠制品有限公司制造部，河北保定072550;2.吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長春130022; 3.長春建筑學(xué)院電氣信息學(xué)院，長春130607)

SQP 優(yōu)化的最大似然波達(dá)方向角估計

單澤濤1，單澤彪2，朱蘭香2，3，石要武2

(1.諾博橡膠制品有限公司制造部，河北保定072550;2.吉林大學(xué)通信工程學(xué)院，長春130022; 3.長春建筑學(xué)院電氣信息學(xué)院，長春130607)

為快速實現(xiàn)波達(dá)方向角(DOA:Direction Of Arrival)的精確估計，提出了應(yīng)用序列二次規(guī)劃(SQP: Sequence Quadratic Program)的最大似然DOA估計算法。給出了用于DOA估計的最大似然函數(shù)，將參數(shù)估計問題轉(zhuǎn)化為非線性函數(shù)優(yōu)化問題;并利用SQP優(yōu)化算法對似然函數(shù)的求解進(jìn)行優(yōu)化，得到DOA的估計值。仿真結(jié)果表明，該算法可用較少的計算時間實現(xiàn)對似然函數(shù)的優(yōu)化求解，同時保留了最大似然估計的漸進(jìn)無偏估計性能，與遺傳算法、粒子群算法相比，不僅具有更快的尋優(yōu)速度，而且具有更高的收斂精度。

波達(dá)方向角估計;序列二次規(guī)劃;最大似然估計;優(yōu)化算法

0 引 言

近年來，空間信號波達(dá)方向角(DOA:Direction Of Arrival)估計在通信、雷達(dá)、聲納和地震勘探等領(lǐng)域獲得了廣泛應(yīng)用和迅猛發(fā)展［1，2］。DOA估計的基本問題是確定處在某一區(qū)域內(nèi)不同目標(biāo)信號源的空間位置，即各個信號到達(dá)陣列參考陣元的 DOA。利用陣列天線對 DOA估計的方法主要有 ARMA (Auto-Regressive and Moving Average Model)譜分析法、熵譜分析法、基于特征分解的子空間算法和最大似然算法等［3］。其中最為經(jīng)典的特征分解類算法是MUSIC(Multiple Signal Classification)算法及其改進(jìn)算法［4，5］和 ESPRIT(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques)算法及其改進(jìn)算法［6，7］。這兩類算法以較高的分辨能力和相對較低的計算量，引起了人們的廣泛關(guān)注和重點研究。它們以一維搜索取代了具有最佳估計性能的最大似然方法中的多維搜索過程，從而大大降低了信號參數(shù)估計過程中的運算量。但是，它們?yōu)橹冻龅拇鷥r是估計精度的下降以及對相干信號表現(xiàn)出的無能為力。雖然利用空間平滑技術(shù)可實現(xiàn)上述兩類算法的解相干處理，但空間平滑算法是以犧牲陣列有效孔徑為代價，并且一般只適用于等間距均勻線陣。為解決實際中經(jīng)常出現(xiàn)的相干源問題，并要求在小快拍、低信噪比條件下仍具有較高的估計精度。隨著數(shù)學(xué)領(lǐng)域中最優(yōu)化算法的發(fā)展，以最大似然方法為代表的多維搜索估計方法仍不失是一個比較具有發(fā)展前景的研究方向。最大似然估計是基于統(tǒng)計理論估計方法中的一種最優(yōu)估計，與MUSIC算法、ESPRIT算法等子空間類算法相比，其估計性能要好得多，而且可以直接解相干。但是，最大似然方法需要非線性多維搜索實現(xiàn)，應(yīng)用傳統(tǒng)網(wǎng)格搜索方法計算量過大。針對此問題，筆者將SQP(Sequence Quadratic Program)方法應(yīng)用于似然函數(shù)的優(yōu)化求解中，極大地減少了最大似然方法的計算量，而且SQP方法具有局部超線性收斂特性，可加快尋優(yōu)搜索的過程，提高算法的工程實時性。SQP是一種非常優(yōu)秀的非線性優(yōu)化算法［8］，自提出以來，顯現(xiàn)出強(qiáng)大的求解能力。SQP方法是在已知梯度等相關(guān)信息情況下的確定性最優(yōu)化算法，與遺傳算法、粒子群算法等隨機(jī)性優(yōu)化算法相比，在DOA估計這一已知模型的參數(shù)估計問題中更具有一定優(yōu)勢。最后將應(yīng)用SQP方法和采用遺傳算法、粒子群算法分別進(jìn)行優(yōu)化的仿真實驗對比，結(jié)果表明該算法不僅具有更快的尋優(yōu)速度，而且還具有更高的收斂精度。

1 陣列信號數(shù)學(xué)模型

1.1 接收數(shù)據(jù)模型

假設(shè)有一個由M個陣元構(gòu)成的線列陣，其陣元位置為(0，d1，…，dM-1)。同時假設(shè)具有相同載頻的、各信源DOA分別為(θ1，θ2，…，θP)的遠(yuǎn)場窄帶目標(biāo)信號源的數(shù)量為P個，并且M＞P，則在t時刻第m個陣元的輸出可表示為

其中sp(t)為投射到陣列上的第p個源信號;nm(t)表示該陣元上的量測噪聲，假設(shè)為高斯白噪聲;θp為第p個信號源的到達(dá)角度;λ為信號中心頻率處的載頻波長。a(θp)為θp的方向向量，其定義為

根據(jù)式(3)可得其采樣協(xié)方差矩陣為

其中L為實際采樣快拍數(shù)。

1．2 最大似然估計

如式(3)所示，噪聲分量是均值為零、協(xié)方差為σ2I的各態(tài)遍歷復(fù)高斯過程，其觀測矢量L次快拍聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為

對式(5)兩邊同時取負(fù)對數(shù)，得到對數(shù)似然函數(shù)

式(6)是關(guān)于未知參量θ，σ2和Sl的函數(shù)，其中σ2和Sl的最大似然估計為

其中P⊥A為AH零空間上的正交投影矩陣;A+為A的偽逆矩陣。

將式(7)和式(8)代入式(6)，同時忽略常數(shù)項，則得線陣列波達(dá)方向的最大似然估計

因此DOA估計則轉(zhuǎn)化為求解帶不等式約束的優(yōu)化問題，式(9)的求解需要非線性多維搜索實現(xiàn)，為了克服傳統(tǒng)網(wǎng)格搜索方法計算量過大的問題，在此采用SQP方法對其進(jìn)行優(yōu)化求解。

2 似然函數(shù)的優(yōu)化

2.1 應(yīng)用SQP的似然函數(shù)優(yōu)化

SQP方法是求解非線性優(yōu)化問題的最優(yōu)秀算法之一，在工業(yè)界優(yōu)化鄰域中占據(jù)著統(tǒng)治地位。似然函數(shù)的SQP優(yōu)化求解的實現(xiàn)主要由3部分組成:拉格朗日函數(shù)的Hesse矩陣的BFGS(Broyden Flether Goldfarb Shanno)近似更新、二次規(guī)劃(QP)子問題的求解和一維搜索與似然函數(shù)的計算。

2.1.1 Hesse矩陣的BFGS近似更新

在SQP每次迭代的過程中，利用擬牛頓法的思想可避免直接計算Hesse矩陣，從而提高計算效率。即是用BFGS的變尺度法計算正定擬牛頓矩陣H逼近拉格朗日函數(shù)的Hesse矩陣。其中Hesse矩陣的BFGS更新公式如下

其中

2．1．2 QP子問題的求解

SQP方法的基本思想是利用一系列的QP子問題近似逼近原問題，因此，SQP方法的每次迭代都需要求解一個QP問題，這里形式如下

2．1．3 一維搜索與似然函數(shù)的計算

利用Wolfe非精確一維搜索方法獲得效益函數(shù)的迭代步長β(n)，并根據(jù)2．1．2節(jié)中求解QP子問題得到的下降方向d(n)可組成迭代公式

2．2 初始值的確定

利用下述方法進(jìn)行SQP初始值的確定。首先，求出第1個信源的DOA初始值

按照上述方法依次進(jìn)行，直至求出所有信源的初始估計值。

3 仿真實驗

為驗證上述方法的有效性，對算法進(jìn)行了200次獨立蒙特卡羅實驗。設(shè)有兩個遠(yuǎn)程窄帶目標(biāo)信號源，DOA分別為30°和45°。實驗中噪聲為高斯白噪聲，陣列天線采用陣元數(shù)為M=8、陣元間隔為半波長的均勻線陣列。以均方根誤差

作為算法性能指標(biāo)測試的標(biāo)準(zhǔn)。其中Nrun為獨立實驗次數(shù);θp為第p個信源DOA的真實值;p(q)為第q次實驗得到的DOA的估計值。

實驗1 不同采樣快拍數(shù)估計精度對比實驗。采樣快拍數(shù)取值分別為L=32，L=64和L=128，則在不同信噪比時均方根誤差曲線如圖1所示。從圖1中可以看出，在小快拍、低信噪比條件下該算法均具有較高的估計精度，說明是正確可行的。

實驗2 與隨機(jī)性優(yōu)化算法的性能對比實驗。選取兩種比較典型的隨機(jī)性優(yōu)化算法:遺傳算法(GA:Genetic Algorithm)和粒子群(PSO:Particle Swarm Optimization)算法［9，10］與筆者SQP方法分別對似然函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，其中上述兩種隨機(jī)性優(yōu)化算法的迭代次數(shù)選為120，種群數(shù)量選為60。圖2給出了上述3種優(yōu)化算法在采樣快拍數(shù)L=32的情況下，對DOA估計的均方根誤差變化曲線。從圖2中可以看出，粒子群算法或遺傳算法不能保證每次都能搜索到全局最優(yōu)，整體收斂精度較差。與之相比，SQP方法能很好地對似然函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，基本每次均可找到全局最優(yōu)解，數(shù)值求解穩(wěn)定，精度較高，從而驗證了該算法的有效性。

圖1 不同采樣快拍數(shù)均方根誤差Fig.1 RMSE of DOA estimation with different number of snapshots

圖2 不同優(yōu)化算法均方根誤差比較Fig.2 RMSE of DOA estimation with other optimization methods

表1給出了不同信噪比時，上述3種方法在DOA估計中每次尋優(yōu)的平均計算時間。實驗所用電腦處理器為AMD Athlon(tm)X2 240，主頻為2.80 GHz，內(nèi)存為1 GByte以及仿真軟件為Matlab2009。從表1中可以得知，相同信噪比下，應(yīng)用SQP對似然函數(shù)求解平均尋優(yōu)用時均小于另外兩種優(yōu)化方法。這主要因為SQP方法在每步迭代過程中都運用了梯度這一方向性信息，給每次迭代搜索指明了收斂的方向，而另外兩種算法由于其本身的特點沒有運用到這一有效的信息。另外，隨著信噪比的不斷下降，不斷增大的噪聲對梯度的正確指向性影響加劇，導(dǎo)致SQP尋優(yōu)迭代步數(shù)增加，致使尋優(yōu)所用時間有所增大。綜上分析可知，SQP方法可以用較少的計算時間實現(xiàn)對似然函數(shù)的優(yōu)化求解，保證了算法目標(biāo)估計時的快速性和實時性。

表1 不同優(yōu)化算法的平均計算時間比較Tab.1 Average computing time of DOA estimation with different optimization methods

4 結(jié) 語

針對最大似然DOA估計算法中需要非線性多維搜索而引起的計算量過大問題，將SQP方法與最大似然估計方法相結(jié)合，提出了一種應(yīng)用SQP優(yōu)化算法的最大似然DOA估計算法。該算法充分運用了似然函數(shù)中的梯度等相關(guān)信息，再結(jié)合SQP算法全局最優(yōu)且局部超線性收斂的特性，極大地減少了算法的計算量，加快了尋優(yōu)的過程。與其他算法相比，該算法具有尋優(yōu)時間短，估計精度高等特點，且在小快拍、低信噪比條件下仍然具有較高的估計精度。

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(責(zé)任編輯:何桂華)

Application of SQPOptimization to Maximum Likelihood DOA Estimation

SHAN Zetao1，SHAN Zebiao2，ZHU Lanxiang2，3，SHIYaowu2

(1.Manufacturing Department，Nuobo Rubber Production Company Limited，Baoding 072550，China; 2.College of Communication Engineering，Jilin University，Changchun 130022，China; 3.School of Electronic Information，Changchun Architecture and Civil Engineering College，Changchun 130607，China)

In order to estimate the DOA(Direction Of Arrival)accurately and quickly，a spectrum estimation method based on maximum likelihood algorithm and SQP(Sequence Quadratic Program)was presented.First，themaximum likelihood function for DOA estimation is deduced，and it is used to convert the problem from parameter estimation to a nonlinear function optimization problem.Then，SQP is applied to optimize the process of finding the solutions of themaximum likelihood estimator in order to estimate the DOA.The proposed method reserves the asymptotic unbiased estimation of themaximum likelihood estimator and comparing with the genetic algorithm or particle swarm algorithm，this proposed algorithm has faster speed optimization，and has higher convergence precision.

direction of arrival(DOA)estimation;sequence quadratic program(SQP);maximum likelihood estimation;optimization methods

TN911

A

1671-5896(2015)04-0356-05

2015-03-08

國家自然科學(xué)基金資助項目(51475198);吉林省青年科研基金資助項目(20140520064JH)

單澤濤(1985— )，男，河北邢臺人，諾博橡膠制品有限公司工程師，主要從事測控技術(shù)與工程優(yōu)化研究，(Tel)86-13596401456(E-mail)phd1314@qq.com;通訊作者:單澤彪(1986— )，男，河北邢臺人，吉林大學(xué)博士研究生，主要從事陣列信號處理、信號檢測與自動控制研究，(Tel)86-18686482648(E-mail)zbshan@126.com;石要武(1954— )，男，長春人，吉林大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師，主要從事信息處理與智能控制研究，(Tel)86-13620781237(E-mail)shiyw@jlu.edu.cn。