排列組合是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點，也是歷年高考考查的熱點，從反饋的教學(xué)效果或測試結(jié)果來看，學(xué)生對這部分內(nèi)容的理解能力較差，得分率不高，究其原因，主要是學(xué)生對排列組合的原理、怎樣導(dǎo)致的重復(fù)現(xiàn)象以及如何剔除重復(fù)計數(shù)等不甚清楚，本文結(jié)合實例剖析在求解排列組合問題時容易陷入的幾大誤區(qū)，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題思路，供參考.

誤區(qū)一 分類不妥、“有序”“無序”理不清致錯

例1 某校從8名教師中選派4名教師同去4個邊遠地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，則不同的選派方案共有多少種？

錯解 分兩類：有甲（一定有丙）、無甲（一定無丙）.第一類共有C25A44種，第二類共有C35A44種，所以共有C25A44+C35A44=480（種）.

辨析 分類有誤，應(yīng)分成三類：第一類有甲無乙有丙，第二類無甲有乙無丙，第三類無甲、乙、丙.

正解 共有C25A44+C35A44+A45=600（種）.

例2 用黃、綠、白三種顏色粉刷6間辦公室，其中一種顏色粉刷3間，一種顏色粉刷2間，一種顏色粉刷1間，問粉刷這6間辦公室有多少種安排方法？

錯解 該題容易錯解為有C36·C23·C11=60（種）.

辨析 出錯原因在于對題目中的事件分解步驟有錯，丟掉了一步，即顏色可以相互輪換這一步，而題目中黃、綠、白三種顏色粉刷辦公室的間數(shù)未定，任何一種顏色都可以粉刷三間或兩間或一間辦公室，因此，需要將三種顏色做排列.

正解 先固定一種粉刷方法，如黃色粉刷3間，綠色粉刷2間，白色粉刷1間，則有C36C23C11種方法.三種顏色互換有A33種方法，由乘法原理，不同的方案數(shù)共有A33C36C23C11=360（種）.

例3 一條連椅有6個空座位，3人去坐，3個空位中恰好有2個相鄰的排法有多少種？

錯解 先將3人排成一排，有A33種，從產(chǎn)生的4個空中選2個空分別插入2個空位和1個空位，有C24種插法，共有坐法A33C24=36（種）.

辨析 上述錯解在于分別插入2個空位和1個空位時，不是C24種插法，而應(yīng)是A24種插法，這是因為選出2個空后，必須考慮在哪個空插入2個，哪個空插1個，它們是不同的坐法.

正解 A33A24=72（種）.

誤區(qū)二 考慮問題不全，有遺漏致錯

例4 用0，1，2，3，4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)數(shù)字夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)有多少個？

錯解 將兩個奇數(shù)數(shù)字排好，有A22種方法，有3個空，由于0不能在首位，所以偶數(shù)數(shù)字的排法有2A22種，不同的五位數(shù)有2A22A22=8（個）.

辨析 對相鄰問題的一般解法不熟悉，錯解中的8個符合題意，但是遺漏了很多情況.

正解 分兩種情況∶（1）若0夾在兩個奇數(shù)之間，將這三個數(shù)字看成一個整體與剩下的兩個偶數(shù)一起排列有A33種，考慮到1與3可以互換位置，所以這種情況有A33A22=12（個）；（2）若2，4中的一個夾在兩個奇數(shù)數(shù)字之間，同上面的想法，共有C12C12A22A22=16（個）.所以滿足條件的五位數(shù)的個數(shù)是12+16=28.

例5 過三棱柱任意兩個頂點的直線共有15條，其中異面直線有多少對？

錯解 上底面三條棱任取一棱，側(cè)面上每條側(cè)棱和對角線與其有3對異面直線，下底面與其有2對異面直線，所以共有3+2×6=30（對）.

辨析 上述錯解漏掉了側(cè)面上對角線有6對異面直線.

正解 三棱柱共有6個頂點，任取4點，不共面的情形共有C46-3=12（種），不共面的4點可構(gòu)成一個四面體，而每一個四面體有3對異面直線，故共有3×12

=36（對）異面直線.

例6 四面體的一個頂點為A，從其余頂點及棱的中點選取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有多少種？

錯解 四面體有4個頂點，6條棱有6個中點，每個面上6個點是共面的；點A所在的每個面由含A的4個點組合，有C35種，點A在3個面內(nèi)，所以共有3C35=30（種）.

辨析 本題旨在考查組合知識和空間想象能力，錯解產(chǎn)生的原因在于沒有將各條棱的3點與它的對棱上的中點共面的情況考慮進去，從而出現(xiàn)遺漏的情況.

正解 在錯解的基礎(chǔ)上，還有一種滿足題意要求的情況，即點A所在棱上的3個點與對棱的中點共面，這樣的情況共有3種，所以符合條件的結(jié)果共有3C35+

3=33（種）.

誤區(qū)三 類與類之間不相互獨立，即兩類或n類之間有重復(fù)部分

例7 從6雙不同顏色的鞋中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？

錯解 從6雙中選一雙有C16種，再在10只中選一只有C110種，再只能在8只中選一只有C18種，即有C16C110C18=480（種）.

辨析 上述解法，問題出在取一只有C110種，再取一只有C18種，這里出現(xiàn)了重復(fù)，如“先取紅色的左只，后取藍色的右只”與“先取藍色的右只，后取紅色的左只”是同一事件.

正解 根據(jù)以上分析，恰好有一雙同色的取法有1[]2[SX）]C16C110C18=240（種）.

例8 將5名實習(xí)教師分配到高一年級的3個班實習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有多少種？

錯解 先分堆，再排列：分三堆，有C15C24C22種分法，然后看作三個元素的全排列，有A33（種），所以不同的分配方案共有C15C24C22A33=180（種）.

辨析 在分堆中，后兩堆具有同樣多的元素，故要減半.

正解 先分堆，再排列，所以不同的分配方案共有C15C24C222×A33=90（種）.

例9 在3000至8000之間，有多少個無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？

錯解 分三步完成，首先排首位，有5種方法；后排個位，也有1，3，5，7，9共5種方法；最后排中間兩位數(shù)，有A28種方法，所以共有5×5×A28=1400（個）奇數(shù).

辨析 在排個位1，3，5，7，9時，可能與首位數(shù)字重復(fù)，考慮欠全面，應(yīng)先分類，后分步處理.

正解 可以分為兩類，一類是以3，5，7為首位的三位奇數(shù)，可以分3步完成，先排首位，有A13種，后排末位有A14種，再排中間，有A28種，共有A13A14A28=672（個）；另一類是以4，6為首位的四位奇數(shù)，也可以分3步完成，有A12A15A28=560（個），所以符合條件的四位奇數(shù)共有672+560=1232（個）.

例10 已知集合A={5}，B={1，2}，C={1，3，4}，從這三個集合中各取1個元素，構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)，則可以確定多少個不同點？

錯解 相當(dāng)于從A，B，C三個集合中先各取1個元素，再進行全排列，所以共有1×C12×C13×A33=36（個）.

辨析 重復(fù)3個，因為從B，C兩個集合中都取1時，只有3種情況而不是6種情況.

正解 只需用總個數(shù)36減去3個重復(fù)的，所以不同點共有36-3=33（個）.

誤區(qū)四 考慮問題時既有重復(fù)又有遺漏致錯

例11 4名男生和4名女生排成一排，任意兩名女生不相鄰且任意兩名男生也不相鄰，一共有多少種排法？

錯解 本題常常容易錯解為A44A44=576（種）或A45A44=2880（種）或2A45A44=

5760（種）.

辨析 第一種錯解產(chǎn)生的原因是考慮不周，以偏概全，遺漏了另一種情況而產(chǎn)生的；第二種錯解與第三種錯解產(chǎn)生的原因是忽視了任意兩名女生不相鄰且任意兩名男生也不相鄰這個條件.對5個空位選4個進行排列，而實際上這4個空位必須相鄰，第三種錯解在這一錯誤的基礎(chǔ)上把已含的男女對調(diào)情況，又再次計入一遍.

正解 4男4女人數(shù)相等，4男分開有5個空位，由于任意兩名女生不相鄰且任意兩名男生也不相鄰，4名女生插入的4個空位必須相鄰，因此，完成這個排列分3個步驟：

第1步：將4名男生一字排開，有5個空位，選出4個相鄰的空位，共有2種選法；

第2步：將4名女生放入選出的4個相鄰空位進行排列，共有A44種排法；

第3步：將4名男生進行換位，共有A44種排法.

由乘法原理可得，不同排法的種數(shù)共有2A44A44=1152.

例12 將4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒子中，求恰有1個空盒的放法種數(shù).

錯解 先從4個球中任選3個球放入3個盒子中，有A34種放法，再將余下的1個球放入有球的3個盒子中的任意1個，有3種放法，從而共有3A34=72（種）放法.

辨析 這種解法既有重復(fù)，又有遺漏.一方面，從4個球中任選3個球放入3個盒子中，沒有確定放入4個盒子中的哪3個盒子中，步驟不完整，A34只是其中部分放法；另一方面，將余下的1個球放入有球的盒子中，由于先后順序的不同，使得有2個球的盒子中的2個球進行了隱蔽排列.

正解1 第1步，確定1個空盒，有C14種方法；第2步，確定放2個球的盒子，有C13種方法；第3步，從4個球中選2個球放入已確定放2個球的盒子中，有C24種方法；第4步，將余下的2個球放入已確定放入1個球的2個盒子中，有A22種方法，從而共有C14C13C24A22=144（種）放法.

正解2 4個盒子中的的球數(shù)分別為2，1，1，0，因而在4個不同小球中選出2個，則有C24種選法；然后把2個球、1個球，1個球，0個球全排列，有A44種排法.故符合條件的放法共有C24A44=144（種）.

誤區(qū)五 題意理解不清致錯

例13 8人進行乒乓球單打比賽，水平高的總能勝過水平低的，欲選出水平最高的兩人，至少需要比賽多少場？

錯解1 每兩人之間比賽一場，需要比賽C28=28（場）.

錯解2 第一輪分成4對進行比賽，負者被淘汰，勝者進入第二輪，需4場比賽；第二輪分成2對進行比賽，勝者為水平最高的兩人，需2場比賽.至少需要比賽6場.

辨析 錯解1的錯誤是沒有看清題意，“至少”沒有理解好；錯解2的錯誤是沒有選出水平最高的兩人，錯誤地認為這種淘汰比賽最后的兩人就是水平最高的兩人，實際上，第二名有可能在第一輪或第二輪就被第一名淘汰了.

正解 先將8人分成4對進行比賽，勝者進入第二輪，需要4場比賽.將進入第二輪的四人分成2對進行比賽，勝者進入第三輪，需要2場比賽，進入第三輪的2人進行比賽，勝者為第一名，需要1場比賽，將第一輪、第二輪、第三輪被第一名淘汰的選手共3人決出第一名，需要2場比賽.所以至少需要4+2+1+

2=9（場）比賽.

作者簡介 蔡勇全，男，四川遂寧人，1980年8月生，教育碩士，中學(xué)一級教師，發(fā)表論文90余篇，主持兩項市級課題，主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)及高考試題研究.