平面向量數(shù)量積，歷來是平面向量高考命題的主要考點(diǎn).由于平面向量數(shù)量積的運(yùn)算具有一定的技巧，在高考中往往得分率不高.如何“突破”這個(gè)考點(diǎn)？

一、直接利用定義或公式

例1 （1）（2014·重慶）已知向量a與b的夾角為60°，且a=（-2，-6），|b|=10，則a·b=.

（2）（2015·廣東）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AB=（1，-2），AD=（2，1），則AD·AC=.

解析：（1）因?yàn)閍=（-2，-6），

所以|a|=（-2）2+（-6）2=210，

又|b|=10，向量a與b的夾角為60°，

所以a·b=|a|·|b|·cos60°=210×10×12=10.

（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AC=AB+AD=（1，-2）+（2，1）=（3，-1），

所以AD·AC=2×3+1×（-1）=5.

評注：利用定義法直接求向量的數(shù)量積難度不大，只需記住數(shù)量積的定義公式和坐標(biāo)運(yùn)算公式.

例2 （2014·江西）已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα=13，向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β，則cosβ=.

解析：因?yàn)閍2=（3e1-2e2）2=9-2×3×2×cosα+4=9，所以|a|=3，b2=（3e1-e2）2=9-2×3×1×cosα+1=8，所以|b|=22，a·b=（3e1-2e2）·（3e1-e2）=9e21-9e1·e2+2e22=9-9×1×1×13+2=8，所以cosβ=a·b|a|·|b|=83×22=223.

評注：已知非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），它們的夾角為θ，則cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2x21+y21·x22+y22，利用這個(gè)公式可直接求出兩個(gè)向量的夾角.

二、構(gòu)造基底

例3 （2015·山東）已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC=60°，則BD·CD=（）

A. -32a2

B. -34a2

C. 34a2

D. 32a2

解析：因?yàn)锳D與AB的模都為a，且它們的夾角為∠BAD=180°-∠ABC=120°，

故可將AD與AB作為基底向量分別表示出BD與CD，于是

BD·CD=（AD-AB）·（-AB）=-AB·AD+AB2=-a·acos120°+a2=32a2，故選D.

評注：基底法作為向量數(shù)量積運(yùn)算的基本方法之一，必須首先選擇基底向量，作為基底向量，它們必須不共線，且它們的模與夾角必須都已知，或經(jīng)過計(jì)算可以求得.

例4 （2015·天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且BE=λBC，DF=19λDC，則AE·AF的最小值為.

解析：因?yàn)镈F=19λDC，DC=12AB，

CF=DF-DC=19λDC-DC=1-9λ9λDC=1-9λ18λAB，

AE=AB+BE=AB+λBC，

AF=AB+BC+CF=AB+BC+1-9λ18λAB=1+9λ18λAB+BC，

AE·AF=（AB+λBC）·（1+9λ18λAB+BC）=1+9λ18λAB2+λBC2+（1+λ1+9λ18λ）AB·BC

=1+9λ18λ×4+λ+19+9λ18×2×1×cos120°

=29λ+12λ+1718≥229λ·12λ+1718=2918，

當(dāng)且僅當(dāng)29λ=12λ，即λ=23時(shí)AE·AF的最小值為2918.

評注：本例以向量AB，BC作為基底，利用數(shù)量積定義，最終把原問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的最值問題.

三、建立坐標(biāo)系

例5 （2014·天津）已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD=120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF.若AE·AF=1，則λ的值為 .

解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A（-1，0），B（0，-3），C（1，0），D（0，3）.設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

由BC=3BE，得（1，3）=3（x1，y1+3），

可得E（13，-233）；

由DC=λDF，得（1，-3）=λ（x2，y2-3），可得F（1λ，3-3λ）.

∵AE·AF=（43，-233）·（1λ+1，3-3λ）=103λ-23=1，∴λ=2.

評注：解析法又叫坐標(biāo)法，即恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，將平面向量坐標(biāo)化，可使向量數(shù)量積運(yùn)算程序化，從而減少思維量.

例6 （2015·福建）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t.若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，則PB·PC的最大值等于（）

A. 13 B. 15 C. 19 D. 21

解析：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AC的方向分別為x軸、y軸的正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則AB=（1t，0），AC=（0，t），AP=（1，4），所以PB=AB-AP=（1t-1，-4），PC=AC-AP=（-1，t-4），

所以PB·PC=-（1t-1）-4（t-4）=-（1t+4t）+17≤-21t4t+17=13，當(dāng)且僅當(dāng)t=12時(shí)取等號(hào).故選A.

評注：因?yàn)轭}中出現(xiàn)兩向量垂直，故可以它們所在的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向建立坐標(biāo)系，從而利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式，輕而易舉地把向量數(shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，這種向量問題代數(shù)化的方法，往往對向量中的最值問題十分有效.

（作者：王佩其，太倉市明德高級(jí)中學(xué)）