黃 麗，羅文強(qiáng)，李飛翱，劉小珊

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)數(shù)學(xué)與物理學(xué)院，武漢 430074)

1 研究背景

根據(jù)大量的監(jiān)測(cè)資料，降雨和庫(kù)水位變化對(duì)滑坡位移變形有著重要的影響。降雨和庫(kù)水位變化的滯后性和周期性是滑坡變形的重要作用特征。因此在滑坡變形預(yù)測(cè)的模型中考慮誘發(fā)因素的滯后性和周期性是非常有必要的。

當(dāng)前，滑坡變形預(yù)測(cè)以時(shí)序分析為主的研究逐漸增多，例如，繆海波等［1］基于非平穩(wěn)時(shí)間序列分析的滑坡變形預(yù)測(cè)，用GM(1，1)模型進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)提取，三角函數(shù)擬合周期項(xiàng)數(shù)據(jù)，應(yīng)用時(shí)間序列方法所建模型效果良好;徐峰等［2］提出的基于時(shí)間序列分析的滑坡位移預(yù)測(cè)模型的研究，采用二次平移分離滑坡位移的周期項(xiàng)和位移項(xiàng)，分別采用GM(1，1)預(yù)測(cè)趨勢(shì)項(xiàng)和AR模型預(yù)測(cè)周期項(xiàng)，滑坡位移曲線擬合較好，與實(shí)際位移變化趨勢(shì)較一致。以上研究主要是位移與時(shí)間單變量時(shí)序模型，并未將降雨和庫(kù)水位變化直接納入滑坡變形預(yù)測(cè)模型中。石愛紅和牛瑞卿［3］提出的庫(kù)水位響應(yīng)滯后影響下的滑坡位移預(yù)測(cè)模型研究，選取月降雨量與庫(kù)水位滯后影響下的庫(kù)水位平均變化量為誘發(fā)因子，采用時(shí)間序列的方法對(duì)滑坡進(jìn)行了動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)，為滑坡的動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)提供了可靠的依據(jù)，但未能考慮到誘發(fā)因素周期性的影響。針對(duì)上述問題，本文根據(jù)誘發(fā)因素的滯后性和周期性的對(duì)滑坡變形的影響，采用多元時(shí)間序列的方法建立模型:首先用灰色模型進(jìn)行提取趨勢(shì)項(xiàng)位移，然后直接利用滯后的降雨量和滯后的庫(kù)水位的變化量預(yù)測(cè)當(dāng)期的周期項(xiàng)位移，最后建立描述誘發(fā)因素(降雨量和庫(kù)水位變化)的滯后項(xiàng)與滑坡累積位移之間關(guān)系的多元時(shí)序模型，并對(duì)滑坡位移進(jìn)行了預(yù)測(cè)。

2 滑坡位移的動(dòng)態(tài)分析

在滑坡發(fā)育過程中累積位移一般呈單調(diào)遞增的特征，具有明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，因此滑坡的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)序列可以看作是非平穩(wěn)時(shí)間序列［3］?？紤]到滑坡由于受到自身地質(zhì)條件的影響會(huì)產(chǎn)生一個(gè)趨勢(shì)項(xiàng)位移;受到降雨、庫(kù)水位變化等外在因素的影響會(huì)產(chǎn)生一個(gè)周期項(xiàng)位移。因此可以將滑坡累積位移序列看成趨勢(shì)項(xiàng)、周期項(xiàng)和隨機(jī)項(xiàng)，即

式中:St是t時(shí)刻觀測(cè)的滑坡累積位移;Xt是t時(shí)刻的趨勢(shì)項(xiàng);Ct是t時(shí)刻的周期項(xiàng);Rt是t時(shí)刻的隨機(jī)項(xiàng)。

2.1 趨勢(shì)項(xiàng)提取

趨勢(shì)項(xiàng)，即反應(yīng)時(shí)間序列的發(fā)展動(dòng)向?；吕鄯e位移受其自身基礎(chǔ)地質(zhì)條件的影響會(huì)產(chǎn)生一個(gè)趨勢(shì)向位移?；吕鄯e位移數(shù)據(jù)為單調(diào)遞增的非線性時(shí)間序列，且對(duì)研究區(qū)不同類型滑坡累計(jì)位移監(jiān)測(cè)曲線進(jìn)行分析后發(fā)現(xiàn)，各種檢測(cè)曲線為近似指數(shù)增長(zhǎng)曲線［4］，所以我們采用GM(1，1)模型提取趨勢(shì)項(xiàng)。

GM(1，1)原理［5］如下:

原始數(shù)據(jù)序列表示為

式中:X(0)為一個(gè)非負(fù)并且相等時(shí)間間隔的序列;n為序列的個(gè)數(shù)。

當(dāng)X(0)累計(jì)求和算子(AGO)，得到序列

則可以通過一個(gè)一階微分方程來構(gòu)造GM(1，1)模型，即

式中a和b是待定系數(shù)，可以通過最小二乘法決定，即

其中:

當(dāng)a和b代入方程(1)中時(shí)，得到解為

將累計(jì)求和逆算子應(yīng)用到上面方程中，可以得到原始數(shù)據(jù)在時(shí)刻k的預(yù)測(cè)結(jié)果，即

2.2 周期項(xiàng)提取

周期項(xiàng)，即具有一定周期性變化的序列。滑坡累積位移受到降雨、庫(kù)水位變化等外在因素的影響會(huì)產(chǎn)生一個(gè)周期項(xiàng)位移。本文考慮降雨、庫(kù)水位變化量的周期性和滯后性影響，直接將月平均降雨量和月庫(kù)水位變化量作為影響周期項(xiàng)位移的影響因子，構(gòu)造多元時(shí)間序列模型，即

式中:C(t)表示t月份的周期項(xiàng)位移;Rt表示t月份的平均降雨量;ΔK(t)表示t月份的庫(kù)水位相對(duì)于(t－1)月份的庫(kù)水位變化量;u為常數(shù)項(xiàng);α為前一期周期項(xiàng)系數(shù)，βi(i=0，1，2，…，n)為滯后 i期的降雨量系數(shù);ri(i=0，1，2，…，n)為滯后 i期的庫(kù)水位變化系數(shù)。

同時(shí)考慮誘發(fā)因素的周期性和滯后性作用來進(jìn)行周期項(xiàng)位移預(yù)測(cè)，突出了誘發(fā)因素的作用特征。將趨勢(shì)項(xiàng)位移與周期項(xiàng)位移疊加得到滑坡變形位移預(yù)測(cè)的多元時(shí)序模型，更加清晰地突出了誘發(fā)因素與累積位移之間的動(dòng)態(tài)變化。

3 實(shí)例應(yīng)用

白水河滑坡處于三峽庫(kù)區(qū)長(zhǎng)江寬河谷地段秭歸縣境內(nèi)，南高北低，呈階梯狀向長(zhǎng)江展布，滑坡體為一特大型老滑坡松散堆積體，發(fā)育于秭歸向斜西翼，出露地層為侏羅系下統(tǒng)香溪群中厚層狀砂巖夾薄層狀泥巖［6］。降雨及庫(kù)水位變化是誘發(fā)白水河滑坡變形的主要因素，位于預(yù)警區(qū)中西部的ZG93和ZG118監(jiān)測(cè)點(diǎn)的位移序列較好地體現(xiàn)了預(yù)警區(qū)滑體在降雨和庫(kù)水位變動(dòng)下的整體變形規(guī)律［7］。本文以監(jiān)測(cè)點(diǎn)ZG93為代表，取其2005年1月到2006年12月的滑坡累積位移監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，又由于白水河滑坡為降雨與庫(kù)水位聯(lián)合作用型的滑坡，所以同時(shí)取2005年1月到2006年12月共24個(gè)月的月平均降雨量和2004年12月到2006年12月共25個(gè)月的月庫(kù)水位監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)。以所取得累積位移數(shù)據(jù)、降雨及庫(kù)水位數(shù)據(jù)為依據(jù)，采用上述方法確定誘發(fā)因素周期和滯后響應(yīng)的滑坡累積位移預(yù)測(cè)的多元時(shí)序模型。

圖1為白水河滑坡2005年1月到2006年12月的累積位移數(shù)據(jù)曲線(圖1(a))、降雨量數(shù)據(jù)曲線(圖1(b))、2004年12月到2006年12月的月庫(kù)水位數(shù)據(jù)曲線(圖1(c))、2005年1月到2006年12月的月庫(kù)水位變化量數(shù)據(jù)曲線(圖1(d))。

從圖1(a)可以看出滑坡累積位移曲線明顯地呈現(xiàn)出非線性，單調(diào)遞增性且類似指數(shù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)，在MatLab中利用GM(1，1)模型提取趨勢(shì)項(xiàng)，可得到

不考慮隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，利用累積位移數(shù)據(jù)減去趨勢(shì)項(xiàng)位移得到周期項(xiàng)位移Ct。周期項(xiàng)曲線見圖2。

圖1 白水河滑坡監(jiān)測(cè)累計(jì)位移、月平均降雨量曲線、庫(kù)水位及庫(kù)水位變化量與時(shí)間關(guān)系曲線Fig.1 Cumumlative displacement-time，aerage monthly rainfall-time，reservoir water level-time，and reservoir water level variation-time curves of Baishuihe landslide

圖2 白水河剔除趨勢(shì)項(xiàng)之后的周期項(xiàng)曲線Fig.2 Curve of periodic term displacement vs.time of Baishuihe landslide in the absence of trend term

從圖2可以看出，剔除趨勢(shì)項(xiàng)后的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出明顯的周期性，由此可以看出受內(nèi)在因素影響產(chǎn)生的趨勢(shì)項(xiàng)位移已基本剔除。

首先對(duì)比周期項(xiàng)位移與降雨量對(duì)應(yīng)的圖形，從整體來看，圖形趨勢(shì)大體一致，從細(xì)節(jié)上看當(dāng)降雨量第1次達(dá)到最大值時(shí)是2005年8月，而周期項(xiàng)位移在2005年9月達(dá)到一個(gè)最大值;當(dāng)降雨量2005年12月減小到最低值時(shí)，而周期項(xiàng)位移在2006年3月達(dá)到最小值;當(dāng)降雨量第2次達(dá)到最大值時(shí)是2006年6月，而周期項(xiàng)位移第2次達(dá)到最大值時(shí)是2006年7月，顯然降雨對(duì)周期項(xiàng)位移有滯后性影響。

其次，再對(duì)比周期項(xiàng)位移與庫(kù)水位變化量的圖形，從圖上可以看出在2005年5，6月時(shí)庫(kù)水位變化量下降，在6月第1次達(dá)到最小(當(dāng)期庫(kù)水位下降);而周期項(xiàng)位移曲線在2005年7—9月迅速遞增(周期項(xiàng)位移變大)，在9月周期項(xiàng)位移達(dá)到第1個(gè)最大值。庫(kù)水位變化量在2006年9月和10月開始上升，在10月達(dá)到最大值，而周期項(xiàng)位移從2006年10—12月開始迅速變小?？梢?，當(dāng)庫(kù)水位下降時(shí)，周期項(xiàng)位移加大;庫(kù)水位上升時(shí)可抑制周期項(xiàng)位移上升，并且從時(shí)間上來看庫(kù)水位變化量對(duì)周期項(xiàng)位移也有一定的滯后影響。

利用Eviews軟件計(jì)算滯后項(xiàng)系數(shù)的顯著性，從而篩選滯后項(xiàng)，具體步驟為:

(1)在Eviews中通過自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)圖對(duì)周期項(xiàng)序列進(jìn)行相關(guān)性分析，判斷周期項(xiàng)序列的當(dāng)前項(xiàng)與前一項(xiàng)是相關(guān)的。

(2)根據(jù)周期項(xiàng)的數(shù)據(jù)曲與降雨量曲線圖和庫(kù)水位變化量曲線圖分析，以及公式(2)，計(jì)算得到的滯后項(xiàng)系數(shù)所對(duì)應(yīng)的P值大小做初步的篩選。P值越大說明此項(xiàng)不能作為周期項(xiàng)位移的可靠指標(biāo)，要排除;反之，則留下［8］。

根據(jù)上述方法，利用式(2)，在 Eviews的 Estimate Equation中先輸入如下變量:

其中R(i)，R(i－3)，?K(i)和?K(i－2)的系數(shù)對(duì)應(yīng)的P值較大(＞0.05)，所以先剔除這幾項(xiàng)，隨后在Estimate Equation中輸入留下的變量C，u，C(i－1)，R(i－1)，R(i－2)，?K(i－1)，得到相應(yīng)的系數(shù)及P值，其中R(i－2)的P＞0.05，所以再剔除R(i－2)這一項(xiàng)，這時(shí)對(duì)應(yīng)的系數(shù)且P值均＜0.05。最后得到C(t)的表達(dá)式為

然后，將趨勢(shì)線和周期項(xiàng)疊加則有

從此模型的表達(dá)式可以看出，前1個(gè)月的月平均降雨量和前2個(gè)月的庫(kù)水位變化對(duì)當(dāng)前一期滑坡累積位移產(chǎn)生的影響，利用此模型對(duì)白水河滑坡2007年1—5月的累積位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，根據(jù)Rt=St－(Xt+Ct)算出隨機(jī)誤差，并分別畫出滑坡累積位移實(shí)際數(shù)據(jù)與預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比圖(圖3)和誤差百分比表(表1)。

從圖3可以看出，滑坡實(shí)際累積位移曲線與預(yù)測(cè)累積位移曲線基本吻合;從表1可以看出，預(yù)測(cè)誤差百分比較低，說明此模型能夠較好地反映誘發(fā)因素與累積位移的動(dòng)態(tài)關(guān)系。

圖3 白水河滑坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)ZG93累計(jì)位移的預(yù)測(cè)曲線與實(shí)測(cè)曲線Fig.3 Curves of predicted and measured cumulative displacement of monitoring point ZG93 of Baishuihe landslide

表1 白水河滑坡監(jiān)測(cè)點(diǎn)ZG93累計(jì)位移的預(yù)測(cè)誤差Table 1 Prediction error of the cumulative displacement of monitoring point ZG93of Baishuihe landslide

4 結(jié)論

(1)降雨、庫(kù)水位變化是滑坡發(fā)生的主要外在誘發(fā)因素，降雨和庫(kù)水位變化的滯后性和周期性是滑坡變形的重要作用特征。

(2)實(shí)例表明，白水河滑坡累積位移受到前一期降雨及前一期庫(kù)水位變化量的影響。從模型系數(shù)可以看出，累積位移與前一期降雨成正相關(guān)，與前一期庫(kù)水位變化成負(fù)相關(guān)，當(dāng)前一期降雨量增大時(shí)，當(dāng)期滑坡累積位移會(huì)有變大的趨勢(shì);前一期庫(kù)水位下降時(shí)，當(dāng)期滑坡累積位移變大;當(dāng)前一期庫(kù)水位上升時(shí)，當(dāng)期滑坡累積位移變化較小。

(3)同時(shí)考慮降雨及庫(kù)水位變化量的滯后性和周期性影響提高了預(yù)測(cè)的精度，平均絕對(duì)誤差為1.97%，反映了滑坡位移與誘發(fā)因素之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系。

［1］繆海波，殷坤龍，柴 波，等.基于非平穩(wěn)時(shí)間序列分析的滑坡變形預(yù)測(cè)［J］.地質(zhì)科技情報(bào)，2009，28(4):107－111.(MIAO Hai-bo，YIN Kun-long，CHAI Bo，et al.Deformation Prediction of Landslide Based on the Analysis of Non-stationary Time Series［J］.Geological Science and Technology Information，2009，28(4):107－ 111.(in Chinese))

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