黃文宜

（宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 宜春 336000）

紀(jì)錄值一直被廣泛應(yīng)用到天氣預(yù)報(bào)、地震預(yù)測(cè)、體育科學(xué)以及工程科學(xué)等領(lǐng)域［1］.記錄值的統(tǒng)計(jì)推斷研究成為統(tǒng)計(jì)研究的一個(gè)熱點(diǎn)方向.基于記錄值樣本，Zhao等［2］研究了單雙樣本情形下的隨機(jī)序問(wèn)題；任海平等［3］在對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失函數(shù)下得到了指數(shù)分布參數(shù)的最小風(fēng)險(xiǎn)同變估計(jì)、Bayes估計(jì)和經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)，并討論了一類(lèi)線性形式估計(jì)cXU（n）＋d的可容許性和不可容許性問(wèn)題；邢建平［4］利用Rukhin損失函數(shù)，將決策誤差和統(tǒng)計(jì)判別法則結(jié)合起來(lái)，在共軛先驗(yàn)分布下討論了指數(shù)分布參數(shù)的損失函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes估計(jì)問(wèn)題，并給出了相應(yīng)Bayes估計(jì)為保守估計(jì)的條件.

由于很多離散型產(chǎn)品的壽命服從幾何分布，從而幾何分布作為一類(lèi)重要的離散型分布在可靠性、信息工程、遺傳學(xué)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用.在完全樣本場(chǎng)合下，徐曉嶺等［5］研究了幾何分布的近似區(qū)間估計(jì)及其與其他離散型分布的貼近度問(wèn)題；井維蘭等［6］討論了幾何分布串－并聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)品參數(shù)的矩估計(jì)、極大似然估計(jì)和近似區(qū)間估計(jì)問(wèn)題；針對(duì)不完全數(shù)據(jù)場(chǎng)合，王蓉華等［7－8］研究了幾何分布參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題；徐曉嶺等［9］針對(duì)在開(kāi)關(guān)壽命為幾何型且開(kāi)關(guān)失效時(shí)產(chǎn)品不立即失效的冷儲(chǔ)備系統(tǒng)，討論了幾何分布參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)問(wèn)題；張棟棟等［10］針對(duì)產(chǎn)品有歷史數(shù)據(jù)和歷史數(shù)據(jù)缺失的情況下提出了一種求解幾何分布可靠度置信限的K因子法；熊常偉等［11－13］分別在熵?fù)p失、加權(quán)平方損失和一類(lèi)非對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下研究了幾何分布可靠度的Bayes以及多層Bayes估計(jì)問(wèn)題.

在貝努里試驗(yàn)中，設(shè)R為每次試驗(yàn)成功的概率（可靠度），若進(jìn)行了x＋1次試驗(yàn)，前x次試驗(yàn)成功但第x＋1次試驗(yàn)不成功的概率為

稱(chēng)隨機(jī)變量X服從幾何分布，其中：R（0＜R＜1）為幾何分布的可靠度.

作者將基于記錄值樣本，在平方誤差損失和一類(lèi)新的加權(quán)平方損失函數(shù)下研究幾何分布（1）可靠度R的Bayes估計(jì)問(wèn)題.

1 最小方差無(wú)偏估計(jì)

定義［1］設(shè)X1，X2，…為來(lái)自總體X的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，總體X的分布函數(shù)為F（x；θ），密度函數(shù)為f（x；θ）.若對(duì)于任意給定的n≥1，記

稱(chēng)XU（n）為第n個(gè)上記錄值，相應(yīng)的U（n）稱(chēng)為第n個(gè)記錄時(shí)間.

設(shè)X1，X2，…為來(lái)自幾何分布（1）的獨(dú)立同分布的隨機(jī)樣本，并假定觀測(cè)到的前n個(gè)上記錄值樣本為XU（1），XU（2），…，XU（n），相應(yīng)的樣本觀察值為xU（1），xU（2），…，xU（n），則給定XU（1）＝xU（1），XU（2）＝xU（2），…，XU（n）＝xU（n）后，可靠度R的似然函數(shù)為［1］

由式（1）得

將式（3）代入式（2）得

令L′（R；x）＝（1－R）n－1RxU（n）－n［－nR＋（1－R）（xU（n）＋1－n）］＝0，解得可靠度R的最大似然估計(jì)為

由式（4）易知，隨機(jī)變量T＝XU（n）＋1服從負(fù)二項(xiàng)分布NB（n，R），相應(yīng)的分布律

從而G（T）為可靠度R的無(wú)偏估計(jì)量，又由（4）式可知隨機(jī)變量T＝XU（n）＋1為可靠度R的充分統(tǒng)計(jì)量，故G（T）為可靠度R的最小方差無(wú)偏估計(jì)量，將其記為，即

2 Bayes估計(jì)

在實(shí)際應(yīng)用中，工程師或?qū)＜視?huì)基于經(jīng)驗(yàn)或以往試驗(yàn)數(shù)據(jù)，給出參數(shù)的一些先驗(yàn)認(rèn)識(shí)，而這些先驗(yàn)知識(shí)通?？梢杂脜?shù)的先驗(yàn)分布來(lái)表示.對(duì)于幾何分布，在Bayes統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用最廣的是共軛貝塔分布.于是也假設(shè)可靠度R具有共軛貝塔共軛先驗(yàn)分布Beta（a，b），相應(yīng)的概率密度函數(shù)為

其中：a，b＞0為超參數(shù).

在Bayes估計(jì)的討論中，將在如下兩類(lèi)損失函數(shù)下討論：

（1）平方誤差損失函數(shù)

在平方誤差損失函數(shù)（8）下，可靠度R的Bayes估計(jì)為其后驗(yàn)期望，即

其中：X＝（XU（1），XU（2），…，XU（n））.

（2）一類(lèi)新的加權(quán)平方損失函數(shù)

損失函數(shù)（9）將參數(shù)的取值范圍考慮到損失函數(shù)中，因而比通常的平方誤差損失函數(shù)更為合理.在損失函數(shù)（9）下，可靠度R的Bayes估計(jì)為［14］

定理 設(shè)X＝（XU（1），XU（2），…，XU（n））為來(lái)自幾何分布（1）的前n個(gè)上記錄值，x＝（xU（1），xU（2），…，xU（n））為相應(yīng)的樣本觀察值，T＝XU（n）＋1，則

（i）在平方損失函數(shù)（8）下，可靠度R的Bayes估計(jì)為

（ii）在加權(quán)平方誤差損失函數(shù)（9）下，可靠度R的Bayes估計(jì)為

證明 由式（4）和（7），根據(jù)Bayes定理，得到可靠度R的后驗(yàn)概率密度函數(shù)為

從而R｜X服從貝塔分布Beta（a＋T－n，n＋b）.

（i）在平方誤差損失函數(shù)（8）下，可靠度R的Bayes估計(jì)為

（ii）在新的加權(quán)平方損失函數(shù)（9）下，可靠度R的Bayes估計(jì)為

定理得證.

3 結(jié)束語(yǔ)

為比較論文得到的Bayes估計(jì)與最大似然估計(jì)及最小方差無(wú)偏估計(jì)進(jìn)行比較，采用Nelson［15］的關(guān)于某電子絕緣液耐壓強(qiáng)度檢測(cè)的例子進(jìn)行說(shuō)明.在34kV電壓下，Nelson測(cè)得該種絕緣液的19個(gè)樣品的被擊穿時(shí)間.Nelson實(shí)驗(yàn)電子絕緣液的耐壓強(qiáng)度時(shí)間分布通常采用指數(shù)分布擬合.根據(jù)指數(shù)分布和整數(shù)分布的關(guān)系，由一個(gè)指數(shù)數(shù)據(jù)觀測(cè)值的整數(shù)部分構(gòu)成幾何數(shù)據(jù).來(lái)自幾何分布的前6個(gè)上記錄值樣本觀察值為x＝（xU（1），xU（2），…，xU（6））＝（4，8，31，33，36，72）［16］，計(jì)算T＝xU（6）＋1＝73，則參數(shù)θ的最大似然估計(jì)＝0.917 8，θ的最小方差無(wú)偏估計(jì)＝0.930 6，R的Bayes估計(jì)值見(jiàn)表1.

表1 不同先驗(yàn)參數(shù)下幾何分布可靠度R的Bayes估計(jì)值Tab.1 Bayes estimation of geometric distribution reliability under different prior parameters

論文在給定幾何分布記錄值樣本的情形下，導(dǎo)出了在平方誤差損失和一類(lèi)加權(quán)平方損失函數(shù)下可靠度的Bayes估計(jì)，并通過(guò)例子給出了估計(jì)值的結(jié)果.從表1可以看出，超參數(shù)（a，b）的值對(duì)Bayes結(jié)果的影響不是很大，在加權(quán)平方損失函數(shù)下得到的Bayes估計(jì)更加接近可靠度的最小方差無(wú)偏估計(jì)，于是在應(yīng)用Bayes估計(jì)時(shí)建議采用估計(jì).

［1］Ahsanullah M.Record values－theory and applications［M］.Lanham：University Press of America，2004.

［2］Zhao P，Li X H，Li Z P.Stochastic comparisons of spacings of record values from one or two sample sequences

［J］.Statistics：A Journal of Theoretical and Applied Statistics，2008，42（2）：167－177.

［3］任海平，任治國(guó).基于對(duì)稱(chēng)熵?fù)p失和記錄值樣本的指數(shù)分布模型參數(shù)的估計(jì)［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2010，20（1）：14－16.

［4］邢建平.基于記錄值樣本的指數(shù)分布參數(shù)的損失與風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)的Bayes估計(jì)［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2011，10（1）：32－33.

［5］徐曉嶺，孫祝嶺，王磊.幾何分布參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和統(tǒng)計(jì)貼近度研究［J］.強(qiáng)度與環(huán)境，2005，32（2）：57－63.

［6］井維蘭，王蓉華，顧蓓青，等.全樣本幾何分布串－并聯(lián)系統(tǒng)產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)分析［J］.統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2009，24（12）：14－17.

［7］王蓉華，顧蓓青，金乃超，等.幾何分布產(chǎn)品不完全數(shù)據(jù)場(chǎng)合下的統(tǒng)計(jì)分析［J］.統(tǒng)計(jì)與信息論壇，2010，25（2）：16－19.

［8］徐曉嶺，王蓉華，費(fèi)鶴良.幾何分布產(chǎn)品定數(shù)截尾場(chǎng)合下參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)［J］.強(qiáng)度與環(huán)境，2009，36（2）：51－63.

［9］徐曉嶺，王蓉華，應(yīng)晶晶，等.幾何分布冷貯備產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)分析［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2013（5）：87－89.

［10］張棟棟，張德然.幾何分布可靠度的Bayes置信下限［J］.華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013（1）：20－22.

［11］熊常偉，張德然，張怡.熵?fù)p失函數(shù)下幾何分布可靠度的Bayes估計(jì)［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理，2008，27（1）：82－86.

［12］李蘭平.一類(lèi)新的加權(quán)平方損失函數(shù)下幾何分布的Bayes可靠性分析［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2012（11）：81－82.

［13］張國(guó)林.一類(lèi)非對(duì)稱(chēng)損失函數(shù)下幾何分布可靠度的Bayes估計(jì)［J］.統(tǒng)計(jì)與決策，2013（4）：69－70.

［14］Lehmann E L，Casella G.Theory of point estimation［M］.2nd ed.New York：Springer－Verlag，2003.

［15］Nelson W.Applied life data analysis［M］.New York：John Wiley，1982.

［16］Mathachan P.Some inference problems related to Geometric distribution［D］.Tennessee：Department of Mathematics Union Christian College of Mahatma Gandhi University，2007.