懷紅旗（南京六九零二科技有限公司，江蘇 南京 21009）

基于分?jǐn)?shù)階PID控制的交流伺服系統(tǒng)研究

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針對傳統(tǒng)的PID控制滿足不了永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)高速高精度的控制要求，提出了分?jǐn)?shù)階PI控制器。首先建立了調(diào)速系統(tǒng)的方框圖模型，推導(dǎo)了其傳遞函數(shù)。然后采用flat phase法設(shè)計(jì)了其分?jǐn)?shù)階PI控制器，并采用Oustaloup濾波法將其實(shí)現(xiàn)。由仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PI控制器的動態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能以及魯棒性均優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器。

永磁同步電機(jī)；分?jǐn)?shù)階PI；魯棒性

永磁同步電機(jī)具有體積小、效率高、轉(zhuǎn)動慣量小、過載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于機(jī)器人、數(shù)控機(jī)床、辦公自動化、軍用武器隨動系統(tǒng)等場合。但永磁同步電機(jī)中各種時變和不確定因素的存在嚴(yán)重影響系統(tǒng)控制性能，使得系統(tǒng)的高性能優(yōu)勢無法得到充分發(fā)揮。因此必須采取理想的控制策略，提高永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的動和靜態(tài)特性，以及魯棒性。諸多新的控制策略被用于永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)控制中，譬如滑模變結(jié)構(gòu)控制[1]、預(yù)測控制[2]、自適應(yīng)控制[3]、反推控制[4]等。但這些控制策略計(jì)算量較大，在實(shí)時性較強(qiáng)的場合，控制器實(shí)現(xiàn)難度較大。

傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制算法比較簡單，易于工程實(shí)現(xiàn)，得到廣泛應(yīng)用。但隨著控制對象的控制精度要求越來越高，PID控制器逐漸滿足不了人們的要求。因此有學(xué)者引入了分?jǐn)?shù)階PID控制，擴(kuò)大了控制參數(shù)的調(diào)控范圍，改善了傳統(tǒng)PID控制的不足，從根本上提高了系統(tǒng)控制精度，并在分?jǐn)?shù)階控制器設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)方面做了大量的研究工作。

文獻(xiàn)[5]建立了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型并設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階PID控制器，取得了比整數(shù)階數(shù)學(xué)模型和控制器好的系統(tǒng)性能。文獻(xiàn)[6]將分?jǐn)?shù)階PID控制器用于伺服電機(jī)控制中，在保證帶寬不變情況下，提高了系統(tǒng)的相位裕度。文獻(xiàn)[7]將分?jǐn)?shù)階PID控制器用于電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。但其控制器的設(shè)計(jì)方法和實(shí)現(xiàn)方法均沒有介紹。文獻(xiàn)[8]提出了一種分?jǐn)?shù)階PID的參數(shù)簡單的整定方法。文獻(xiàn)[9]將伺服系統(tǒng)簡化為一階慣性環(huán)節(jié)，然后對幾種分?jǐn)?shù)階PID控制器進(jìn)行了比較研究。文獻(xiàn)[10]將分?jǐn)?shù)階PID控制器與滑模變結(jié)構(gòu)控制相結(jié)合，對伺服系統(tǒng)進(jìn)行了復(fù)合控制。

本文將分?jǐn)?shù)階PI控制用于永磁同步電機(jī)速度環(huán)控制器中。分別介紹了速度環(huán)整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階PI控制器的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階PI控制提高了系統(tǒng)的靜態(tài)和動態(tài)性能以及魯棒性，其性能優(yōu)于傳統(tǒng)的整數(shù)階PID控制器。

1 永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)及整數(shù)階PI控制器設(shè)計(jì)

圖1 永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)框圖

永磁同步電機(jī)采用id=0的矢量控制時，其調(diào)速系統(tǒng)簡化的方框圖如圖1所示[11]。系統(tǒng)由電流環(huán)和速度環(huán)構(gòu)成雙閉環(huán)控制。通常先根據(jù)控制要求設(shè)計(jì)電流環(huán)控制器，然后把電流環(huán)當(dāng)作內(nèi)環(huán)，設(shè)計(jì)速度環(huán)控制器。

1.1 電流環(huán)整數(shù)階PI控制器的設(shè)計(jì)

在電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)中，需要控制電機(jī)的轉(zhuǎn)矩，使其能夠快速響應(yīng)，因此電流環(huán)的反饋控制必不可少。電流環(huán)控制器通常采用P或PI控制。

1.2 速度環(huán)整數(shù)階PI控制器的設(shè)計(jì)

圖2 電流環(huán)簡化后永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)框圖

通常電流環(huán)的剪切頻率 比速度環(huán)的剪切頻率 高出數(shù)倍以上，在剪切頻率 附近，電流環(huán)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可近似為1。速度環(huán)PI控制器的轉(zhuǎn)折點(diǎn)頻率 為。當(dāng) 為 數(shù)分之一時，在 附近有 。因此，速度環(huán)的開環(huán)傳遞函數(shù)在剪切頻率 附近，可以近似表示為，所以比例增益可以按照確定。而積分增益 則可根據(jù)PI控制器轉(zhuǎn)折頻率滿足，然后根據(jù) 來求出。

2 速度環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器設(shè)計(jì)及實(shí)現(xiàn)

1994年，Dorcak提出了分?jǐn)?shù)階PD控制器；1999年，I.Podlubny提出了分?jǐn)?shù)階PID控制器。分?jǐn)?shù)階PID控制器，一般形式如下：

其中 為正實(shí)數(shù)，分別為比例、積分和微分增益。

為微分和積分的階次，一般取值為0～2之間，且均可以為分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)階PID擴(kuò)大了整數(shù)階的控制范圍，能夠更好更靈活地控制被控對象，達(dá)到更好的控制效果。

分?jǐn)?shù)階PID控制器的五個參數(shù)對控制系統(tǒng)的性能影響各不相同。 主要影響系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。 主要影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，選擇合適可以徹底消除穩(wěn)態(tài)誤差。 主要影響系統(tǒng)的超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間。 主要影響系統(tǒng)的相角滯后，會減少相對的穩(wěn)定性，一定程度上消除靜差。 的變化有助于誤差變化調(diào)節(jié)，與 配合作用，改善微分環(huán)節(jié)的作用。

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PID控制器的關(guān)鍵是整定控制器的五個參數(shù)。其參數(shù)整定方法很多，如主導(dǎo)極點(diǎn)法、幅值裕量與相位裕量法、優(yōu)化方法等。本文采用陳陽泉教授提出的Flat phase法設(shè)計(jì)速度環(huán)的分?jǐn)?shù)階PI控制器。此時控制器的表達(dá)式為：

Flat phase法需要滿足的主要三個條件如下：

（1）在剪切頻率 處，整個系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的模值為1。

其中 為控制器的傳遞函數(shù)， 為被控對象的傳遞函數(shù)。

（3）相角在剪切頻率附近幾乎保持不變，使系統(tǒng)對增益的變化具有魯棒性，系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)在該范圍內(nèi)基本不變。

，其中 ， 。

將控制器的傳遞函數(shù)和被控對象的傳遞函數(shù)帶入式中，可得：

其中

選擇剪切頻率 ，相位裕量 ，根據(jù)公式(7)～(10)，便可以得到分?jǐn)?shù)階PI控制器的三個參數(shù) 。

分?jǐn)?shù)階PID控制的實(shí)現(xiàn)方法有Fourier級數(shù)計(jì)算法、Grunwald-Letnikov法、Oustaloup濾波法、離散濾波近似法等[9]。本文采用Oustaloup濾波法對所設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階積分

進(jìn)行了實(shí)現(xiàn)。假設(shè)選定的擬合頻率段位為（ ），可以得到連續(xù)濾波器的傳遞函數(shù)為：

3 仿真結(jié)果分析

圖3 永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)仿真示意圖

為了驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的速度環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器的性能，在MATLAB/ Simulink下，根據(jù)圖3所示的仿真圖對系統(tǒng)進(jìn)行了仿真。一種情況是電流環(huán)和速度環(huán)均采用整數(shù)階PI控制器，另一種情況為電流環(huán)采用整數(shù)階PI控制，速度環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制。永磁同步電機(jī)的各參數(shù)設(shè)置如下: ?， ，轉(zhuǎn)動慣量，轉(zhuǎn)子永磁磁鏈 ，極對數(shù) ，粘滯摩擦系數(shù) 。

（1）電流環(huán)和速度環(huán)均采用整數(shù)階PI 控制器

根據(jù)永磁同步電機(jī)的參數(shù)以及本文1.1中電流環(huán)PI控制器的設(shè)計(jì)方法，若選取電流環(huán)的剪切頻率 ，速度環(huán)的剪切頻率，速度環(huán)PI控制器的轉(zhuǎn)折頻率 ?？傻秒娏鳝h(huán)整數(shù)階PI控制器的參數(shù) ，。速度環(huán)整數(shù)階PI控制器的參數(shù)為，。

（2）電流環(huán)采用整數(shù)階PI 控制器，速度環(huán)采用分?jǐn)?shù)階PI控制器電流環(huán)選參數(shù)設(shè)置同第一種情況。速度環(huán)選擇剪切頻率，相位裕量為 ，根據(jù)公式，借助于MATLAB可得速度環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器的三個參數(shù)分別為。

電機(jī)額定轉(zhuǎn)速得到的響應(yīng)曲線如圖4所示。可以看出在超調(diào)量兩種情況相當(dāng)時，速度環(huán)選用分?jǐn)?shù)階PI控制器時，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間明顯比整數(shù)階要短。

在時間為1秒時，給系統(tǒng)加入了 的額定負(fù)載，響應(yīng)曲線如圖4所示。可以看出分?jǐn)?shù)階PI控制時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速幾乎沒有波動，其魯棒性優(yōu)于整數(shù)階PI控制器。

圖4 速度環(huán)為整數(shù)階PI和分?jǐn)?shù)階PI控制器時系統(tǒng)響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

為提高永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的性能，提出采用速度環(huán)分?jǐn)?shù)階PI控制器。首先分析了在id=0矢量控制時，永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。然后介紹了分?jǐn)?shù)階PI控制flat phase設(shè)計(jì)方法，以及分?jǐn)?shù)階PI控制器的Oustaloup濾波實(shí)現(xiàn)方法。分?jǐn)?shù)階PI控制器比傳統(tǒng)的整數(shù)階PI控制器多了一個可調(diào)參數(shù)，在保證系統(tǒng)具有足夠帶寬的情況下，可提高系統(tǒng)的相位裕量。仿真結(jié)果表明，采用分?jǐn)?shù)階PI控制器時，系統(tǒng)的靜態(tài)特性、動態(tài)特性及魯棒性均優(yōu)于采用整數(shù)階PI控制器時。

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作者介紹

懷紅旗（1981-），男，高級工程師，碩士研究生，現(xiàn)就職于南京六九零二科技有限公司，主要研究方向?yàn)樗欧到y(tǒng)的設(shè)計(jì)及應(yīng)用。

Speed-Adjusting System of the PMSM Based on Fractional Order PI Control Algorithm

Aiming at the unsatisfactory speed and control accuracy of the PMSM with traditional PID, the fractional order PI controller is designed to improve the performance of the speed adjustment system of PMSM. The transfer function is deduced based on the block diagram mathematical model of speed control system. Then the design of fractional order PI controller is introduced by using flat phase method. And an Oustaloup integer order approximation of the fractional order operator is applied. It shows that the fractional order PI controller has a better performance than the integer order PI controller. And it can improve the robustness performance of the PMSM speed-adjusting system. Key words: PMSM; Fractional order PI; Robustness

B

1003-0492(2015)05-0100-03

TM351