張 昴

(中國政法大學商學院，北京 102200)

金融時間序列分析在探索經(jīng)濟規(guī)律中發(fā)揮著越來越重要的作用。ARMA過程作為經(jīng)典的時間序列分析方法較好地反映了時間序列的線性特征。然而現(xiàn)實中許多時間序列往往隱含有高度的非線性特征，它們的變化受到許多復(fù)雜因素的綜合作用，這正是ARMA過程在實際應(yīng)用中真正需要解決的問題。

目前，從統(tǒng)計學角度出發(fā)已構(gòu)建了一系列非線性計量模型。Granger和 Anderson［1］提出了雙線性時間序列模型，給出了耦合的交叉項，邁出了非線性計量的重要一步。Granger［2］在研究ARMA模型時提出分數(shù)階的差分，對非平穩(wěn)時間序列自相關(guān)問題進行處理，得到了較好的效果。Haggan和Ozalci［3］突破傳統(tǒng)建模的正態(tài)分布假定提出了指數(shù)自回歸(EXPAR)模型，為非線性計量分析提供了一個新方向。Chen和 Tsay［4］提出了變系數(shù)自回歸(FAR)模型，其泛化能力較強，較好地刻畫了時間序列的演變規(guī)律。人們也嘗試用幾何分形理論對經(jīng)濟系統(tǒng)進行研究，Edgar E.Peters［5］將分形幾何學理論引入資本市場的分析，為此后分形幾何學和混沌動力學的迅速發(fā)展作了重要鋪墊。20世紀，憑借軟計算方法對不確定、不精確問題的較好適應(yīng)性，學術(shù)界掀起了一股軟計算方法研究的潮流。Lapedes和Farbar［6］開創(chuàng)性地運用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對股票價格進行分析建模，較好地刻畫了股票價格的復(fù)雜性、耦合性。近年來，人們不斷嘗試多種軟計算方法的組合預(yù)測。Li C和Cheng H H［7］提出PSO-RLSE與模糊控制論相結(jié)合的軟算法，對SP500序列進行分析，從而證明其提出的混合計算方法的優(yōu)越性。張旭東等［8］將小波與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合對深證300成分指數(shù)進行預(yù)測。Lahmiri S［9］創(chuàng)新性地采用離散小波技術(shù)和支持向量機對SP500股票價格變動方向進行預(yù)測，得到了較為準確的結(jié)果。

復(fù)雜系統(tǒng)的研究已經(jīng)成為當今學術(shù)趨勢，尤其是交叉學科的研究思路和方法已經(jīng)漸漸得到廣泛的應(yīng)用。閆妍等［10］介紹了交叉相關(guān)矩陣、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)等統(tǒng)計物理方法在全球股市價格波動上的應(yīng)用。借鑒物理中關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)的研究思路和方法，本文以經(jīng)典物理學矢量的非線性加法為依托解讀經(jīng)濟系統(tǒng)的非線性，創(chuàng)建二維矢量形式的AR過程(phasor auto regressive model，PAR)，并對其進行實證研究。

1 PAR過程的構(gòu)建

1.1 傳統(tǒng)AR過程的不足以及經(jīng)濟系統(tǒng)的非線性根源

時間序列分析中常用的AR過程的一般形式為rt－ φ1rt－1－ …－ φprt－p=et，這是一個線性加法形式的方程。然而現(xiàn)實經(jīng)濟系統(tǒng)中的許多經(jīng)濟指標通常既存在線性特征又存在非線性特征。以股票收益率序列為例，對其直接建立的線性AR過程并不能捕捉非線性部分的信息，此時模型的估計是有偏的，因此必然會帶來有效信息的損失。

經(jīng)濟系統(tǒng)中的非線性根源是各種因素綜合作用于經(jīng)濟指標。本文用經(jīng)典物理學的力學理論來闡述經(jīng)濟指標受到的諸多因素:一個方向上的力對應(yīng)一種作用因素，一個經(jīng)濟學指標的實現(xiàn)受到了多種大小和不同方向力的作用。這是對經(jīng)濟系統(tǒng)中經(jīng)濟指標非線性根源的力學解讀。經(jīng)典物理學中力是按照矢量加法的平行四邊形法則進行運算的，受力作用的物理指標同樣要按照矢量法則進行運算。物理上的矢量法則的數(shù)學特征形式表現(xiàn)為不是按照線性疊加原理進行的，即 f(aφ+bψ)≠af(φ)+bf(ψ)。受多種因素綜合作用的經(jīng)濟系統(tǒng)中，經(jīng)濟指標呈現(xiàn)不按正比例變化的特征，因此經(jīng)濟指標的加法就不是線性法則，同樣要按照矢量法則進行運算。

1.2 非線性的矢量加法法則

平行四邊形OA1A3A2中，矢量加法的平行四邊形法則為OA3=OA1+OA2，如圖1所示。

圖1 矢量的平行四邊形加法法則

可以看出兩個指標的矢量和OA3落在以O(shè)A1與為OA2為鄰邊的平行四邊形OA1A3A2的對角線上，它由大小和方向兩個要素唯一確定。注意到，OA3的大小并不等于OA1和OA2的大小直接相加的結(jié)果，即這是一種非線性的加法，OA3會根據(jù)OA1，OA2的大小和方向做出適應(yīng)性調(diào)整，這樣矢量的加法就可以適應(yīng)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的形態(tài)，進而捕捉到數(shù)據(jù)內(nèi)部的非線性特征。

1.3 經(jīng)濟學用矢量做非線性加法的重要意義

在矢量分析中經(jīng)濟指標OAi(i=1，2，3)有大小和方向兩個維度，這樣就能更好地體現(xiàn)經(jīng)濟指標大小的不確定性和方向的復(fù)雜性。二維視角下第t期經(jīng)濟指標OAt可以看作是第t－1期經(jīng)濟指標 OAt－1、第 t－2 期經(jīng)濟指標 OAt－2，…，第 t－p 期經(jīng)濟指標OAt－p的矢量組合，而不是傳統(tǒng)的線性加法組合(φ1rt－1+… + φprt－p)。從經(jīng)典物理學中力學矢量合成的角度來看，第t期經(jīng)濟指標在多種因素作用下的實現(xiàn)可以看作是 OAt－1，OAt－2，…，OAt－p對應(yīng)因素的實現(xiàn)。由于 OAt會根據(jù) OAt－1，OAt－2，…，OAt－p的大小和方向做出適應(yīng)性調(diào)整，這樣指標加法法則就可以捕捉到經(jīng)濟序列的非線性特征。

1.4 PAR過程及其圖解

基于將矢量加法法則應(yīng)用于非線性過程的合理性，本文把影響經(jīng)濟指標rt的各種因素對應(yīng)于物理學上不同大小、不同方向的力，把受多種作用力影響的經(jīng)濟指標在二維平面上進行矢量疊加，進而提出同時具有大小和方向的二維矢量形式AR 過程:rt－ φ1rt－1－ …－ φprt－p=et。矢量方程等號兩邊矢量大小一致，方向相同。如圖2所示，其中ORt是有大小和方向的經(jīng)濟指標序列，ON是服從二維正態(tài)分布的白噪聲。二維白噪聲豐富地再現(xiàn)了經(jīng)濟系統(tǒng)的噪聲信息沖擊，凸顯了經(jīng)濟指標波動的復(fù)雜性。

圖2 PAR過程圖解

PAR 過程 rt－φ1rt－1－…－φprt－p=et是一個矢量方程，它表明第t期經(jīng)濟指標rt可以看作是第t－1 期經(jīng)濟指標 rt－1，第 t－2 期經(jīng)濟指標 rt－2，…，第t－p期經(jīng)濟指標rt－p的矢量組合。rt的大小和方向根據(jù)此矢量組合進行適應(yīng)性調(diào)整。

經(jīng)典物理學上對矢量過程分析的方法是正交分解變換。正交分解變換的一般步驟:首先按照力學上化曲為直的等效替代思想，對多因素、多作用力的非線性運動做正交化分解;然后計算水平方向、豎直方向正交分量的線性運動;最后再根據(jù)矢量加法法則合成曲線運動。

2 PAR過程在二維平面的運算

2.1 PAR過程的坐標方程

為了平面直角坐標系中運算方便，把指標數(shù)據(jù)映射到［0，1］區(qū)間內(nèi)進行標準化。同時為了確定指標rt在二維平面中的方向，將指標rt按照大小沿ORt方向從最低點O出發(fā)畫在直徑d為1的圓中，對應(yīng)得出唯一的矢量ORt(正值數(shù)據(jù)刻畫在第1象限和負值數(shù)據(jù)刻畫在第3象限)。當然，也可以把經(jīng)濟指標畫在橢圓或者其他平面幾何中，選擇圓作為分析框架是因為圓具有更好的中心對稱性和軸對稱性，并且在圓中坐標的表示及三角函數(shù)運算比較簡單。

需要指出的是當且僅當在45°角的情況下，作用力的水平分量和豎直分量才會相等，此時作用力在兩個正交方向才能同時有效地發(fā)揮作用，這是力作用效果最大化的體現(xiàn)，也是作用效果的極大值點。于是序列中的最大數(shù)據(jù)rmax在圓中應(yīng)該映射為

由于經(jīng)濟指標序列的最小值不能標準化為0(此時沒有力的作用)，因此采用正比例形式的最大值標準化方法。此時，對應(yīng)的數(shù)據(jù)標準化公式為基于此下面推導將指標標準化到區(qū)間后的二維坐標形式。

在圓里面，取直徑OO'為1，記任意一條弦OR的弦切角(與水平線正方向的夾角)為α，如圖3所示。

圖3 經(jīng)濟指標rt的二維正交分解

根據(jù)弦切角定理，在圓上弦所對的圓周角等于弦切角，于是有∠OO'R=α。在直角△OO'R中，OO'=1，進而得出通過上述推導得出如下結(jié)論:在直徑為1的圓中任意圓周角α對應(yīng)弦的弦長為sinα。此時R點在水平方向、豎直方向的正投影分別為sinαcosα，sinαsinα，于是 R點的坐標可表示為(sinαcosα，sinαsinα)［11］。因－π/2＜α＜π/2，而負值數(shù)據(jù)刻畫在第3象限，其坐標仍然表示為(sinαcosα，－sinαsinα)。為了統(tǒng)一，本文采用，這樣坐標在兩個象限的表示是一致的。

反過來對于標準化后的時間序列{rt}，相當于已知弦 OR的弦長為rt，求其弦切角為αt=arcsinrt，再用αt表示R點坐標。以標準化后的股票收益率序列{rt}為例，平面直角坐標系中，ORt是第t個交易日的股票收益率，大小為rt，對應(yīng)的弦切角為αt=arcsinrt，坐標形式為(sinαtcosαt，

把標準化收益率序列{rt}中數(shù)據(jù)都在平面直角坐標系中進行正交分解，就得到了二維形式的矢量收益率序列(xt，yt)，標準化收益率和二維形式的收益率序列(xt，yt)的關(guān)系為

這樣PAR過程在二維平面就可以表示為:

2.2 PAR方程的系數(shù)計算辦法

本文采用離差平方和的最小二乘法方法做PAR回歸方程的系數(shù)估計。

實際測量值rt與回歸值之間存在著偏差，稱為殘差，記作 ei(i=1，2，3，…，n)。PAR 回歸方程的殘差由兩個分量序列的殘差構(gòu)成:

相應(yīng)的二維形式PAR回歸方程的殘差平方和為

最小二乘法就是尋找系數(shù)φ1，…，φp的最佳估計值，使得離差平方和最小。由于Q是關(guān)于的二次函數(shù)，微積分學上二次函數(shù)的極小值總是存在的，因此根據(jù)微積分中求函數(shù)極值的原理，使Q對求偏導數(shù)，偏導數(shù)值為0時離差平方和Q即可達到最小。于是有:

線性方程組的解是唯一存在的，把兩個分量序列數(shù)據(jù)帶入上面的線性方程組，在Excel中進行運算，即可求得PAR過程滯后p階的各項系數(shù)。

3 實證研究

3.1 數(shù)據(jù)的選取與處理

為了證明PAR過程在刻畫時間序列非線性特征的有效性和精確性，本研究選取比較成熟的美國股票市場指數(shù)SP500每交易日的股票收盤價格序列{pn}進行分析。價格序列的時間段為2010年10月1日至2015年2月17日，利用公式rn=lnpn－lnpn－1計算得出1 100個對數(shù)收益率數(shù)據(jù)。選用前1 000個樣本數(shù)據(jù)作為訓練集，后100個樣本數(shù)據(jù)作為驗證集。數(shù)據(jù)來源于Yahoo Finance，利用Eviews8.0和Excel2010對數(shù)據(jù)進行檢驗和分析。

基于圓中45°弦對應(yīng)序列中最大數(shù)據(jù)的特性，我們將收益率序列映射到區(qū)間內(nèi)。設(shè)時間序列{rn}中的最大值為rmax，則歸一化后的數(shù)據(jù)對r'正交分解得到矢量收益率的兩個分量序列{rx}和{ry}。

接下來本文對時間序列{rn}，{rx}和{ry}進行分析預(yù)測。

3.2 收益率序列平穩(wěn)性檢驗

為檢驗收益率序列{rn}以及矢量收益率序列兩個正交維度分量序列{rx}和{ry}的平穩(wěn)性，使用帶截距項和趨勢項的ADF單位根檢驗對3個序列進行平穩(wěn)性檢驗，檢驗結(jié)果如表1所示。

表1 3個序列的平穩(wěn)性檢驗結(jié)果

從表1可以看出，3個序列ADF檢驗的p值在5%的臨界水平下均顯著，因此收益率序列均通過ADF檢驗，此時應(yīng)當拒絕序列不平穩(wěn)的假設(shè)，認為3個序列都是平穩(wěn)的，符合AR過程分析的基本條件。

3.3 收益率傳統(tǒng)AR過程定階及系數(shù)輸出

根據(jù)Box和Jenkins所提出的AR模型建立方案。觀察序列{rn}的偏自相關(guān)函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)該序列在AR(3)和AR(5)顯著。模型相應(yīng)參數(shù)的輸出如表2所示。

表2 {rn}序列AR(3)和AR(5)系數(shù)的t檢驗結(jié)果

3.4 收益率PAR過程定階及系數(shù)計算

PAR過程要求{rx}和{ry}兩個分量序列建立相同的滯后項及系數(shù)。比較{rx}，{ry}的偏自相關(guān)函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)兩序列在AR(3)和AR(5)兩期滯后項顯著，其相應(yīng)的顯著性t檢驗結(jié)果如表3和表4所示。

表3 {rx}序列AR(3)和AR(5)系數(shù)的t檢驗結(jié)果

表4 {ry}序列AR(3)和AR(5)系數(shù)的t檢驗結(jié)果

因此確立PAR(3)和PAR(5)過程如下:

此模型的坐標方程可表示為

下面用最小二乘法求出系數(shù)φ3，φ5的值，此時PAR回歸方程的離差平方和為

解方程可得PAR過程的系數(shù)。下面給出一步靜態(tài)預(yù)測示例。用Excel計算前1 000個收益率樣本數(shù)據(jù)、求得的AR(3)和AR(5)系數(shù)及其一步收益率(2014年9月24日)預(yù)測，如表5所示。

表5 前1 000個樣本數(shù)據(jù)建立的PAR過程及其一步預(yù)測

3.5 預(yù)測與評價

用最小二乘法對SP500收益率序列逐步進行100步靜態(tài)預(yù)測進而還原價格序列。本文參照文獻［12］關(guān)于時間序列預(yù)測的5個常用指標對預(yù)測值進行評價。

平均預(yù)測誤差平方和的平方根(RMSE):

Theil不相等系數(shù)(U):

平均絕對誤差(MAE):

平均預(yù)測誤差(MFE):

平均絕對百分比誤差(MAPE):

表6 序列{rn}和序列{rn}預(yù)測的誤差結(jié)果

從預(yù)測結(jié)果可以看出:本文提出的收益率序列的PAR過程與收益率序列直接建立的AR過程相比，在對SP500收益率序列(2010年10月1日至2014年9月23日)進行建模預(yù)測時，5種指標評價誤差均較低，預(yù)測準確度相對較高，優(yōu)勢明顯。

3.6 結(jié)果分析

對收益率構(gòu)建的傳統(tǒng)AR過程和PAR過程都建立了AR(3)和AR(5)兩期滯后模型，其中PAR過程的預(yù)測精度更高。一方面PAR過程把不同大小、不同方向作用力和作用于經(jīng)濟系統(tǒng)中經(jīng)濟指標的各種因素對應(yīng)起來，用經(jīng)典物理學的力學理論展現(xiàn)了經(jīng)濟指標受到的各種復(fù)雜作用因素，挖掘到了經(jīng)濟系統(tǒng)中經(jīng)濟指標的非線性根源。另一方面PAR過程對經(jīng)濟指標的非線性矢量加法運算和二維平面上有方向的白噪聲信息沖擊豐富地再現(xiàn)了經(jīng)濟系統(tǒng)的復(fù)雜性，有力地克服了傳統(tǒng)AR過程不能刻畫經(jīng)濟系統(tǒng)中由多因素造成的非線性特征的缺陷，較好保留了經(jīng)濟系統(tǒng)的非線性信息，適應(yīng)了經(jīng)濟系統(tǒng)的復(fù)雜性發(fā)展規(guī)律。

4 結(jié)束語

現(xiàn)實經(jīng)濟系統(tǒng)中的時間序列由于受到許多復(fù)雜因素的影響和作用往往呈現(xiàn)出一些非線性的特征，所以對時間序列建立的傳統(tǒng)線性AR模型就不能捕捉經(jīng)濟指標的非線性信息。本研究用經(jīng)典物理學中矢量的加法法則為基礎(chǔ)解讀經(jīng)濟系統(tǒng)的非線性，創(chuàng)立時間序列的矢量分析法，并與AR過程相結(jié)合，開創(chuàng)二維形式的矢量AR過程。在平面直角坐標系中對矢量經(jīng)濟指標進行正交化分解得到兩個正交分量序列{rx}和{ry}，由此給出了PAR過程在平面直角坐標系中的坐標方程。通過觀察兩個正交分量序列共同顯著的偏自相關(guān)函數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)的二維形式PAR方程，進一步用離差平方和的最小二乘法推導出PAR坐標方程的系數(shù)。最后，對SP500收益率序列建模時PAR過程和傳統(tǒng)AR過程建立的是兩期相同滯后項的模型，對時間序列{rn}、{rx}和{ry}進行100步靜態(tài)預(yù)測進而還原得到價格序列，采用 RMSE，U，MAE，MFE，MAPE對預(yù)測效果進行評價。結(jié)果表明:PAR過程的預(yù)測精度顯著高于傳統(tǒng)的AR過程，進一步論證了PAR過程在詮釋經(jīng)濟系統(tǒng)復(fù)雜的非線性特征時的有效性。

［1］Granger C W J，Anderson A.An Introduction to Bilinear Time Series Model［M］.Gottinggen:Vanderhoech and Ruprecht，1978.

［2］Granger.Long-memory Tine Series Models and Fractional Differencing［J］.Journal of Time Series Analysis，1980(1):15－29.

［3］Haggan V，Ozaki T.Modeling nonlinear vibrations using an amplitude-dependent autoregressive time series model［J］.Biometrika，1981，68:189－196.

［4］Chen R，Tsay R S.On the ergodicity of TAR(l)processes［J］.The Annals of Applied Probability，1991(1):613－634.

［5］Peters E E.Chaos and order in the capital markets:a new view of cycles，prices，and market volatility［M］.［S.l.］:John Wiley ＆ Sons，1996.

［6］Alan S L，Evan W S，Robert M F.Use of Adaptive Networks to Define Highly Predictable Protein Secondary-Structure Classes［J］.Machine Learning，1995，21(1/2):103－124.

［7］Li C，Cheng H.Intelligent forecasting of S＆P 500 time series—A self-organizing fuzzy approach［M］.Intelligent Information and Database Systems.Berlin:Springer Berlin Heidelberg，2011:411－420.

［8］張旭東，俞建寧，郭蘭平，等.基于小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的深證300成分指數(shù)的預(yù)測［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2011(6):49－52.

［9］Lahmiri S.Forecasting direction of the S＆P500 movement using wavelet transform and support vector machines［J］.International Journal of Strategic Decision Sciences(IJSDS)，2013，4(1):79－89.

［10］Yan Y，Mao-Xin L，Xiao-Wu Z，et al.Principle fluctuation modes of the global stock market［J］.Chinese Physics Letters，2012，29(2):028901.

［11］張昴，郭琨.基于等時圓矢量差分的ARVMA模型及其實證研究［J］.系統(tǒng)科學與數(shù)學，2015(2):193－205.

［12］惠曉峰，柳鴻生，胡偉，等.基于時間序列GARCH模型的人民幣匯率預(yù)測［J］.金融研究，2003(5):99－105.