張家鶴，王 建，柴麗莎

（河海大學(xué)水利水電工程學(xué)院，江蘇省南京市 210098）

混凝土壩變形滯后特征及壩型對(duì)其的影響研究

張家鶴，王 建，柴麗莎

（河海大學(xué)水利水電工程學(xué)院，江蘇省南京市 210098）

混凝土壩溫度變形呈周期性變化，其相位滯后于氣溫，該現(xiàn)象通常被解釋為由于混凝土導(dǎo)熱系數(shù)小、熱傳導(dǎo)慢而引起，但該解釋并不全面。本文運(yùn)用熱學(xué)與力學(xué)基本理論，推導(dǎo)了計(jì)算懸臂梁及拱圈溫度變形滯后時(shí)間的解析公式，并據(jù)此研究壩型對(duì)滯后的影響，得到以下結(jié)論：壩內(nèi)平均溫度的滯后時(shí)間大于溫度梯度的滯后時(shí)間；壩型對(duì)滯后時(shí)間有較大影響，拱壩水平位移的滯后時(shí)間比重力壩要長(zhǎng)。

混凝土壩；滯后；溫度；解析解

0 引言

監(jiān)測(cè)資料分析是大壩健康診斷的重要內(nèi)容之一，國(guó)內(nèi)外對(duì)此也一直在開展研究[1-3]。在混凝土壩變形監(jiān)測(cè)資料分析中，一般將整個(gè)變形分解為水壓分量、溫度分量和時(shí)效分量[4-6]。其中，溫度分量反映了大壩在外界溫度變化作用下的變形，而且，溫度分量的相位與氣溫相比有滯后現(xiàn)象，如圖1（a）所示。

對(duì)于上述滯后現(xiàn)象，通常的解釋是由于壩體導(dǎo)熱系數(shù)小、熱傳導(dǎo)慢而引起。但筆者在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：導(dǎo)熱系數(shù)和壩厚接近的大壩，其水平位移的滯后時(shí)間也可能存在較大的差異，而且厚度較薄的拱壩的位移滯后時(shí)間常常比厚度大的重力壩更長(zhǎng)。例如，圖1（b）給出了水口重力壩及李家峽雙曲拱壩的滯后時(shí)間沿鉛直方向的分布，可以看出，盡管李家峽拱壩相對(duì)較薄，但其滯后時(shí)間卻明顯高于相對(duì)較厚的水口重力壩。由此可見，僅僅考慮壩體導(dǎo)熱系數(shù)小、熱傳導(dǎo)速度慢這一因素，難以充分解釋上述現(xiàn)象。

本文運(yùn)用熱學(xué)與力學(xué)基本理論，推導(dǎo)了計(jì)算懸臂梁及拱圈溫度變形滯后時(shí)間的解析公式，并從壩型角度入手，對(duì)滯后原因給出進(jìn)一步的分析闡述，實(shí)現(xiàn)概念上的澄清和深化，為大壩健康診斷提供理論支持。

1 混凝土壩準(zhǔn)穩(wěn)定平均溫度及線性溫差

由于混凝土壩主要是以上下游壩面為邊界進(jìn)行熱傳導(dǎo)的，與無(wú)限大平板沿厚度方向的一維熱傳導(dǎo)較為接近。為此，下面以無(wú)限大平板內(nèi)的準(zhǔn)穩(wěn)定溫度分布為依據(jù)進(jìn)行分析。如圖2所示，無(wú)限大平板厚度為L(zhǎng)，側(cè)面溫度作余弦變化，板內(nèi)溫度只沿厚度方向變化，熱傳導(dǎo)方程為：

圖1 位移滯后及其隨測(cè)點(diǎn)位置的分布

邊界條件為：

式中：A1、A2為邊界溫度變幅；w為溫度變化圓頻率；e為邊界x=0處的溫度滯后于x=L處溫度的時(shí)間。

溫度變形和溫度應(yīng)力分析時(shí)，習(xí)慣上將板內(nèi)溫度分解為平均溫度Tm以及沿厚度方向的線性溫差Td和非線性溫差Tn。對(duì)于變形不受約束的自由板，Tm和Td分別引起板的拉伸變形和轉(zhuǎn)動(dòng)；而非線性溫差則對(duì)變形沒有影響，僅引起溫度應(yīng)力。因此，對(duì)混凝土壩變形滯后分析來(lái)說(shuō)，僅需分析Tm和Td的影響，計(jì)算公式如下[7]：

圖2 自由板

式中：

根據(jù)式（2）、式（3）可知：qm和qd代表了平均溫度Tm和線性溫差Td滯后于邊界溫度的時(shí)間。為簡(jiǎn)單起見，這里首先假設(shè)式（2）和式（3）中的e為0，計(jì)算滯后時(shí)間qm和qd與板厚L及導(dǎo)溫系數(shù)a之間的關(guān)系，如圖3所示。計(jì)算時(shí)，導(dǎo)溫系數(shù)取值范圍在0.05～0.15m2/d之間，涵蓋了混凝土導(dǎo)溫系數(shù)的常見范圍；外界環(huán)境溫度變化周期取365d，即圓頻率w=2p/365。

由圖3可以看出：

（1）qm>qd，即平均溫度的滯后時(shí)間比線性溫差的滯后時(shí)間長(zhǎng)。該特征決定了拱壩水平位移的滯后時(shí)間比重力壩要長(zhǎng)，這一點(diǎn)將在后文詳細(xì)論述。

（2）平均溫度的滯后時(shí)間qm將隨板厚的增加而迅速趨于常數(shù)0.25p/w。這是由于板厚L與z0成正比關(guān)系，而雙曲正弦函數(shù)shz0隨z0的增加而迅速增加，因此，根據(jù)式（6）和式（9）可知，qm將趨于0.25p/w。該特性表明平均溫度的滯后時(shí)間qm不會(huì)隨板厚的增加而一直增加，當(dāng)板厚超過(guò)15m以后，qm將基本保持不變。

圖3 平均溫度和線性溫差的滯后時(shí)間與板厚及導(dǎo)溫系數(shù)的關(guān)系

（3）線性溫差的滯后時(shí)間qd隨板厚L的增加而增加。這是由于chz0隨z0的增加迅速增加，因此km趨于，而z0板厚與L成正比，因此km隨板厚L的增加而下降；同時(shí)根據(jù)結(jié)論（2）有qm趨于常數(shù)，因此，根據(jù)式（10），線性溫差的滯后時(shí)間qd隨板厚L的增加而增加。

2 滯后時(shí)間計(jì)算的解析公式

為簡(jiǎn)單起見，這里分別以重力壩和拱壩的順河向水平位移為例，推導(dǎo)求解變形滯后時(shí)間的解析公式，并對(duì)其特征進(jìn)行對(duì)比分析。

2.1 重力壩滯后時(shí)間的解析公式

重力壩在力學(xué)上可看做懸臂梁。因此，這里以高為H，底厚為B的三角形懸臂梁的變形為例，分析其單側(cè)受變溫作用下壩體水平位移特征，如圖4所示。

根據(jù)虛功原理，整體變形時(shí)在拱壩上引起的某一總位移可由每個(gè)微段變形在該處引起的位移dΔ積分得到，即：

式中：k、e和g分別為微元體的曲率、軸向應(yīng)變和剪切應(yīng)變；分別為虛設(shè)單位荷載引起的微元體的彎矩、軸力和剪力。

對(duì)高度h處的P點(diǎn)來(lái)說(shuō)，由變溫引起的水平位移計(jì)算公式為：

式中：a為線膨脹系數(shù)；n為使用求和代替積分所采用的分割數(shù)；zi、Li和Δzi分別為第i層分割對(duì)應(yīng)的高度、壩厚及微元高度。

根據(jù)式（12）可知，重力壩的壩頂水平位移與線性溫差之間為線性關(guān)系。

將式（3）代入式（12）后利用三角函數(shù)變換（積化和差），則式（12）可改寫為：

將式（13）進(jìn)行三角函數(shù)變換（和差化積）后得到：

由式（16）容易看出，q′d即為P點(diǎn)的滯后時(shí)間。

2.2 拱壩滯后時(shí)間的解析公式

圖4 重力壩變形計(jì)算示意

拱壩是空間超靜定結(jié)構(gòu)，其力學(xué)響應(yīng)可以分解為拱作用和梁作用，其中拱作用對(duì)變形的影響占主導(dǎo)地位。因此，這里取單層拱圈按純拱法進(jìn)行分析，如圖5所示，其中，中心角為2j，半徑為R。

圖5 拱圈受力分析

運(yùn)用式（11）并根據(jù)拱冠處轉(zhuǎn)角及切向位移為零這一對(duì)稱條件，可以求出由溫度荷載Tm、Td作用引起的拱冠處的軸力N和彎矩M，進(jìn)一步求出由Tm、Td引起的徑向位移，其值為：

式中：E、G分別為材料彈性模量和剪切模量；A、I分別為面積和截面慣性矩；k0為與截面形狀有關(guān)的無(wú)量綱參數(shù)，對(duì)于矩形截面，k0=1.2。

由式（19）～式（21）可以看出，拱圈徑向位移與平均溫度Tm成正比，與線性溫差Td無(wú)關(guān)。對(duì)于切向位移而言，存在相同的結(jié)論；同時(shí)，位移滯后時(shí)間與平均溫度Tm的滯后時(shí)間相同，即為式（2）中的qm。

3 壩型對(duì)滯后時(shí)間的影響

對(duì)比拱壩與重力壩可知，由于兩者在結(jié)構(gòu)響應(yīng)上的區(qū)別，即重力壩壩頂水平位移的滯后時(shí)間取決于線性溫差，而拱壩的滯后時(shí)間主要取決于平均溫度，導(dǎo)致了拱壩水平位移的滯后時(shí)間總體上比重力壩要長(zhǎng)，原因見前文第1部分的分析結(jié)論。

為直觀起見，按取式（2）和式（3）計(jì)算了壩高100m的重力壩和拱壩的滯后時(shí)間并繪制曲線，如圖6所示。計(jì)算時(shí)，重力壩壩底厚度取70m，拱壩壩底厚度取35m，壩頂厚度均取8m，混凝土導(dǎo)溫系數(shù)取0.1m2/d；同時(shí)，取式（2）和式（3）中的e為0，即暫時(shí)不考慮邊界溫度滯后的影響，此時(shí)式（2）和式（3）中的A1、A2取值對(duì)滯后時(shí)間的計(jì)算結(jié)果沒有影響。

由圖6可以看出，盡管拱壩的厚度要小于重力壩，但其滯后時(shí)間卻比重力壩要長(zhǎng)。當(dāng)然，以上分析中沒有考慮梁效應(yīng)對(duì)拱壩變形滯后時(shí)間的影響，實(shí)際上由于梁效應(yīng)的存在，拱圈變形滯后時(shí)間可能會(huì)略有縮短。但由于拱效應(yīng)占主導(dǎo)地位，因此 “拱壩水平位移的滯后時(shí)間總體比重力壩要長(zhǎng)”這一結(jié)論仍然成立。

圖6 重力壩與拱壩滯后時(shí)間對(duì)比（e=0）

4 結(jié)論

混凝土壩水平位移溫度分量的相位與氣溫相比有滯后現(xiàn)象，通常的解釋是由于壩體導(dǎo)熱系數(shù)小、熱傳導(dǎo)速度慢而引起，但該解釋不夠全面。本文基于熱學(xué)和力學(xué)基本理論，從熱傳導(dǎo)速度以及壩型等角度，對(duì)該現(xiàn)象進(jìn)行了較為深入的研究，從概念上進(jìn)行澄清和深化，為大壩健康診斷提供基礎(chǔ)理論支持。主要成果和結(jié)論如下：（1）推導(dǎo)了懸臂梁及拱圈滯后時(shí)間的解析公式，并與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。

（2）壩型對(duì)滯后時(shí)間有較大影響，拱壩水平位移的滯后時(shí)間總體比重力壩要長(zhǎng)，這是因?yàn)楣皦巫冃蔚臏髸r(shí)間主要取決于壩體平均溫度，而重力壩則主要取決于壩內(nèi)溫度梯度。

由于文章篇幅限制，水溫滯后e對(duì)位移滯后時(shí)間的影響以及位移滯后時(shí)間分別沿高程和壩厚兩方向上的分布情況將在另文進(jìn)行分析說(shuō)明。

最后應(yīng)說(shuō)明，本文主要是針對(duì)水平位移開展研究的。對(duì)于垂直位移，可采用類似的方法進(jìn)行研究。例如，對(duì)于重力壩，其垂直位移主要由于鉛直向膨脹或收縮引起，其滯后時(shí)間主要取決于壩體平均溫度的滯后時(shí)間，這一點(diǎn)與水平位移不同，具體不再贅述。

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張家鶴（1991—），男，碩士研究生，主要研究方向：大壩安全監(jiān)控與SPH無(wú)網(wǎng)格法數(shù)值模擬。E-mail: zhangjh_hhu@163.com

Research on the Hysteresis Characteristic of Concrete Dam Deformation and the Influence of Dam Types

ZHANG Jiahe，WANG Jian，CHAI Lisha
（Hohai University，Nanjing 210098，China）

The thermal deformation of a concrete dam changes periodically; and its phase lags behind the air temperature.This phenomenon is often interpreted as due to the low velocity of heat conduction in concrete，but this interpretation is not comprehensive. Based on the fundamental theories of thermal mechanics，firstly this paper derives the analytical solutions for the computation of hysteresis time of thermal deformation for cantilever beam and arch ring，and then applies them to study how the factors including dam type，reservoir water temperature and spatial position affect the hysteresis time.The following conclusions are obtained： the hysteresis time of the mean temperature is greater than that of the temperature gradient; the dam type has a great impact on the hysteresis time，and the hysteresis time of the horizontal displacement of an arch dam is longer than that of a gravity dam.

concrete dam; displacement; hysteresis;temperature; analytic solution

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)（B1020083）資助項(xiàng)目、國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目（51139001）和河海大學(xué)水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室專項(xiàng)基金（20095860120）。