姜　靜，董麗鑫

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159)

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二維離散系統(tǒng)的H∞濾波仿真研究

姜靜，董麗鑫

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159)

摘要：基于Roesser模型對二維離散系統(tǒng)的H∞濾波問題進行研究，討論了二維H∞濾波器的設(shè)計方法。針對任意能量范圍內(nèi)的噪聲輸入，二維H∞濾波器能保證噪聲衰減的水平。應(yīng)用LMI(線性矩陣不等式)方法和黎卡提不等式方法處理二維H∞濾波問題。設(shè)計基于觀測器的H∞濾波器，最后通過圖像處理的相關(guān)實例進行結(jié)果仿真驗證。仿真結(jié)果表明，濾波誤差系統(tǒng)的頻率響應(yīng)低于指定的H∞噪音衰減水平，濾波效果明顯。

關(guān)鍵詞：二維離散系統(tǒng)；Roesser模型；H∞濾波器；線性矩陣不等式；黎卡提不等式

工程上常用的濾波算法是Kalman濾波算法，但是Kalman濾波器計算較為復(fù)雜，并且它要求精確已知系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和噪聲統(tǒng)計，當這些條件不能很好滿足時，Kalman濾波的性能將遭到破壞。隨著魯棒控制理論的發(fā)展，提出了H∞優(yōu)化設(shè)計的魯棒濾波技術(shù)，其設(shè)計思想是使得噪聲能量和估計誤差能量的最大比值小于某一正數(shù)，從而確保在任意有限能量干擾下所得到的估計誤差能量最小[1]。二維有界實引理可以應(yīng)用LMI[2]和Riccati不等式解決二維H∞濾波問題[3]。本文主要完成基于觀測器的H∞濾波器設(shè)計。

1　二維離散系統(tǒng)模型

各種線性離散二維狀態(tài)空間模型中，Roesser模型是最常見的也是最有用的模型之一，它在圖像處理等領(lǐng)域有十分重要的應(yīng)用。

Roesser模型為

(1)

(2)

(3)

式中：xh∈Rn1、xv∈Rn2分別是橫向狀態(tài)，縱向狀態(tài)；ω∈Rq是屬于l2{(0，∞)，(0，∞)}的噪音信號；y∈Rl是測量輸出；z∈Rp是待估信號；A、B、C、D和L為適當維數(shù)的常值實數(shù)陣。

2　二維系統(tǒng)有界實引理

線性系統(tǒng)的一個基本屬性是有界實性，它與線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有限增益(即H∞范數(shù))有關(guān)。在狀態(tài)空間設(shè)置中的一維 H∞控制和濾波問題的解決方案很大程度上依賴于所謂的有界實引理，它涉及到系統(tǒng)的有界實性質(zhì)。

根據(jù)一維系統(tǒng)的H∞噪音衰減的概念，定義二維系統(tǒng)的H∞噪音衰減如下：

(4)

則稱二維系統(tǒng)式(1)～(3)有H∞噪音衰減γ。

當已知邊界條件為0時，即X(0)=0，式(4)可以寫成

(5)

考慮二維Roesser模型：

(6)

(7)

定理1給定一個正標量γ，如果滿足下面任意的等價條件，則稱未知邊界條件二維系統(tǒng)式(6)～(7)有H∞噪音衰減γ。

(1)如果存在塊對角矩陣P=diag{Ph,Pv}>0，其中Ph∈Rn1×n1，Pv∈Rn2×n2滿足Ph<γ2R1和Pv<γ2R2,則使得

ATPA-P+γ-2(ATPB+HTL)[I-γ-2(BTPB+LTL)]-1(BTPA+LTH)+HTH<0

(8)

并且I-γ-2(BTPB+LTL)>0。

(2)存在一個針對LMI塊對角矩陣，

Y=diag{Yh,Yv}>0,

(9)

3　基于觀測器的H∞濾波器設(shè)計

應(yīng)用定理1設(shè)計基于觀測器的H∞濾波器。

3.1　基于觀測器的H∞濾波器形式

根據(jù)二維狀態(tài)觀測器理論，基于觀測器的二維濾波器形式適用于系統(tǒng)(1)～(3)研究二維H∞濾波問題：

(10)

(11)

記狀態(tài)估計誤差為

(12)

從式(1)～(3)和式(10)～(12)，可以得到誤差系統(tǒng)：

(B-KD)ω(i,j)

(13)

(14)

這樣就找到了如同式(10)形式的濾波器，使其誤差系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，并且滿足式(4)。

3.2　黎卡提不等式方法

假定DDT>0，即所有的測量受噪聲干擾。

定理2為系統(tǒng)(1)～(3)提供一個黎卡提不等式方法實現(xiàn)H∞濾波。

對于ARI

(15)

在這種狀況下，可以得到一種合適的濾波增益：

K=(AVCT+LTDT)(CVCT+DDT)-1

(16)

式中，V=Q+γ-2QBΩ-1BTQ。

(A-KC)TQ(A-KC)-Q+γ-2(A-KC)TQB

(I-γ-2BTQB)-1BTQ(A-KC)+LTL<0

(17)

公式(17)重新給定如下條件

ATQA-Q+LTL+γ-2ATQBΩ-1BTQA

+K(DDT+CQCT+γ-2CQBΩ-1BTQCT)KT

-K(CQA+DL+γ-2CQBΩ-1BTQA)

-(ATQCT+LTDT+γ-2ATQBΩ-1BTQCT)KT<0

(18)

并且，令LA=γ-1BTQA，CA=COA+DL,LC=γ-1BTQCT,

(19)

根據(jù)定理2中的假設(shè)DDT>0，X1>0，可以得到

(20)

因此，在公式(15)和(18)中的Q和K滿足不等式(17)，可以實現(xiàn)H∞濾波。

3.3　LMI方法

文中應(yīng)用LMI方法來計算濾波器得到式(10)中的K。

定理3針對未知邊界條件時考慮二維系統(tǒng)(1)～(3)，給定噪音衰減γ>0，且常數(shù)加權(quán)矩陣R1>0,R2>0如果存在一個實對稱矩陣P=diag{Ph,Pv}>0，其中Ph∈Rn1×n1,Pv∈Rn2×n2滿足Ph<γ2R1和Pv<γ2R2且有秩為(n1+n2)×l的矩陣S，則存在一個形式為式(10)的濾波器來解決二維 H∞濾波問題[6-10]。

對于LMI滿足

(21)

這里，通過K=P-1S對式(10)給出一個合適的濾波器。

證明考慮濾波器的誤差系統(tǒng)(11)～(12)。由定理1(2)，如果存在一個實對稱矩陣P=diag{Ph,Pv}>0，滿足Ph<γ2R1，Pv<γ2R2則系統(tǒng)有H∞噪音衰減γ，所以

(22)

當S=PK時，式(21)成立，所以可得K=P-1S。

4　實例驗證

文中設(shè)計一個圖像處理中固定隨機場的二維 H∞濾波器。通常，平穩(wěn)隨機場可以用如下二維系統(tǒng)模型表示：

η(i+1,j+1)=a1η(i,j+1)+a2η(i+1,j)

-a1a2η(i,j)+v1(i,j)i=0,1,…,j=0,1,…

(23)

記xh(i,j)=η(i,j+1)-a2η(i,j)，并且xv(i,j)=η(i,j)。方程(23)可以轉(zhuǎn)換成形式為式(1)的二維Roesser模型：

令a1=0.2,a2=0.1，假定測量輸出和待估信號如同式(2)、(3)所示。

C=[01]，D=1，L=[01]

并且，系統(tǒng)是零邊界條件。

首先，應(yīng)用定理2黎卡提方法設(shè)計H∞濾波器，通過計算機仿真，噪音衰減的最優(yōu)標準是γ=1.16。

其中，濾波器的增益為

其次，考慮一個基于觀測器的二維濾波器(10)～(11)，并且用定理3來為隨機場系統(tǒng)(23)設(shè)計一個H∞濾波器。通過計算機仿真，得到噪音衰減的最優(yōu)標準是γ=1.16。

根據(jù)式(21)給出相一致的解決方法為

得到濾波器的增益為

擾動ω到估計誤差系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

G(z1,z2)=L[diag{z1In1,z2In2}-(A-KC)]-1(B-KD)

濾波前系統(tǒng)的頻率響應(yīng)圖如圖1所示。

圖1　濾波前系統(tǒng)的頻率響應(yīng)圖

在Matlab仿真環(huán)境下，|G(ejω1,ejω2)|，令0<ω1<2π，0<ω2<2π，濾波誤差的頻率響應(yīng)如圖2所示。

圖2　濾波誤差的頻率響應(yīng)圖

可以看出濾波誤差系統(tǒng)的頻率響應(yīng)低于指定的H∞噪音衰減水平γ=1.16，濾波效果明顯。

5　結(jié)論

討論了設(shè)計基于觀測器的二維H∞濾波器的中的黎卡提不等式和LMI方法，給出了用Roesser模型描述的二維系統(tǒng)的H∞濾波器的設(shè)計過程。針對一個圖像處理中的實例進行了計算機仿真，驗證了LMI方法的濾波效果。采用Roesser模型解決二維離散系統(tǒng)H∞濾波問題的LMI方法不同于黎卡提方法，LMI方法的優(yōu)點是它的計算功能。

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(責任編輯：馬金發(fā))

H∞Filtering Simulation Based on 2-D Discrete Systems

JIANG Jing，DONG Lixin

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

Abstract：H∞filtering problem of 2-D discrete state systems is investigated by Roesser model，and a linear 2-D filter is designed.2-D filter guarantees a prescribed level of H∞noise attenuation for any energy bounded noise input.The 2-D H∞filtering problem is solved by Riccati inequality and LMI approach.Observer-based 2-D H∞filter is designed,which verifies the related examples image through simulation results.The simulation result shows that the filtering error system frequency response is below the level of H∞noise attenuation and filtering effect is obvious.

Key words：2-D Discrete State system;Roesser model;H∞filter;LMI;riccati inequality

中圖分類號：TP29

文獻標志碼：A

文章編號：1003-1251(2015)01-0029-05

作者簡介：姜靜(1973—)，女，副教授，博士，研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)的建模、優(yōu)化、控制及仿真。

收稿日期：2014-04-11