蔣涵，周紅，高孟潭

中國地震局地球物理研究所，北京 100081

1 引言

人們很早就認識到地表的起伏能夠?qū)Φ卣饎赢a(chǎn)生很大的影響.通常山頂或者山脊能造成地震動的振幅增加，而山谷則會造成地震動的振幅減小.地震災(zāi)害調(diào)查也發(fā)現(xiàn)在山頂上的建筑往往會遭受到比周圍位于平地或山谷中的建筑更嚴重的損害.不僅如此，山體的頂部在地震發(fā)生后也更容易發(fā)生崩塌和滑坡（黃潤秋和李為樂，2008；王運生等，2009）.因此起伏的地形對地震動的影響的研究，在地震學(xué)和工程學(xué)上都具有重要意義.

通過震害調(diào)查和數(shù)值模擬的研究，學(xué)者發(fā)現(xiàn)地形效應(yīng)存在著一定規(guī)律.比如當入射的波長和起伏的幾何特征接近的時候，地形效應(yīng)會非常明顯.而在入射波的波長較大的情況下，地形效應(yīng)則可以被忽略（Ashford et al.，1997；Geli et al.，1988）.研究也發(fā)現(xiàn)，許多因素如入射波場，地下介質(zhì)，以及局部地形幾何形狀等都會影響地形效應(yīng).Bouchon（1973）分別研究了P，SH和SV波垂直入射到二維峽谷形態(tài)的地形效應(yīng).他指出在山谷兩側(cè)的頂部，入射的SV波所產(chǎn)生的放大倍數(shù)最高.Bard（1982）設(shè)定了一個正弦形態(tài)的山脊，并用SH作為入射波.他發(fā)現(xiàn)向前傳播的散射波振幅會隨入射角度的增加而增大.Geli等（1988）總結(jié)了前人對二維的三角與弧形地形的研究成果，他從中得到了隨山體高度與基底寬度的比值增加，對應(yīng)的山頂和基底的地震動幅值之比也會增加的結(jié)論，作者還就介質(zhì)起伏對地形效應(yīng)的影響進行了探討.周紅等（2010）針對地形拐角角度變化對放大的影響展開研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)當臺階地形的張角小于180°時，地震動放大會隨著角度的減小而增加.

以上的研究成果采用的是簡單的二維模型，其計算結(jié)果與三維模型的結(jié)果相比存在著不小的差異.在三維地形效應(yīng)中，地表的放大倍數(shù)更高，放大模式也更復(fù)雜.Liao等（1981）采用了三維截圓柱的模型，模擬得到的放大倍數(shù)是相應(yīng)二維模型的兩倍.Spudich等（1996）通過分析Northridge earthquake的強地震動記錄，觀測到垂直于山脊軸線方向的強烈的震動，其強度大大超過了二維模型的計算值，由此作者推測這是由三維的地形所導(dǎo)致的.該推測被隨后三維模型的數(shù)值模擬（Bouchon et al.，1996）所證實.

上述幾個三維數(shù)值模擬所研究的是孤立的山體，真實的地形則往往是多個山脊相連，因此局部的地形效應(yīng)除了受山脊本身的影響以外，還會受到周圍山脊的影響，比如不同走向的山脊的交匯處會有所謂的角落效應(yīng)（Wang et al.，2006）.對這種真實條件下的三維地形已開展不少數(shù)值研究，比如San Andreas Fault地區(qū)（Ma et al.，2007），汶川地區(qū)（Zhang et al.，2008），臺北地區(qū)（Lee et al.，2009a，2009b）的研究.學(xué)者通過將含真實起伏的地形和水平地形的模擬結(jié)果進行比較，從而得到該地區(qū)的地震動放大系數(shù)的分布特征.然而和簡單地形模型相比，真實地貌特征和放大系數(shù)的關(guān)系還缺乏深入討論.這當中有個重要原因就是三維地形特征的復(fù)雜性.

本文圍繞著真實地貌特征與放大系數(shù)的特征展開研究工作.為了更好地分析研究地形特征，我們引入地理中的地形分析法，將山脊線和坡度作為地形特征因子來描述山體的特征.這樣就將對三維地形特征和放大系數(shù)的相關(guān)性的研究，轉(zhuǎn)換為對山脊線與坡度和放大系數(shù)的相關(guān)性的研究.不僅讓分析的難度得以降低，也使得分析能夠定量化.基于這個思路，本文選取了地形起伏劇烈的蘆山地區(qū)作為研究對象，用譜元法模擬了由爆炸源產(chǎn)生的地形放大系數(shù).通過分析地形因子和地震動放大系數(shù)分布特征，得到了它們之間存在的相關(guān)性.

2 蘆山地區(qū)的三維地形效應(yīng)模擬

2.1 數(shù)值方法

數(shù)值模擬是研究地形效應(yīng)的有力工具，本文中所采用的數(shù)值方法為譜元法（SEM）.它最早應(yīng)用于流體力學(xué)的計算中（Patera，1984）.后來由Komatitsch和 Vilotte（1998），Komatitsch和 Tromp（1999）引入到地震波場模擬計算中.譜元法結(jié)合了有限元的靈活劃分網(wǎng)格特點和譜方法高精度的優(yōu)勢，因而在計算地震學(xué)中被廣泛使用.

對于在地下介質(zhì)中傳播的地震波，其位移場滿足的力學(xué)方程如下：

其中ρ是密度，u是位移向量，σ是應(yīng)力張量，f則表示外力.

譜元法所采用的是（1）式的積分形式.我們將（1）乘以一個權(quán)函數(shù)w，并在整個計算區(qū)域進行分步積分，從而得到如下的積分方程：其中Ω是物理計算區(qū)域，Γ是區(qū)域的邊界，t為邊界上的力.

譜元法把計算區(qū)域離散為一個個單元.每個單元 由 Gauss－Lobatto－Ledendre（GLL）點 構(gòu) 成 的Lagrange插值多項式表示.有限元中通常使用低階次的單元，而在譜元法中則使用高階次的單元.本文所使用的是6階次的單元.將這些單元組裝起來，并用U代表全局的位移，那么方程（2）可以重新寫作

其中M代表質(zhì)量矩陣，K代表剛度矩陣，F(xiàn)代表外力.

譜元法的積分點和單元節(jié)點重合，并且在數(shù)值積分的時候利用了GLL點的正交性，從而使得質(zhì)量矩陣M成為對角的矩陣.M矩陣的對角化是譜元法的一個優(yōu)勢，它能夠避免復(fù)雜的矩陣運算，提高了計算效率.下一節(jié)我們詳細介紹基于譜元法的蘆山地區(qū)的三維計算模型.

2.2 蘆山地區(qū)的計算模型

我們選擇的研究區(qū)域位于四川省境內(nèi)的蘆山地區(qū)（圖1a）.它處在四川盆地和青藏高原東邊緣之間.該地區(qū)附近地震活動頻繁.從圖1可以看出，蘆山地區(qū)的地形復(fù)雜且山體起伏劇烈.起伏的地形會對傳至地表的地震波產(chǎn)生很大的影響（周紅和陳曉非，2006；Zhang et al.，2012）.為了研究該地區(qū)由地形造成的地震動的改變，我們考慮了兩個計算模型.一個模型加入了蘆山的起伏地形，地表的數(shù)據(jù)來源為gtopo30.另一個是對照模型，其地表為海拔統(tǒng)一為1km的水平地表.除去地表形態(tài)的區(qū)別，兩個模型在其他參數(shù)上保持一致.計算區(qū)域為長方體，南北向為120km，東西向為110km，垂向上為50km.譜元法網(wǎng)格的單元長度為2.0km，最小的網(wǎng)格間隔為0.17km.

為了減少介質(zhì)和震源復(fù)雜效應(yīng)對地震動的影響，從而突出由地形起伏造成的地震動放大，我們選擇相對簡單的速度模型和震源模型.速度模型（見圖1b）綜合了前人正演（曾祥方等，2013）和反演（張冬麗等，2013）的數(shù)據(jù)，從地表往下P波速度依次為4.0km·s－1，6.1km·s－1和6.3km·s－1.速度的分界面為水平，目的是避免由介質(zhì)界面起伏引起的地震動放大對結(jié)果的干擾；這樣還能讓速度界面形態(tài)在起伏地表模型和水平地表模型中保持一致.我們在地表下設(shè)置了一個爆炸點源作為震源.爆炸源的輻射花樣不隨著角度發(fā)生變化.這樣的簡化也是為了突出地形效應(yīng).震源的位置和2013年4月20日的蘆山地震的位置相同.對震源的矩張量采用歸一化的處理.震源時間函數(shù)則選擇了Ricker子波來表示.

地形效應(yīng)會隨地震波的頻譜變化而變化（周紅和陳曉非，2006），本文選擇了三種主頻分別為0.8Hz，1.2Hz，1.5Hz的 Ricker子波來研究不同頻譜的地形效應(yīng).主頻1.5Hz的Ricker子波的有效頻段最寬.其最大頻率為4.0Hz，小于網(wǎng)格截止頻率.模擬的整個地震波的傳播模擬時長為50s.

3 兩個模型的地表峰值速度

通過并行計算，我們模擬了三種主頻下的地震波在蘆山地區(qū)的傳播過程，并得到了起伏地形和平層地形模型的地表速度時程.進一步，我們計算了各自的地表峰值速度（PGV）.圖2為主頻1.5Hz的兩個模型在地表PGV的分布特征：在左圖的平層模型中，其PGV的分布相對集中，呈圓形展布，越大的PGV值則越靠近震源；而在右圖中，PGV的分布隨著山體的起伏而呈現(xiàn)出不規(guī)則的復(fù)雜形狀，在山脊上比周圍地區(qū)的PGV幅值更大.為了更好地量化地形對于PGV的影響，我們將地表每個點的起伏地形的PGV和水平地形的PGV之比定義為PGV放大系數(shù)（PGV amplification factor）.圖3為1.5Hz主頻Ricker子波的PGV放大系數(shù)分布.從圖中我們發(fā)現(xiàn)，在山脊或者山頂附近，通常對應(yīng)了PGV放大系數(shù)大于1.這意味著山脊地形的加入，讓地表的PGV幅值增加.而在山谷附近，PGV放大系數(shù)小于1.這表明山谷地形使得PGV幅值減小.PGV系數(shù)大于1的部分意味著地震動的破壞性增強了，是我們本文的研究重點.

然而PGV放大系數(shù)的分布特征是非常復(fù)雜的.這是由復(fù)雜的地形起伏所導(dǎo)致的.這種情況下，山體本身形狀并不規(guī)則，并且許多山體并非孤立存在，它們組成復(fù)雜的山脊，從而導(dǎo)致了放大系數(shù)分布變得復(fù)雜.那么如何在復(fù)雜的地形上討論地形特征與放大系數(shù)分布的關(guān)系成為了一個難題.

4 局部地形和PGV放大系數(shù)分布的關(guān)系

圖1 （a）蘆山地區(qū)的地形圖，藍色的矩形框為計算區(qū)域的地表投影，紅色的五角星表示震中位置.（b）計算區(qū)域的三維圖.南北長為120km，東西寬為110km，深度為50km.速度介質(zhì)模型分為三層.分界面保持水平Fig.1 （a）The topography of the Lushan region.The computation area of the surface is indicated by the blue rectangle.The red star indicates the epicenter.（b）The 3Dcomputation area.The area is 110km in W－E direction，120km in N－S direction and 50km in depth.The wave－speed model has three horizontal layers

圖2 主頻1.5Hz的地表峰值速度PGV的分布情況：（a）平層模型；（b）帶有地形的模型.PGV值由速度矢量的模長計算得到.由于震源矩張量經(jīng)過了歸一化，因此PGV幅值是無量綱的Fig.2 The PGV distribution of 1.5Hz dominant frequency of models （a）with flat surface and （b）with topographic surface.The PGV is obtained based on the length of velocity vector.Because the seismic moment tensor is normalized，the PGV value is dimensionless

為了更好地分析三維地形特征，我們采取了量化地形特征的方式，用一系列地形特征因子來描述地形特征（湯國安等，2003）.這些因子構(gòu)成了地形變化起伏的骨架（李志林和朱慶，2001；Hengl and Reuter，2009）.只要使用相應(yīng)的算法，就可以將這些地形因子從數(shù)字高程模型（DEM）中提取出來.從而將對地形和放大系數(shù)關(guān)系討論化解為對這些的特征因子和放大系數(shù)的關(guān)系的討論.不僅降低了討論的難度，也能得到量化的分析結(jié)果.

4.1 山脊線和PGV放大系數(shù)的關(guān)系

山脊線組成了地形起伏變化的分界，它可以用來表示山脊的位置.而要從地形數(shù)據(jù)中獲得山脊線，一種常用的算法為水系分析法（O′Callaghan and Mark，1984；Martz and Jong，1988）.它利用了山脊的分水性、山谷的匯水性的特點（湯國安等，2003）.該算法通過模擬水在重力作用下沿著地表坡面流動的過程，得到每個地表點的匯流累積值（flow accumulate）.接著對匯流累積值設(shè)定一個閾值，把超過閾值的點認作在山谷線上的點（Martz and Jong，1988）.同樣地，我們只需先把地形的海拔值取負，從該“負地形”中便可獲得山脊線.我們將蘆山的地形數(shù)據(jù)輸入到山脊線計算程序CATCH中，設(shè)定相應(yīng)閾值，便得到了該地區(qū)的山脊線.

為了考察PGV放大系數(shù)在山脊線上的分布，我們從蘆山地區(qū)中選出兩個區(qū)域A和B（見圖3中的黑框），將山脊線和三個主頻的PGV放大系數(shù)的分布情況分別繪制在兩個區(qū)域中（圖4）.從圖中我們觀測發(fā)現(xiàn)當山脊頂部比較寬闊時，對應(yīng)的山脊線呈現(xiàn)較大的網(wǎng)狀；當山脊頂部比較狹窄時，山脊線則相應(yīng)地變窄甚至成為線狀.這表明利用算法得到的山脊線能夠幫助我們識別出山脊的位置和形態(tài).

圖3 主頻為1.5Hz的PGV放大系數(shù)分布圖.暖色調(diào)表示PGV放大系數(shù)超過1，冷色調(diào)表示PGV放大系數(shù)小于1.圖中的黑框表示被選擇的兩個研究區(qū)域位置.Fig.3 The PGV amplification factor of 1.5Hz peak frequency in the Lushan region.The warm color denotes that the factor is greater than 1.The cold color denotes that the factor is lower than 1.The black windows in the small picture on left side denote positions of the two selected areas.

從圖4中可以看出，三種主頻的PGV放大系數(shù)的幅值在山脊線周圍的分布都是不均勻的.放大系數(shù)較大的部分（對應(yīng)紅色區(qū)域），均位于以下幾種山脊線形態(tài)周圍：第一種為山脊線出現(xiàn)分支時，通常是由較粗的山脊線分化為幾條較細的山脊線，對應(yīng)的山脊表現(xiàn)為由較粗的山脊分支為幾個較窄細的山脊；第二種是山脊線發(fā)生匯聚的情況，這種情況下山脊線起始較細，延伸為較粗的、帽形的網(wǎng)狀，對應(yīng)的則多是孤立，或多面臨空的山體.第三種情況中的山脊線形態(tài)較第一、二種情況復(fù)雜，它的寬度發(fā)生了變化，伴隨有分支，或在延伸方向上發(fā)生了較大曲折.

上述分析說明PGV放大系數(shù)分布特征很復(fù)雜.放大系數(shù)較大的區(qū)域，往往是處于山脊線在延伸形態(tài)發(fā)生較大曲折或者寬度發(fā)生較大變化的地方.這些山脊形態(tài)也和地震引發(fā)次生災(zāi)害的分布有關(guān)系.黃潤秋和李為樂（2008）調(diào)查了汶川地震災(zāi)害情況，文中指出，“單薄的山脊以及孤立或者多面臨空的山體，對地震波最為敏感，具有顯著的放大效應(yīng)，這些部位的崩坍滑坡最為發(fā)育”.這里提到的“單薄的山脊”和我們第一種或第三種情況中的山脊線形態(tài)比較接近；而另一個“孤立或者多面臨空的山體”則類似我們的第二種情況.

4.2 坡度和PGV放大系數(shù)的關(guān)系

本小節(jié)我們將研究另一個地形因子坡度和放大系數(shù)的相關(guān)性.坡度反映的是山體高程的最大變化率（李志林和朱慶，2001；Hengl and Reuter，2009），可以間接地表征地形的起伏形態(tài)和結(jié)構(gòu).地表某點的坡度定義如下：其中fx為x方向上的高程變化率.fy是y方向上的高程變化率.

圖4 三種主頻的PGV放大系數(shù)在區(qū)域A和B中山脊線上的分布情況.位于山脊線上的點用灰色的圓點表示，相鄰的點用直線相連Fig.4 The ridge lines and PGV amplification distribution of three different peak frequency in the two selected areas A and B.Points on the ridge lines are connected by lines

在數(shù)字高程模型中，地表是由一個個離散的網(wǎng)格點所表示.坡度的計算是由某點和它周圍的8個點所組成的窗口中進行的.提取坡度的算法一般是數(shù)值微分法或者局部曲面擬合法（劉敏等，2007）.本文中使用的是三階差分算法（Zhou and Liu，2004），該算法也被ArcGIS采用.蘆山地區(qū)的坡度計算結(jié)果見圖5b.而圖5a為1.5Hz的PGV放大系數(shù)圖.通過觀測，我們發(fā)現(xiàn)兩者的分布有正相關(guān)性：在四個被選區(qū)域中，黑色區(qū)域的坡度值較大，對應(yīng)的PGV放大系數(shù)較大；灰色區(qū)域內(nèi)的坡度值較低，對應(yīng)的放大系數(shù)值也較低.

進一步，我們用統(tǒng)計方法研究三個主頻的PGV放大系數(shù)在坡度上的分布特征，我們使用了滑動平均坡度（moving average slope）.我們通過對滑動窗口內(nèi)全部點的原始坡度求平均，把均值賦給中心點，從而計算出平均坡度.滑動窗口的長度為3km.為了統(tǒng)計出滑動平均坡度和PGV放大系數(shù)超過1部分的相關(guān)性，我們先從蘆山地區(qū)的PGV放大系數(shù)中選出放大系數(shù)大于1的點；再將平均坡度劃分為以0.05rad為間隔的區(qū)間，并求得各區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)點的放大系數(shù)的均值.統(tǒng)計所用的數(shù)據(jù)分布和結(jié)果見圖6.圖6中的灰色圓點所構(gòu)成的曲線定量地展示了滑動平均坡度和放大系數(shù)均值的關(guān)系.考慮到數(shù)據(jù)離散程度大，為了展示它的分布，我們用方框表示由滑動平均坡度和PGV放大系數(shù)組成的區(qū)間.方框內(nèi)的顏色則表示了屬于該方框內(nèi)的數(shù)據(jù)點的個數(shù).當顏色越接近紅色，對應(yīng)的點的數(shù)目越多；越接近藍色表示數(shù)目越少.

圖5 （a）1.5Hz的PGV放大系數(shù)平面圖；（b）蘆山地區(qū)的坡度分布圖，坡度使用了弧度制rad表示Fig.5 （a）The distribution of PGV amplification factor generated by 1.5Hz dominant frequency；（b）The distribution of slope.The unit of the slope is radian

圖6 滑動平均坡度和不同主頻的PGV放大倍數(shù)的關(guān)系曲線.背景為統(tǒng)計所用的數(shù)據(jù)分布情況.對每個方框內(nèi)的點的數(shù)目取了以10為底的對數(shù)，顏色表示不同的數(shù)目Fig.6 The correlation between the moving average slope and the PGV amplification factor of different dominant frequencies.The background denotes the distribution of the data for calculation.Numbers in small box is in base－10 logarithm.Different colors indicate different numbers

從三個主頻的放大系數(shù)均值曲線中，我們發(fā)現(xiàn)它們都和平均坡度呈現(xiàn)出正相關(guān)性.其中1.5Hz的主頻的曲線表現(xiàn)出的正相關(guān)性最強，隨著平均坡度的增加，它的均值PGV放大系數(shù)從1.03單調(diào)遞增到了1.38.而0.8Hz主頻的曲線正相關(guān)性最弱.以上分析說明了不同的主頻所對應(yīng)的正相關(guān)性程度不同.

5 結(jié)論

本文用譜元法模擬了主頻為0.8Hz，1.2Hz和1.5Hz的爆炸源在蘆山地區(qū)所產(chǎn)生地震動.從起伏地表模型和水平地表的兩個模型的峰值速度PGV中，我們得到了三個主頻的峰值速度放大系數(shù).蘆山地區(qū)的地形復(fù)雜使得對它的幾何特征與放大系數(shù)關(guān)系的分析變得困難.我們使用了量化地形特征的方式作為解決這個問題的辦法.本文選擇了山脊線和坡度這兩個地形因子來描述蘆山地形，用算法將它們從地形中提取出來.將對三維地形和放大系數(shù)關(guān)系的研究，轉(zhuǎn)換到對山脊線和坡度與放大系數(shù)的關(guān)系研究上來.結(jié)果表明兩個參數(shù)和放大系數(shù)都有很強的相關(guān)性.

我們分析了PGV放大系數(shù)在山脊線的分布，發(fā)現(xiàn)其幅值存在分布不均的特點.放大系數(shù)較大的區(qū)域通常為如下三種：（1）山脊線發(fā)生了分支，由較粗的山脊線分化為幾條較細的山脊線.（2）山脊線發(fā)生了匯聚.（3）山脊線形態(tài)比（1）和（2）情況中的更復(fù)雜，它的寬度發(fā)生變化，并且伴隨有分支，或在延伸方向上發(fā)生曲折.我們又分析了放大系數(shù)和坡度的關(guān)系，觀測發(fā)現(xiàn)兩者存在正相關(guān).為了量化這種關(guān)系，我們計算了坡度的滑動平均，再將滑動平均坡度劃分為等距間隔，統(tǒng)計了各自區(qū)間上的PGV放大系數(shù)均值，從而得到了滑動平均坡度和PGV放大系數(shù)均值的相關(guān)性曲線.結(jié)果表明三個主頻的PGV放大系數(shù)和坡度呈正相關(guān)關(guān)系，不同的主頻所對應(yīng)的正相關(guān)性程度不同，其中1.5Hz的主頻對應(yīng)的正相關(guān)系最強.

以上的研究表明在大規(guī)模復(fù)雜的地形中，地形特征對于峰值速度放大系數(shù)的分布影響很大.考慮真實地形起伏對地震動的影響對地震危險性評估和防災(zāi)減災(zāi)非常重要.要深入地探究地形效應(yīng)的背后機制，還需要我們使用更好的模型，模擬更多的區(qū)域，并且還應(yīng)對其他的地形參數(shù)與放大系數(shù)的關(guān)系進行研究.

致謝感謝地球物理研究所二室的陳鯤研究員，九室的研究生賈曉輝對作者的研究給予的有益指導(dǎo).感謝兩位匿名審稿專家為完善本文所提出的寶貴意見.

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