李秀友 薛永華 董云龍 關(guān) 鍵

1 引言

認(rèn)知雷達(dá)是未來雷達(dá)發(fā)展的主要方向之一，認(rèn)知雷達(dá)由于引入了閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu)，可以根據(jù)獲取的場景信息自適應(yīng)調(diào)整發(fā)射波形，從而改善系統(tǒng)性能[1]。波形設(shè)計(jì)是認(rèn)知雷達(dá)關(guān)鍵技術(shù)之一，波形優(yōu)化設(shè)計(jì)是在一定的約束條件下最大化準(zhǔn)則函數(shù)，準(zhǔn)則函數(shù)的選取取決于雷達(dá)系統(tǒng)的任務(wù)和工作模式[26]-。

大量文獻(xiàn)研究了認(rèn)知雷達(dá)的波形優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[7]首先提出了利用目標(biāo)和回波的最大互信息設(shè)計(jì)發(fā)射波形，從信息論角度解決波形優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[8]研究了基于距離擴(kuò)展目標(biāo)最大輸出信雜噪比的波形設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)得到最優(yōu)發(fā)射波形和接收濾波器的功率譜。文獻(xiàn)[9]分析了廣義平穩(wěn)高斯雜波中點(diǎn)目標(biāo)的檢測問題，將回波信號(hào)統(tǒng)一變換到頻域，再根據(jù)對(duì)數(shù)似然比檢測器的最大檢測概率準(zhǔn)則，用“注水法”求得最優(yōu)發(fā)射波形能量譜。

以上最優(yōu)波形設(shè)計(jì)算法只能得出優(yōu)化波形的能量譜，要應(yīng)用于實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)還需要合成時(shí)域波形，為了提高發(fā)射機(jī)功率利用率，常需要合成滿足能量譜約束的恒模波形。目前基于波形能量譜合成時(shí)域信號(hào)常用的有3種方法，分別是Durbin 法、駐留相位法[10]和迭代合成法[11]。Durbin法相對(duì)簡單，但不能滿足恒模要求，駐留相位法合成波形具有恒模特性，但是無法很好地?cái)M合復(fù)雜形狀能量譜，迭代算法收斂速度慢，能量譜邊沿?cái)M合誤差大。

滿足給定能量譜的恒模波形設(shè)計(jì)問題需要同時(shí)在頻域滿足給定頻譜，在時(shí)域滿足恒模要求[11]。這類約束在兩個(gè)不同集合中的優(yōu)化問題常采用交替投影法，這種處理方法廣泛應(yīng)用于約束條件下的波束形成和時(shí)域波形合成中[1214]-。此類問題求解通常采用迭代方法在兩個(gè)不同集合之間交替投影，逐步逼近滿足約束條件的解，該解存在于兩個(gè)集合的交集中[15]。以上迭代方法在不同集合中以各自約束條件為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理，而不考慮相互之間的影響，這種處理方法往往會(huì)導(dǎo)致整體收斂速度變慢，收斂到性能較差的局部最優(yōu)值[16]。文獻(xiàn)[17]在設(shè)計(jì)滿足峰均功率比（Peak-to-Average Power Radio,PAPR）約束的正交頻分復(fù)用（OFDM）信號(hào)時(shí)，將信號(hào)頻域失真和時(shí)域PAPR約束聯(lián)合優(yōu)化，使得每步優(yōu)化過程能夠同時(shí)兼顧兩個(gè)約束條件，提高了收斂速度，降低了誤碼率。

受上述思路的啟發(fā)，本文在文獻(xiàn)[11]迭代波形合成算法的基礎(chǔ)上，將頻譜逼近過程構(gòu)造成約束條件下的優(yōu)化問題，其中時(shí)域恒模特性作為約束條件，波形能量譜與期望能量譜的誤差作為目標(biāo)函數(shù)。在優(yōu)化處理過程中將恒模約束放松為PAPR約束，并對(duì)頻譜進(jìn)行加權(quán)處理，進(jìn)一步降低阻帶內(nèi)功率水平，然后通過一系列變換操作將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成二階錐規(guī)劃（Second-Order Cone Programming, SOCP）問題求解，最后通過仿真結(jié)果驗(yàn)證算法的有效性。

2 經(jīng)典時(shí)域波形合成算法

給定期望的N點(diǎn)幅度譜密度函數(shù)s（k）, 0k= ,1,,1N-…，需要設(shè)計(jì)M點(diǎn)單位幅值恒模復(fù)信號(hào)：如果M＜N，則x（n）補(bǔ)零到N點(diǎn)，使得x（n）的N點(diǎn)DFT變換y（k）接近期望的幅度譜s（k）。

為使得設(shè)計(jì)的恒模信號(hào)幅度譜接近期望值，設(shè)y（k）的相位為φ（k），則最小二乘誤差可寫為

定義 s =

s（ 0）ejφ（0）,s （ 1）ejφ（1）,… ,s （ N - 1）e，并定義 x =[x （ 0）,x （ 1）,… ,x （ N - 1）]T，則式（2）經(jīng)過一系列變換可以得到x的最小二乘估計(jì)值，并將時(shí)域信號(hào)估計(jì)值x做幅度歸一化處理，即得到恒模的時(shí)域信號(hào)。

其中arg（）?表示取相位，文獻(xiàn)[11]將上述兩步估計(jì)構(gòu)成迭代算法，將第i次迭代的幅度譜相位估計(jì)值（）（）ik φ 直接賦給期望幅度譜，即

圖 1 基于頻譜最小二乘誤差的恒模波形合成法

上述算法在頻譜逼近處理過程中，直接將期望幅度譜s（k）作為下一次迭代的頻譜幅值，沒有考慮到做IFFT之后時(shí)域信號(hào)的峰值大小。時(shí)域不做約束的頻譜逼近處理將會(huì)導(dǎo)致時(shí)域信號(hào)出現(xiàn)較大的峰值，需要多次迭代才能得到滿足恒模和幅度譜逼近的波形，降低了收斂速度。該算法將設(shè)計(jì)波形幅度譜和期望幅度譜的整體誤差作為代價(jià)函數(shù)，沒有重點(diǎn)考慮阻帶內(nèi)頻譜誤差對(duì)性能的影響。而波形阻帶部分通常是強(qiáng)雜波或強(qiáng)干擾所在頻段，需要設(shè)計(jì)較深的凹口來提高信雜比或信干比。

3 加權(quán)迭代優(yōu)化波形合成算法

本文提出的算法是在文獻(xiàn)[11]迭代算法（下文簡稱Kay算法）的基礎(chǔ)上，針對(duì)頻譜逼近過程存在的不足進(jìn)行改進(jìn)。首先，構(gòu)造波形時(shí)域PAPR約束條件下的優(yōu)化表示式，同時(shí)兼顧幅度譜逼近程度和時(shí)域起伏大??；然后對(duì)頻譜矢量加權(quán)處理，抑制阻帶內(nèi)發(fā)射功率水平；最后將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成二階錐規(guī)劃（SOCP）問題，利用內(nèi)點(diǎn)法求解。

3.1 建立滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)

此處定義時(shí)域信號(hào)PAPR：

其中 ?2表示2-范數(shù)，?∞表示無窮范數(shù)。定義1維加權(quán)矢量w=[w（0）,w（1）,…,w（N-1）]T，引入頻譜加權(quán)誤差矢量值（Weighted Error Vector Magnitude,WEVM）用于表征兩個(gè)頻譜矢量加權(quán)誤差大小，表達(dá)式為其中，運(yùn)算符號(hào)‘·’表示對(duì)應(yīng)元素乘積。

上述迭代波形合成算法中直接將期望幅度譜s（k）作為下一次迭代輸入信號(hào)頻譜的幅值，這會(huì)導(dǎo)致合成信號(hào)的幅值出現(xiàn)大的波動(dòng)，使得迭代收斂速度變慢，且每步迭代過程沒有最優(yōu)準(zhǔn)則保證。本文提出了在PAPR約束下的加權(quán)誤差矢量值（WEVM）最小化算法：

由于約束函數(shù)式（7d）為非凸的，優(yōu)化模型式（7）也是非凸的，這使得其數(shù)值求解比較困難。

3.2 基于SOCP的波形優(yōu)化設(shè)計(jì)

為將優(yōu)化問題式（7）修正成凸的表達(dá)式，用xi-122近似替換xi22，則非凸約束式（7d）可以變換成[17]

由于在第i次迭代過程中xi-122是已知的，PAPRMax為預(yù)先設(shè)置的參數(shù)，則每次迭代過程中約束峰值Ti可以計(jì)算求得，因而非凸約束轉(zhuǎn)化成凸約束式（8）。其中，當(dāng)PAPRMax值足夠大時(shí)，約束條件式（7d）失效，優(yōu)化算法退化為文獻(xiàn)[11]最小二乘估計(jì)算法。優(yōu)化模型式（7）可以簡化為

其中，矩陣A由N維IFFT旋轉(zhuǎn)因子矩陣的前M行構(gòu)成，式（9）可以進(jìn)一步表示成二階錐規(guī)劃（SOCP）[18,19]

3.3 加權(quán)優(yōu)化迭代波形合成算法

加權(quán)優(yōu)化迭代波形合成算法流程如圖2所示，主要包括PAPR約束下的最優(yōu)幅度譜加權(quán)逼近處理和信號(hào)幅度恒模處理過程。定義相鄰兩次迭代過程時(shí)域波形變化量。

圖 2 加權(quán)優(yōu)化迭代波形合成流程圖

其中x（i）（n） 表示第i次迭代時(shí)域估計(jì)值。具體迭代步驟如下，其中步驟1用于初始化，步驟2至步驟7循環(huán)迭代直至終止。

步驟 1 初始化過程，設(shè)定峰均功率比PAPRMax和加權(quán)系數(shù)矢量w；

步驟 2 如果i=1，則令 x（0）（n ） = exp（jθn（0）） ，其中 k =0,1,… ,M -1,θn（0）為隨機(jī)產(chǎn)生的相位，服從[- π, π]上 的 均 勻 分 布 ， 當(dāng)i≠1時(shí) ， 令x~（i）（n）=x~（i-1）（n），利用FFT將 x~i變換到N點(diǎn)離散頻域形式y(tǒng)i=[y（i）（0）,y（i）（1）,… ,y（i）（N-1）]；

步驟 3 執(zhí)行約束條件下的加權(quán)優(yōu)化算法式（10），得到最優(yōu)逼近濾波器hi，并令 y~i=yi. hi；

步驟 4 根據(jù) y~i值自適應(yīng)調(diào)整加權(quán)系數(shù) wi-1，控制阻帶整體功率水平或峰值頻點(diǎn)功率；

步驟 5 利用IFFT將 y~i變換到時(shí)域信號(hào)xi；

步驟 6 利用式（3）對(duì)信號(hào)xi幅值做歸一化處理，得到恒模的時(shí)域信號(hào) x~i；

步驟 7 當(dāng) Δ ＜ 0 .01 × M 時(shí)，循環(huán)終止，否則返回步驟2。

3.4 算法復(fù)雜度分析

SOCP模型可以用標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)法求解，優(yōu)化模型最差情況下的運(yùn)算量為O（N3）[18]，每次迭代過程中，包含一次FFT和IFFT運(yùn)算，運(yùn)算量為O（Nlog2（N）），阻帶內(nèi)峰值搜索及信號(hào)歸一化處理運(yùn)算量為O（N）。當(dāng)最大迭代次數(shù)為P時(shí)，所提算法整個(gè)運(yùn)算量為O（PN3+PNlog2（N）+PN）。

4 仿真結(jié)果及性能分析

下文通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證本文算法的有效性和優(yōu)越性。為便于比較分析，本文仿真設(shè)計(jì)與文獻(xiàn)[11]相同能量譜密度的最優(yōu)雷達(dá)發(fā)射波形，表示式為

其中， Pn（f）為噪聲功率譜密度， Ph（f） 為雜波功率譜密度，λ為由能量約束決定的常數(shù)。仿真中最優(yōu)能量譜密度設(shè)為100個(gè)頻點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的能量譜如圖3所示。從圖中可以看出，在部分頻點(diǎn)上信號(hào)能量譜較大，以下簡稱為通帶頻段，在其余頻點(diǎn)上能量為零，為強(qiáng)干擾區(qū)或雜波區(qū)，簡稱阻帶頻段。希望設(shè)計(jì)的波形在恒模約束下與最優(yōu)波形的能量譜最接近，其中過渡頻帶的擬合程度最能反應(yīng)波形的逼近性能，阻帶凹口深度決定了所設(shè)計(jì)波形對(duì)強(qiáng)雜波及干擾的抑制能力。

因此，以下仿真分析將從算法收斂速度，阻帶內(nèi)整體能量大小，峰值功率水平以及過渡頻段的頻譜擬合程度等方面綜合分析算法的性能。

4.1 固定權(quán)系數(shù)抑制阻帶能量

為了分析權(quán)系數(shù)w=[w（0）,w（1）,…,w（N-1）]T對(duì)阻帶凹口的影響，令阻帶內(nèi)對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)上的權(quán)重為10 dB，通帶內(nèi)對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)權(quán)系數(shù)為0 dB，權(quán)系數(shù)表示為

其中固定權(quán)系數(shù)在每次迭代過程中保持不變，權(quán)系數(shù)的設(shè)定在4.3節(jié)中說明。圖4（a）給出了本文固定權(quán)系數(shù)優(yōu)化算法與Kay算法的能量譜，當(dāng)?shù)螖?shù)P=200時(shí)，在阻帶內(nèi)大部分頻點(diǎn)上，本文優(yōu)化算法功率低于Kay算法，圖4（b）給出了50次仿真能量譜的平均值，阻帶內(nèi)各頻點(diǎn)上本文優(yōu)化算法低于Kay算法。圖5給出了兩種算法阻帶內(nèi)積分能量隨迭代次數(shù)變化曲線，本文算法比Kay算法阻帶內(nèi)能量下降快且低5.3 dB；分析10次和50次仿真結(jié)果平均值可以看出不同初始相位對(duì)收斂結(jié)果略微有影響，但是不會(huì)改變算法的整體收斂性；由于迭代過程中對(duì)時(shí)域波形的恒模處理，收斂曲線局部無法保證單調(diào)下降，大量仿真實(shí)驗(yàn)表明，局部非單調(diào)不影響整體收斂趨勢。圖6給出了不同波形長度兩種算法累積能量譜密度，本文算法跟期望累積能量譜密度曲線比較接近，在邊緣區(qū)域也比Kay算法更接近理想曲線。其中累積能量譜密度定義為

根據(jù)式（11）的收斂條件，當(dāng)波形長度M=20, 50和100時(shí)，收斂所需的迭代次數(shù)分別為7次，8次和10次。可以看出本文算法和Kay算法的累積能量譜密度均隨著波形長度M的增加而逼近理想值，且在不同M值時(shí)，本文算法優(yōu)于Kay算法。

4.2 自適應(yīng)調(diào)整權(quán)系數(shù)抑制阻帶內(nèi)峰值頻點(diǎn)

固定權(quán)系數(shù)無法控制阻帶內(nèi)頻點(diǎn)的峰值能量，為了降低整個(gè)阻帶頻點(diǎn)上的能量，在每次迭代過程中，搜索阻帶內(nèi)頻譜峰值點(diǎn)，將該對(duì)應(yīng)點(diǎn)的權(quán)系數(shù)增大到20 dB，其余點(diǎn)權(quán)系數(shù)不變，如式（15）所示。通過優(yōu)化設(shè)計(jì)降低該頻點(diǎn)的能量，經(jīng)過反復(fù)迭代，阻帶內(nèi)所有頻率點(diǎn)的能量得到有效控制。圖7給出了兩種算法在相同初始相位時(shí)，經(jīng)過200次迭代所得恒模波形的能量譜，本文優(yōu)化迭代算法阻帶內(nèi)最大峰值功率降為0.4 dB，比通帶低21.6 dB，比Kay算法阻帶內(nèi)峰值功率6.8 dB低6.4 dB。圖8給出了阻帶內(nèi)能量隨著迭代次數(shù)收斂情況，該算法能有效收斂，且本文算法比Kay算法阻帶能量低5.8 dB，同時(shí)給出了10次和50次仿真結(jié)果平均值，可以看出不同初始相位對(duì)收斂過程有一定影響，但是不會(huì)改變算法的收斂趨勢。迭代循環(huán)終止準(zhǔn)則按照式（11），則不同信號(hào)長度M的收斂次數(shù)跟固定權(quán)系數(shù)算法相近。

4.3 權(quán)系數(shù)設(shè)定及運(yùn)算量分析

圖 3 最優(yōu)發(fā)射波形能量譜密度

圖 4 固定權(quán)系數(shù)波形性能分析（PAPRMax=0.5 dB）

圖 5 固定權(quán)系數(shù)算法阻帶內(nèi)積分能量隨迭代下降曲線（仿真次數(shù)Q=1,10和50的平均值, M=100, PAPRMax=0.5 dB）

圖 6 波形累積能量譜密度曲線 （波形長度M=20,50,100）

圖 7 自適應(yīng)權(quán)系數(shù)設(shè)計(jì)的波形能量譜（PAPRMax=0.5 dB, M=100）

下面主要討論權(quán)系數(shù)w對(duì)阻帶內(nèi)積分能量和峰值的影響，圖9給出了50次仿真平均值。從圖9（a）可以看出，當(dāng)固定權(quán)系數(shù)w在0～10 dB變化時(shí)，阻帶內(nèi)積分能量呈下降趨勢，當(dāng)超過10 dB時(shí)變化不顯著，因此仿真中固定權(quán)系數(shù)選為10 dB。圖9（b）給出了當(dāng)阻帶權(quán)系數(shù)定為10 dB條件下，峰值功率水平與峰值位置自適應(yīng)權(quán)系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)自適應(yīng)權(quán)系數(shù)超過20 dB時(shí)，峰值功率水平震蕩起伏變化，因此仿真過程中自適應(yīng)權(quán)系數(shù)選為20 dB是合理值。

表1給出了不同算法的運(yùn)算量，由于引入SOCP模型，用標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)法求解優(yōu)化模型最差情況下的運(yùn)算量為O（N3），本文算法運(yùn)算量有所增加，所以該方法更適用于對(duì)波形頻譜逼近程度要求較高的短波形設(shè)計(jì)或?qū)?shí)時(shí)性要求不高的長波形設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于迭代凸優(yōu)化的恒模波形合成方法，該方法將波形合成過程轉(zhuǎn)化成PAPR約束下的優(yōu)化問題，減少了迭代收斂次數(shù)，并利用頻譜加權(quán)處理降低阻帶功率水平，提高干擾及強(qiáng)雜波抑制能力，最后通過一系列變換操作將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成二階錐規(guī)劃（SOCP）問題求解。所提方法在給定波形能量譜的條件下能夠有效逼近理想的頻譜形狀，設(shè)計(jì)的波形具有恒模特性，并且適用于頻譜形狀較復(fù)雜的波形，最后通過計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性。

表 1 波形合成方法運(yùn)算量比較

圖 8 自適應(yīng)權(quán)系數(shù)算法阻帶內(nèi)積分能量隨迭代下降曲線（仿真次數(shù)Q=1, 10和50的平均值，M=100）

圖 9 阻帶內(nèi)能量和峰值與 權(quán)系數(shù)關(guān)系

[1] Haykin S. Cognitive radar: a way of the future[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2006, 23（1）: 30-40.

[2] Sen S. PAPR-constrained pareto-optimal waveform design for OFDM-STAP radar[J]. IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing, 2014, 52（6）: 3658-3669.

[3] Zhang X and Cui C. Signal detection for cognitive radar[J].Electronics Letters, 2013, 49（8）: 559-560.

[4] Aubry A, De Maio A, Jiang Bo, et al.. Ambiguity function shaping for cognitive radar via complex quartic optimization[J]. IEEE Transactions on Signal Processing,2013, 61（22）: 5603-5619.

[5] Aubry A, De Maio A, Farina A, et al.. Knowledge-aided（potentially cognitive） transmit signal and receive filter design in signal-dependent clutter[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2013, 49（1）: 93-117.

[6] 公緒華, 孟華東, 魏軼旻, 等. 雜波環(huán)境下面向擴(kuò)展目標(biāo)檢測的自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)方法[J]. 清華大學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 51（11）:1652-1656.Gong Xu-hua, Meng Hua-dong, Wei Yi-min, et al.. Adaptive waveform design for range-spread target detection in clutter[J]. Journal of Tsinghua University （Science &Technology）, 2011, 51（11）: 1652-1656.

[7] Bell M R. Information theory and radar waveform design[J].IEEE Transactions on Information Theory, 1993, 39（5）:1578-1597.

[8] Romero R A, Bae Junh-yeong, and Goodman N A. Theory and application of SNR and mutual information matched illumination waveforms[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2011, 47（2）: 912-927.

[9] Kay S. Optimal signal design for detection of Gaussian point targets in stationary Gaussian clutter/ reverberation[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing,2007, 1（1）: 31-41.

[10] Richards M A. Fundamentals of Radar Signal Processing[M].New York: The McGraw-Hill Companies, 2005: 230-231.

[11] Leland J, Steven K, and Naresh V. Iterative method for nonlinear FM synthesis of radar signals[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2010,46（2）: 910-917.

[12] 趙宜楠, 李風(fēng)從, 王軍, 等. 基于秩虧傅里葉變換的交替投影編碼波形設(shè)計(jì)[J]. 電子學(xué)報(bào), 2014, 42（6）: 1216-1219.Zhao Yi-nan, Li Feng-cong, Wang Jun, et al.. Coded waveform design via alternating projection based on rank deficient Fourier transform[J]. Acta Electronica Sinica, 2014,42（6）: 1216-1219.

[13] 李風(fēng)從, 趙宜楠, 喬曉林. 抑制特定區(qū)間距離旁瓣的恒模波形設(shè)計(jì)方法[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2013, 35（3）: 532-536.Li Feng-cong, Zhao Yi-nan, and Qiao Xiao-lin. Constant modular waveform design method for suppressing range sidelobes in specified intervals[J]. Journal of Electronics &Information Technology, 2013, 35（3）: 532-536.

[14] 趙宜楠, 張濤, 李風(fēng)從, 等. 基于交替投影的MIMO雷達(dá)最優(yōu)波形設(shè)計(jì)[J]. 電子與信息學(xué)報(bào), 2014, 36（6）: 1368-1373.Zhao Yi-nan, Zhang Tao, Li Feng-cong, et al.. Optimal waveform design for MIMO radar via alternating projection[J]. Journal of Electronics & Information Technology, 2014, 36（6）: 1368-1373.

[15] Vescovo R. Reconfigurability and beam-scanning with phase-only control for antenna arrays[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 2008, 56（6）: 1555-1565.

[16] Armstrong J. Peak-to-average power reduction for OFDM by repeated clipping and frequency domain filtering[J].Electronics Letters, 2002, 38（5）: 246-247.

[17] Wang Y C and Luo Z Q. Optimized iterative clipping and filtering for PAPR reduction of OFDM signals[J]. IEEE Transactions on Communications, 2011, 59（1）: 33-37.

[18] Boyd S and Vandenberghe L. Convex Optimization[M].Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press,2004: 340-341.

[19] Lobo M, Vandenberghe L, Boyd S, et al.. Applications of second-order cone programming[J]. Linear Algebra and Its Applications, 1998, 11（284）: 193-228.