范水平，陳宗煊

(華南師范大學數(shù)學科學學院，廣州510631)

1 引言和主要結果

本文假設讀者熟悉亞純函數(shù)的值分布理論和標準記號［1－2］，σ(f)和σ2(f)分別表示亞純函數(shù)的增長級和超級. 為了更精確地估計微分方程解的增長性，首先回顧以下定義.

定義1［3］假設f(z)是復平面上的亞純函數(shù)，

則f(z)的超級σ2(f)定義為

定義2［4］給定一個集合E，它的線測度和對數(shù)測度分別定義為

本文考慮微分方程

其中Hj(z)為整函數(shù). 當k=2 時，方程為

其中H1(z)或H0(z)是超越整函數(shù). 如果f1和f2是方程(2)的2個線性無關的解，則f1和f2中至少有1個具有無窮級［5］. 另一方面，對于方程(2)，存在具有有窮級解的情況. 例如:f=e－z滿足方程

對于方程(2)，一個很自然的問題:Hj(z)(j =0，1)需要滿足什么條件才能保證方程(2)的每個解f 具有無窮級?關于這方面的工作已經(jīng)有很多，Gundersen［6］、Hellerstein 等［7－8］研究了此類方程的非平凡解具有無窮級的條件，列舉如下:

(i)σ(H1(z))＜σ(H0(z))＜1/2;

(ii)H1(z)是多項式，H0(z)是超越整函數(shù).

更多的結果可參考文獻［7］、［9］、［10］，對進一步研究整函數(shù)系數(shù)微分方程解的無窮級的精確估計具有一定的價值.

對于高階齊次線性微分方程(1)，當方程系數(shù)滿足什么條件可以保證方程的每個非零解具有無窮級?如何更加精確地估計無窮級解的增長性?2003年，Chen［11］進行了研究，并得到:

定理1［11］假設aj(j =0，1，…，k－1)是復數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0，對j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－djeiφ，max{dj;j≠s，l}=d ＜min{ds，dl}，如果Hj=hjeajz，hj是多項式，且hshl?0，則微分方程(1)的每個超越解f 滿足σ(f)=∞且σ2(f)=1.

2005年，江良英和陳宗煊［12］繼續(xù)研究方程(1)的解的增長性，并得到:

定理2［12］假設Hj(z)=hj(z)ePj(z)(j =0，1，…，k－1)，Pj(z)是首項系數(shù)為aj的n (n≥1)次多項式，hj(z)為整函數(shù)，σ(hj(z))＜n，aj是復數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0. 對j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－djeiφ，max{dj;j≠s，l}=d ＜min{ds，dl}，hshl?0，則微分方程(1)的每個超越解f 滿足σ(f)=∞.

本文繼續(xù)研究方程(1)，得到了方程(1)的非零解的超級的精確估計，得到如下結果.

定理3 假設Hj(z)=hj(z)ePj(z)(j =0，1，…，k－1)，Pj(z)=ajzn，hj(z)為整函數(shù)且σ(hj(z))＜n，aj是復數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0，對j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－djeiφ，max{dj;j≠s，l}=d ＜min{ds，dl}，hshl?0，則微分方程(1)的每個超越解f 的超級滿足σ2(f)=n.

定理4 假設Hj(z)=hj(z)ePj(z)(j =0，1，…，k－1)，Pj(z)=ajzn，hj(z)為整函數(shù)且σ(hj(z))＜n，aj是復數(shù)，存在as和al，使得l ＞s，as=dseiφ，al=－dleiφ，ds＞0，dl＞0，對j≠s，l，aj=djeiφ(dj≥0)或aj=－ djeiφ，max{dj;j≠s，l}= d ＜min{ds，dl}，hshl?0，gj(j =0，1，…，k－1)是多項式，則微分方程

的每個超越解f 滿足σ(f)=∞及σ2(f)=n.

2 證明所需要的引理

引理1［11］假設Aj(j =0，1，…，k－1)是有窮級整函數(shù)，若f 是方程

引理2［11］假設f(z)是一個具有無窮級的整函數(shù)且σ2(f)=α ＜+∞，E?［1，∞)具有有窮對數(shù)測度，則存在一個無窮點列{zk= rkeiθk}(k =1，2，…)，使得|f(zk)| =M(rk，f)，θk［0，2π)}，=θ0［0，2π)，rkE，rk→∞和對任意的ε ＞0 和充分大的rk，有

其中v(rk)是f(z)的中心指標.

引理3［11］假設f(z)是超越整函數(shù)，則存在對數(shù)測度為有限的集合E?{(1，∞)}，使得當我們?nèi)滿足|z| =r(［0，1］∪E)，|f(z)| =M(r，f)時，有

引理4［13］假設f(z)是超越亞純函數(shù)，Γ ={(i1，j1)，…，(im，jm)}是一個由整數(shù)對所構成的有限集合且滿足jn＞in≥0 (n =1，…，m)，α ＞1，ε＞0 是給定的常數(shù). 則下列結論成立:

(i)存在一個具有線測度為零的集合E1?［0，2π)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，使得對于ψ0(［0，2π)－E1)，存在一個常數(shù)R0=R0(ψ0)＞0，對所有滿足|z|≥R0，arg z=ψ0的z 和(i，j)Γ，有

(ii)存在一個具有有窮對數(shù)測度的集合E2?［1，∞)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，使得對所有滿足|z|(E2∪［0，1］)的z 和(i，j)Γ，(i)的結論成立;

(iii)存在一個具有有窮線測度的集合E3?［1，∞)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，則對所有滿足|z|(E3∪［0，1］)的z 和(i，j)Γ，有

引理5［14］假設P(z)=deiφzn+…(d ＞0)是一個n (n≥1)次多項式，A(z)(?0)是整函數(shù)且σ(A)＜n，假設g(z)=A(z)eP(z)，z =reiθ，那么對任意給定的ε ＞0，存在線測度為零的集合H1?［0，2π)，滿足對任意θ(［0，2π)－(H1∪H2))，存在R ＞0，對所有滿足|z| =r ＞R 的z，下列情形之一成立:

其中H2={θ［0，2π);cos(φ+nθ)=0}是有限集.

引理6［15］假設g:(0，∞)→R，h:(0，∞)→R，二者都是單調(diào)遞增函數(shù)，除去一個對數(shù)測度有限的例外集E 外滿足g(r)≤h(r)，則對于任意α ＞1，存在r0＞0，使得對所有r ＞r0，g(r)≤h(αr)成立.

3 定理的證明

定理3 的證明 假設f(z)是方程(1)的超越解，由引理1 可知，σ2(f)≤n，只需要證明σ2(f)≥n.

由定理2 可知，σ(f)=∞. 若方程(1)的系數(shù)如定理3 所假設，我們斷言:方程(1)的非零解f 的超級均滿足σ2(f)=n.

我們采用反證法. 假設σ2(f)=α ＜n，下面證明假設不成立，從而完成定理的證明.

由引理4，存在一個具有有限對數(shù)測度的集合E1?［1，∞)，且存在僅依賴于α 與Γ 的常數(shù)B ＞0，使得對所有滿足|z|(E1∪［0，1］)的z 和(i，j)Γ，下列不等式成立(取α=2):

由Wiman-Valiron 理論，有:

由引理2，可以選取一個點列{zm=rmeiθm}(m=1，2，…)，使得|f(zm)| = M(rm，f)，θm［0，2π)}，［0，2π)，rm(［0，1］∪E1∪E2)，rm→∞，對于任給的ε1(0 ＜3ε1＜min{1－α，(ds－d)/ds})和充分大的rm，有

令Ps(z)=aszn，Pl(z)=alzn，as=dseiφ，al=－dleiφ，z = reiθ0. 對于上面的θ0，有Re{aszn}=dsrncos(φ +nθ0)，Re{alzn}=－dlrncos(φ +nθ0).對于cos(φ+nθ0)，有3 種情形:(i)cos(φ+nθ0)＞0;(ii)cos(φ+nθ0)＜0;(iii)cos(φ+nθ0)=0.

下面分別考慮這3 種情形.

情形(i):cos(φ+nθ0)＞0. 由式(1)，有

對于充分大的m，θm→θ0，cos(φ+nθm)＞0. 由引理5 可知，對于任意的ε ＞0，存在一個線測度為零的集合H1?［0，2π)，滿足對任意θ(［0，2π)－(H1∪H2))，其中H2={θ［0，2π);cos(φ+nθ)=0}，存在R1＞0，使得對所有滿足|z| =r ＞R1的z及充分大的m，可知θm滿足

由引理3，存在對數(shù)測度為有限的集合E3?(1，∞)，使得取zm滿足|zm| =rm(［0，1］∪E3)，|f(zm)| =M(rm，f)時，有

對于點列{zm=rmeiθm}，由式(4)、(8)～(11)，當m 充分大時，可得

故有

由式(13)及引理6，立即得到σ2(f)≥n.

情形(ii):cos(φ+nθ0)＜0. 用hlealzn代替hseaszn并且用情形(i)中相同的理由，可以得到σ2(f)≥n.

情形(iii):cos(φ+nθ0)=0. 由于zm=rmeiθm滿足對于充分大的m，rm→∞，θm→θ0，射線arg w =φ+nθ0是}(j=0，…，k－1)的一條漸近線，故存在N ＞0，當n ＞N 時，由，對j=0，…，k－1，有

其中M1和M2是2個正常數(shù). 由式(1)、(5)和式(14)，有

式(16)與式(6)矛盾. 故假設不成立.

結合引理1，σ2(f)=n. 證畢.

定理4 的證明 運用類似定理3 的證明方法，可以證明定理4.

［1］楊樂. 值分布及其新研究［M］. 北京:科學出版社，1982.

［2］Hayman W K. Meromorphic functions［M］. Oxford:Clarendon Press，1964.

［3］儀洪勛，楊重駿. 亞純函數(shù)唯一性理論［M］. 北京:科學出版社，1995.

［4］Hayman W K. On the characteristic of functions meromorphic in the plane and of their integrals［J］. Proceedings of the London Mathematical Society，1965，14A(3):93－128.

［5］Hile E. Ordinary differential equations in the complex domain［M］. New York:Wiley，1976.

［6］Gundersen G. Finite order solutions of second order linear differential equations［J］. Transactions of the American Mathematical Society，1988，305(1):415－429.

［7］Hellerstein S，Miles J，Rossi J. On the growth of solutions of f″+A1(z)f' +A0(z)f =0［J］. Transactions of the American Mathematical Society，1991，324(2):693－706.

［8］Hellerstein S，Miles J，Rossi J. On the growth of solutions of f″+gf' +hf =0［J］. Annales Academiae Scientiarum Fennicae-mathematica，1992，17(2):343－365.

［9］Chen Z X. The growth of solutions of second order linear differential equations with meromorphic coefficients［J］.Kodai Mathematical Journal，1999，22(2):208－221.

［10］Kwon K H，KIM J H. Maximum modules satisfying second order linear differential equations［J］. Kodai Mathematical Journal，2001，24(3):344－351.

［11］Chen Z X. On the hyper order of solutions of higher order differential equations［J］. Chinese Annals of Mathematics:Series B，2003，24(4):501－508.

［12］江良英，陳宗煊. 某類高階整函數(shù)系數(shù)微分方程解的增長性［J］. 江西師范大學學報:自然科學版，2005，29(1):12－14.Jiang L Y，Chen Z X. The growth of solutions of higher order differential equations with entire coefficients［J］.Journal of Jiangxi Normal University:Natural Sciences Edition，2005，29(1):12－14.

［13］Gundersen G. Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic function，plus similar estimates［J］. Journal of the London Mathematical Society，1988，37(2):88－104.

［14］高仕安，陳宗煊，陳特為. 線性微分方程的復震蕩理論［M］. 武漢:華中理工大學出版社，1995.

［15］Hayman W K. The growth of power series:A survey of the Wiman-Valiron method［J］. Canadian Mathematical Bulletin，1974，17:317－358.