孫順紅，方桂娟

(1.漳州城市職業(yè)學院 電子信息工程系, 福建 漳州 363000;2.三明學院 機電工程學院，福建 三明 365004)

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矢量無衍射光束的光強

孫順紅1，方桂娟2

(1.漳州城市職業(yè)學院 電子信息工程系, 福建 漳州 363000;2.三明學院 機電工程學院，福建 三明 365004)

摘要：矢量無衍射光束不僅具有標量無衍射光束的特點，而且還具有標量無衍射光束所不具備的偏振特性，因此研究矢量無衍射光束具有十分重要的意義.研究結(jié)果表明，利用柯林斯等公式經(jīng)過理論推導可以得到自由空間矢量無衍射光束的光強計算式,這對于研究矢量無衍射光束的自重建現(xiàn)象奠定了理論基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：矢量；無衍射；徑向偏振；角向偏振；光強

1引言

從1987年美國羅切斯特大學Durnin等人首次提出無衍射光束(Bessel光束)概念以來[1]，由于無衍射光束具有中心光斑小、光強高度集中、方向性好、最大無衍射距離遠、自重建等特點[2-6]，所以其在高精度定向或準直光學系統(tǒng)、非線性光學、激光光鑷等領(lǐng)域中得到了應用.近年來人們開始對矢量(徑向和角向)無衍射光束的研究產(chǎn)生了興趣.不僅僅因為矢量無衍射光束具有標量無衍射光束的特點，還因為它有偏振光束(徑向和角向)特點，因此人們對它的關(guān)注度也越來越高[7-8]，特別是在光鑷實驗(微小粒子捕獲和粒子操控方面的應用)、大數(shù)值孔徑透鏡聚焦和自重建等[9-21]方面期望得到更廣泛的應用.本文將從理論上推導矢量無衍射光束(包括徑向偏振無衍射光和角向偏振無衍射光)的光強公式，為矢量無衍射光束在自重建等方面的應用做理論基礎(chǔ).

2矢量無衍射光束光強的理論推導

2.1　徑向偏振無衍射光束的光強計算

呈高斯分布的徑向偏振光束的電場表示式為[7]：

(1)

式中ω0為光束的束腰寬度，A為任意常數(shù)，設(shè)A=1.

軸棱錐的透過率函數(shù)為：

(2)

其中，k=2π/λ為波數(shù)，λ為波長，n為軸棱錐材料的折射率，γ為軸棱錐的錐角.當徑向偏振光束通過軸棱錐聚焦后，可以獲得徑向偏振無衍射光束.在傳輸場中的電場表達式可以由衍射積分公式得到[22]：

(3)

將公式(1)、(2)代入到公式(3)，可以得到徑向偏振無衍射光束在傳輸場中電場的x方向分量為：

(4)

利用下列公式(5)—(9)，對積分公式(4)進行化簡

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

其中

式(11)是利用式(5)和式(6)進行了化簡，將式(11)代入到式(10)有

exp(-ilθ)∫cosφexp(ilφ)dφ.

(12)

其中，利用式(7)得

再根據(jù)式(9)知

當l=-1時，

∫exp[iφ(l+1)]dφ=2π，

∫exp[iφ(l-1)]dφ=0.

當l=+1時，

∫exp[iφ(l-1)]dφ=2π，

∫exp[iφ(l+1)]dφ=0.

則

exp(-iθ)π=

(13)

式(13)利用了式(7)及式i-1=-i.將式(13)代入到式(12)中，得到

(14)

(15)

由此可知徑向偏振無衍射光束在x方向電場分量的光強表達式為：

(16)

同理，徑向偏振無衍射光束在y方向電場分量的表達式為：

(17)

由此可知徑向偏振無衍射光束在y方向電場分量的光強表達式為：

(18)

由公式(15)和公式(17)可得到徑向偏振無衍射光束的光強表達式：

(19)

利用工程計算軟件Mathcad對公式(16)、(18)、(19)進行理論模擬，可得到徑向偏振無衍射光束的x、y分量及整束光的光強分布圖，如圖1所示.圖1中(a)(b)中的白色箭頭分別表示x、y方向，(c)中的黑色箭頭代表著徑向偏振無衍射光束的偏振方向.計算參數(shù)為：λ=632.8×10-6mm,ω=5mm,n=1.50,γ=0.5°, z=400mm.

圖1　徑向偏振無衍射光束的x方向、y方向及整束光束的理論光強分布圖

2.2　角向偏振無衍射光束的光強計算

角向偏振光束在光束橫截面上任意一點上的電場矢量方向沿著角向方向.角向偏振光束在源平面z=0處的角向偏振光束的電場分布表達式為[23]：

(20)

(21)

(22)

軸棱錐的透過率函數(shù)表示為式(2).當角向偏振光束通過軸棱錐聚焦后，就得到了角向偏振無衍射光束.在直角坐標系中，角向和徑向分量可以分解為：

(23)

基于柯林斯公式[22，24]，角向偏振光束通過軸棱錐后在自由空間中傳輸，其在x、y方向上的衍射積分公式可分別表示為：

(24)

(25)

為了簡化計算，取A=1，利用公式(5)—(9)， 對積分公式(24)和(25)進行化簡并得到化簡后的衍射積分公式(26)和(27)：

(26)

同理，角向偏振無衍射光束在y方向上的衍射積分公式為：

(27)

則角向偏振無衍射光束的截面光強分布表達式可以表示為：

(28)

將(26)和(27)兩式代入公式(28)，并使用Mathcad進行數(shù)值模擬，即可得到角向偏振無衍射光束的截面光強分布圖，如圖2所示,圖中黑色箭頭代表著角向偏振無衍射光束的偏振方向.計算參數(shù)為：λ=632.8×10-6mm,ω0=2 mm,n=1.50, γ=0.5°,z=400 mm.

圖2　角向偏振無衍射光束的理論截面光強分布圖

3結(jié)論

利用柯林斯公式及軸棱錐的透過率函數(shù)，經(jīng)過嚴格的理論計算推導得到了矢量無衍射光束(包括徑向偏振無衍射光束和角向偏振無衍射光束)在自由空間傳輸?shù)墓鈴姽?，并利用工程計算軟件Mathcad得到了徑向偏振無衍射光束和角向偏振無衍射光束的光強分布情況.矢量無衍射光束的光強公式僅僅是為后續(xù)矢量無衍射光束的自重建研究做基礎(chǔ)，關(guān)鍵是注意其推導過程，學會這類推導可為其他光學模型提供幫助.

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Intensity of vector non-diffracting beam

SUNShun-hong1，F(xiàn)ANGGui-juan2

(1.Department of Electronic Information Engineering, Zhangzhou City University, Zhangzhou 363000, China;

2.College of Electromechanical Engineering, Sanming University, Sangming 365004,China)

Abstract：The study of vector non-diffracting beam with both the polarization and scalar non-diffracting beam properties is of great significance. It is shown that the intensity of vector non-diffracting beam is theoretically generated in free space using the Collins formula, which is to lay a theoretical foundation of the research on self-reconstructing phenomenon.

Key words：vector; non-diffraction; radially polarized; azimuthally polarized; intensity

DOI:10.3969/j.issn.2095-7386.2015.02.018

文章編號：2095-7386(2015)02-0079-04

作者簡介：蔡龍飛(1979-)，男，工程師，E-mail: 9864191@qq.com.

收稿日期：2014-10-24.修回日期：2015-03-23.

中圖分類號：O 436

文獻標識碼：A