何現(xiàn)啟 朱自強(qiáng) 彭凌星 戴光明

1）中國長沙410008湖南省交通規(guī)劃勘察設(shè)計院

2）中國長沙410083中南大學(xué)地球科學(xué)與信息物理工程學(xué)院

引言

在隧道施工和礦山開采過程中，我們可以由地震波的速度及其衰減分析推斷地下冷熱水的運移和儲存情況，從而進(jìn)行地下水資源的評價和地下工程突水、涌泥等地質(zhì)災(zāi)害預(yù)報.地震波振幅的衰減隨巖石物理性質(zhì)的變化較地震波速度隨巖石物理性質(zhì)的變化更為靈敏，故推測振幅衰減可能攜帶了比速度更多的巖石物理性質(zhì)方面的信息.此外，振幅衰減還與巖石的應(yīng)力狀態(tài)密切相關(guān)（Best et al，1994；Shatilo et al，1998；梁鍇，2009）.

國外研究人員對黏彈性各向異性介質(zhì)中地震波的傳播特征及VTI（transverse isotropy media with vertical symmetry axis）介質(zhì)中地震波的衰減特征進(jìn)行了深入研究.Samec和Blangy（1992）及Blangy（1994）對各向異性介質(zhì)中地震波的黏彈性、衰減、吸收、AVO等現(xiàn)象進(jìn)行了探討；Carcione（1995，2001）以及Carcione和Cavallini（1997）研究了黏彈各向異性介質(zhì)的本構(gòu)方程（即應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系），發(fā)展并完善了黏彈各向異性介質(zhì)的基本理論；ˇCerveny和P?enˇcík（2005a，b）深入研究了黏彈性單斜各向異性介質(zhì)中SH 波相速度、偏振方向等隨非均勻角變化的規(guī)律；Zhu和Tsvankin（2006，2007）分析了黏彈VTI介質(zhì)和正交各向異介質(zhì)中平面波相衰減和群衰減的特征，并推導(dǎo)了弱各向異性近似表達(dá)式；Vavryˇcuk（2007）給出了黏彈性VTI介質(zhì)中非均勻波的群衰減系數(shù)隨群角的變化規(guī)律；Vavryˇcuk（2008）利用攝動法推導(dǎo)了黏彈性VTI介質(zhì)中地震波的速度、衰減系數(shù)和品質(zhì)因子的表達(dá)式；Behura（2006）研究了VTI介質(zhì)和正交各向異性介質(zhì)中相衰減系數(shù)和群衰減系數(shù)的變化規(guī)律，并利用譜比法進(jìn)行衰減估計；Vavryˇcuk（2009）采用高階攝動法推導(dǎo)了弱各向異性衰減參數(shù)即品質(zhì)因子的表達(dá)式.

國內(nèi)許多研究人員也對黏彈性各向異性介質(zhì)中地震波的衰減特性及其應(yīng)用前景進(jìn)行了深入探討.張中杰等（1999）通過考察介質(zhì)中的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系，建立了非彈性EDA介質(zhì)中具有非彈性效應(yīng)的地震波動方程組；楊頂輝等（2000）通過固體與液體的相互作用探討了雙相各向異性研究存在的問題與應(yīng)用前景；郝奇等（2010）利用改進(jìn)的攝動理論對弱各向異性黏彈性介質(zhì)中的非均勻平面波的傳播特征進(jìn)行深入探討，并給出了誤差分析，得到一些有益的結(jié)論；郭智奇等（2010）研究了各向異性介質(zhì)的衰減特性；聶建新等（2010）對黏彈性各向異性介質(zhì)中的波頻散與衰減特性進(jìn)行了研究；韓顏顏（2011）采用數(shù)值模擬法對雙相黏彈EDA介質(zhì)中地震波的波場特征進(jìn)行了詳細(xì)分析.

上述研究主要是針對極端各向異性和VTI各向異性介質(zhì)中地震波衰減及衰減估計問題，對 HTI和 EDA 介質(zhì)的研究則較少.本文擬利用特殊分量法（ˇCerveny，P?enˇcík，2005a，b；何現(xiàn)啟，2010；何現(xiàn)啟等，2014），由Christoffel方程推導(dǎo)出黏彈性HTI和EDA介質(zhì)中均勻、非均勻P波、SV波和SH波的精確相速度，旨在研究SH波相速度隨非均勻角變化的規(guī)律；然后從Christoffel方程出發(fā)推導(dǎo)出HTI和EDA介質(zhì)中均勻、非均勻地震波的精確相衰減系數(shù)和群衰減系數(shù).

1 黏彈性EDA介質(zhì)中均勻地震波的衰減特性

波數(shù)k除了由Christoffel方程直接求解外，還可由慢度和相速度間接得到，具體表達(dá)式為（ˇCerveny，P?enˇcík，2005a，b；Taner，Koehler，1969；Tsvankin，1997）

式中，k為波數(shù)，v為相速度，ω為角頻率，σ為復(fù)數(shù)，n和m為相互垂直的實單位向量，D為不均勻參數(shù)，是實數(shù)標(biāo)量.下面主要利用相速度v與波數(shù)k的關(guān)系來求解波數(shù)k和衰減系數(shù).

1.1 黏彈性EDA介質(zhì)中均勻地震波的相速度

黏彈性各向異性介質(zhì)中地震波的相速度可由Christoffel特征方程求解，且只有行列式為零才有非零解，即

其中，Γikp（n）＝aijklpjpl.式中，p為地震波的慢度；δij為克羅內(nèi)克符號；aijkl＝cijkl／ρ為密度歸一化的復(fù)黏彈性系數(shù)，其取值與頻率有關(guān)；ρ為密度.

將均勻波的慢度向量p＝σn代入上式，可導(dǎo)出黏彈性EDA介質(zhì)中復(fù)參數(shù)的表達(dá)式為（梁鍇，2009；何現(xiàn)啟，2010）

其中，

式中：cij為介質(zhì)的彈性系數(shù)矩陣元素；θ和φ分別為波傳播方向的極角和方位角；φ0是EDA介質(zhì)對稱軸相對HTI介質(zhì)對稱軸的轉(zhuǎn)角，稱為對稱軸方位角.

由v＝1／｜ReσP｜（ˇCerveny，P?enˇcík，2005a，b），可得復(fù)相速度為對上述結(jié)果進(jìn)行退化驗證得到的相速度表達(dá)式與HTI介質(zhì)中的相速度表達(dá)式相同.

1.2 黏彈性EDA介質(zhì)中均勻地震波的衰減系數(shù)

由式（1）和（5）可得波數(shù)為

1.2.1 SH波相衰減系數(shù)

式（6）中SH波的波數(shù)寫成復(fù)數(shù)形式為

由相衰減系數(shù)的定義A＝kI／kR（Zhu，Tsvankin，2006，2007）可得SH波相衰減系數(shù)ASH為

在xoy平面內(nèi)，將θ＝0代入式（4），可得E＝sin（φ－φ0），F(xiàn)＝cos2（φ－φ0），將其代入式（7），則有

據(jù)相衰減系數(shù)定義有

對于均勻波，非均勻系數(shù)ξ＝0（波數(shù)的實分量與虛分量的夾角），均勻SH波群衰減系數(shù)（Ag＝kIg／kgR）與相衰減系數(shù)相等（ˇCerveny，P?enˇcík，2005a，b；Zhu，Tsvankin，2006，2007）.

1.2.2 P波和SV波衰減系數(shù)

由式（4），將復(fù)彈性系數(shù)的實部與虛部分開可得

令D＝c＋i d，即將D的實部與虛部分開，由上式可得其實部c與虛部d分別為

由式（6），并令kP＝x＋i y，將kP分解成實部與虛部可得

同理可得

其中，

極端各向異性介質(zhì)是指介質(zhì)中任一點處沿任意方向的彈性性質(zhì)均不同，其具有21個獨立彈性參數(shù)，其群衰減系數(shù)Ag＝（kI／kR）cosξ（1＋tanξtanψcosφ）（ξ為非均勻角，ψ為群角，φ為方位角）（何現(xiàn)啟，2010），故可知均勻P波和SV波的群衰減系數(shù)與相衰減系數(shù)相等.

2 黏彈性EDA介質(zhì)中非均勻地震波的衰減特性

2.1 SH波的相速度和慢度

將非均勻波的慢度向量p＝σn＋i Dm（m為實單位向量，垂直于n），代入det［Γikp（n）－δik］＝0，可求出黏彈性EDA介質(zhì)中復(fù)參數(shù)的表達(dá)式為（ˇCerveny，P?enˇcík，2005a，b；何現(xiàn)啟，2010）

其中，

由式（21），可得SH波的相速度為

SH波的慢度為

2.2 SH波的相衰減系數(shù)

由式（2）和式（23）可得SH波的波數(shù)為

令Γ33＝a＋i b，代入式（22），并將實部與虛部分開可得

令E33＝c＋i d，代入式（22），并將實部與虛部分開可得

令F33＝x＋i y，代入式（22），并將實部與虛部分開可得

令

將式（30）代入式（29）可得

SH波的波數(shù)為

SH波的衰減系數(shù)為

2.3 SH波的群衰減系數(shù)

由極端各向異性介質(zhì)中群衰減系數(shù) Ag＝（kI／kR）cosξ（1＋tanξtanψcosφ）（ξ為非均勻角，ψ為群角，φ為方位角）（Zhu，Tsvankin，2006，2007）和式（33）可得

此即為SH波的群衰減系數(shù).

3 數(shù)值計算

本節(jié)主要通過數(shù)值計算研究EDA介質(zhì)中均勻、非均勻SH波的相衰減和群衰減特性.首先給出HTI介質(zhì)的彈性系數(shù)矩陣，然后根據(jù)彈性EDA介質(zhì)彈性系數(shù)矩陣與HTI介質(zhì)彈性系數(shù)的關(guān)系，通過旋轉(zhuǎn)對稱軸得到EDA介質(zhì)的彈性系數(shù)矩陣，再將其代入相應(yīng)的計算公式即可得到EDA介質(zhì)中地震波的衰減系數(shù).

3.1 EDA介質(zhì)中SH波的相衰減系數(shù)

黏彈性 HTI介質(zhì)的彈性系數(shù)矩陣為（ˇCerveny，P?enˇcík，2005b）

將該彈性系數(shù)矩陣通過歐拉變換逆時針旋轉(zhuǎn)60°，則可得到黏彈性EDA介質(zhì)的彈性系數(shù)矩陣，以此矩陣表示的介質(zhì)模型標(biāo)記為模型1，即通過旋轉(zhuǎn)HTI對稱軸得到的具有水平對稱軸的EDA介質(zhì).將上述矩陣代入式（11）可計算均勻SH波的相衰減系數(shù)，并用Matlab成圖，結(jié)果顯示于圖1.可以看出：相速度隨方位角的變化近似成橢圓，橢圓的長軸指示裂隙的方位，短軸指示EDA介質(zhì)對稱軸的方位；相衰減系數(shù)隨方位角的變化呈以裂隙方位角為對稱軸的對稱花瓣狀，沿介質(zhì)對稱軸方向（即垂直裂隙方向）衰減系數(shù)較大，平行裂隙方向衰減系數(shù)較小.這些均表明，均勻SH波的相速度和相衰減系數(shù)均可指示裂隙的走向，且相衰減系數(shù)相對于方位角的變化更敏感，更能反映地下介質(zhì)的精細(xì)構(gòu)造.

圖1 EDA介質(zhì)中均勻SH相速度（a）和相衰減系數(shù)（b）與方位角的關(guān)系（模型1）極坐標(biāo)角度表示方位角，虛線圓圈表示相速度（單位為km／s）（a）和相衰減系數(shù)（b）的大小Fig.1 Relationship between phase velocity（a）and phase attenuation coefficients（b）and azimuth angle for homogeneous and inhomogeneous SH wave in EDA media（model 1）The polar coordinate represents azimuth angle.Dashed circle indicates the phase velocity（km／s）（a）and the phase attenuation coefficient（b）

為研究相衰減系數(shù)隨非均勻角的變化情況，下面通過模型2的數(shù)值計算來研究分析.模型2（EDA）也是具有水平對稱軸的各向異性介質(zhì)，與模型1不同的是模型2由EDA彈性系數(shù)矩陣直接表示，而不是由HTI彈性系數(shù)矩陣表示，該模型的主要特性以彈性為主.模型2（EDA）的彈性系數(shù)矩陣為

將上式代入式（33）計算得到非均勻SH波相衰減系數(shù)，用Matlab成圖，結(jié)果如圖2所示.可以看出，在對稱軸方向（垂直裂隙方向），非均勻SH波相衰減系數(shù)隨非均勻角的增大而增大，且其對稱軸與介質(zhì)對稱軸的夾角也相應(yīng)增加.因此，利用相衰減與相角的相互關(guān)系來反演裂隙的走向時首先還要明確地震波的非均勻角大小，對于非均勻角較小的情況可將相衰減的對稱軸方向近似為裂隙的走向，這是均勻波與非均勻波的不同之處.上述對應(yīng)關(guān)系可通過退化成 HTI介質(zhì)來驗證，退化結(jié)果與 ˇCerveny和P?enˇcík（2005a，b）及Tsvankin（1997）相同.

圖2 EDA介質(zhì)中非均勻SH波相衰減隨非均勻角ξ（a）和相角θ（b）的變化關(guān)系（模型2）.參數(shù)同圖1Fig.2 The characteristics of phase attenuation for inhomogeneous SH wave varying with inhomogeneous angleξ（a）and phase angleθ（b）（model 2）where the illustrations are the same as Fig.1

3.2 EDA介質(zhì)中非均勻波的群衰減系數(shù)

圖3 非均勻SH波群衰減系數(shù)隨非均勻角ξ（a）和群角ψ（b）的變化關(guān)系Fig.3 Relation of SH inhomogeneous wave varying with the inhomogeneous angleξ（a）and group angleψ（b）

非均勻SH波群衰減系數(shù)由式（34）計算而得，用Matlab成圖，結(jié)果如圖3所示.可以看出，群衰減系數(shù)相對于非均勻角的變化規(guī)律與相衰減系數(shù)相似，即在對稱軸方向（垂直裂隙方向）非均勻SH波的群衰減系數(shù)隨非均勻角的增大而增大，且其對稱軸與介質(zhì)對稱軸的夾角也相應(yīng)增加.圖3b給出了非均勻角為60°時，非均勻SH波群衰減系數(shù)與群角的變化關(guān)系.可見，群角只影響群衰減系數(shù)的大小，對其對稱關(guān)系并無任何影響，且隨群角的增大群衰減系數(shù)也相應(yīng)增大.

4 討論與結(jié)論

本文基于前人的研究成果，從Christoffel方程出發(fā)，推導(dǎo)出非均勻、均勻黏彈性EDA介質(zhì)中地震波的三維相速度、相衰減系數(shù)、群衰減系數(shù)的計算公式，并將推導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行退化驗證，結(jié)果表明其與HTI介質(zhì)中的計算結(jié)果較吻合.利用Matlab進(jìn)行數(shù)值計算，研究了相速度、相衰減系數(shù)、群衰減系數(shù)與裂隙方向的關(guān)系.依據(jù)數(shù)值計算結(jié)果，本文結(jié)論如下：

1）在均勻介質(zhì)中SH波的相速度和相衰減系數(shù)均可指示裂隙的走向，且相衰減系數(shù)對方位角的變化更敏感，更能反映地下介質(zhì)的精細(xì)構(gòu)造.

2）非均勻介質(zhì)中SH波相衰減系數(shù)隨非均勻角的增大而增大，且其對稱軸與介質(zhì)對稱軸的夾角也相應(yīng)增加.在利用相衰減與相角的相互關(guān)系來反演裂隙走向時，首先要明確地震波非均勻角的大小.在非均勻角較小的情況下，將相衰減的對稱軸方向近似為裂隙的走向.群衰減系數(shù)隨非均勻角的變化規(guī)律與相衰減系數(shù)相似，群角只影響群衰減系數(shù)的大小，對其對稱關(guān)系并無任何影響，且隨著群角的增大，群衰減系數(shù)也相應(yīng)增加.

3）地震波振幅的衰減隨巖石物理性質(zhì)的變化比地震波速度隨巖石物理性質(zhì)的變化更為靈敏，因此衰減特性比速度特性攜帶了更多的巖石物理性質(zhì)信息.

郭智奇，劉財，馮晅，韓顏顏，王曉歡.2010.各向異性衰減與AVO分析［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：地球科學(xué)版，40（2）：432-438.

Guo Z Q，Liu C，F(xiàn)eng X，Han Y Y，Wang X H.2010.Attenuation anisotropy and AVO analysis［J］.Journal of Jilin University：Earth Science Edition，40（2）：432-438（in Chinese）.

韓顏顏.2011.雙相粘彈EDA介質(zhì)地震波場數(shù)值模擬與特征分析［D］.長春：吉林大學(xué)：2-6.

Han Y Y.2011.Seismic Wave Field Modeling and Character Analysis of Two-Phase Viscoelastic EDA Media［D］.Changchun：Jilin University：2-6（in Chinese）.

郝奇，何樵登，王德利.2010.利用改進(jìn)的攝動理論研究各向異性弱粘彈性介質(zhì)中的非均勻平面波［J］.吉林大學(xué)學(xué)報：地球科學(xué)版，40（1）：195-202.

Hao Q，He Q D，Wang D L.2010.Inhomogeneous plane wave in anisotropic weakly viscoelastic media by improved perturbation theory［J］.Journal of Jilin University：Earth Science Edition，40（1）：195-202（in Chinese）.

何現(xiàn)啟.2010.EDA介質(zhì)中地震波的傳播特征及參數(shù)反演研究［D］.長沙：中南大學(xué)：99-133.

He X Q.2010.The Study of Seismic Wave Propagation in EDA Medium and Parameters Inversion［D］.Changsha：Central South University：99-133（in Chinese）.

何現(xiàn)啟，朱自強(qiáng)，魯光銀.2014.EDA介質(zhì)中地震波的傳播特征［J］.地震學(xué)報，36（3）：403-416.

He X Q，Zhu Z Q，Lu G Y.2014.The exact propagation characteristics of seismic wave in EDA media［J］.Acta Seismologica Sinica，36（3）：403-416（in Chinese）.

梁鍇.2009.TI介質(zhì)中地震波的傳播特征與正演方法研究［D］.青島：中國石油大學(xué)：20-31.

Liang K.2009.The Study on Propagation Feature and Forward Modeling of Seismic Wave in TI Media［D］.Qingdao：China University of Petroleum：20-31（in Chinese）.

聶建新，楊頂輝，巴晶.2010.含泥質(zhì)低孔滲各向異性黏彈性介質(zhì)中的波頻散和衰減研究［J］.地球物理學(xué)報，53（2）：385-392.

Nie J X，Yang D H，Ba J.2010.Velocity dispersion and attenuation of waves in low-porosity－permeability anisotropic viscoelastic media with clay［J］.Chinese Journal of Geophysics，53（2）：385-392（in Chinese）.

楊頂輝，張中杰，滕吉文，王光杰.2000.雙相各向異性研究、問題與應(yīng)用前景［J］.地球物理學(xué)進(jìn)展，15（2）：7-21.

Yang D H，Zhang Z J，Teng J W，Wang G J.2000.The study of two-phase anisotropy，questions and applied prospects［J］.Progress in Geophysics，15（2）：7-21（in Chinese）.

張中杰，滕吉文，賀振華.1999.EDA介質(zhì)中地震波速度、衰減與品質(zhì)因子方位異性研究［J］.中國科學(xué)：E輯，29（6）：569-574.

Zhang Z J，Teng J W，He Z H.2000.Azimuthal anisotropy of seismic velocity，attenuation and Qvalue in viscous EDA media［J］.Science in China：Series E，43（1）：17-22.

Best A I，McCann C，Southcott J.1994.The relationships between the velocities，attenuations and petrophysical properties of reservoir sedimentary rocks［J］.Geophys Prosp，42（2）：151-178.

Behura J.2006.Estimation and Analysis of Attenuation Anisotropy［D］.Colorado：Colorado School of Mines：51-55.Blangy J P.1994.AVO in transversely isotropic media：An overview［J］.Geophysics，59（5）：775-781.

Carcione J M.1995.Constitutive model and wave equations for linear，viscoelastic，anisotropic media［J］.Geophysics，60（2）：537-548.

Carcione J M，Cavallini F.1997.Forbidden directions for TM waves in anisotropic conducting media［J］.IEEE Trans Antennas Propag，45（1）：133-139.

Carcione J M.2001.Wave Fields in Real Media：Wave Propagation in Anisotropic，Anelastic and Porous Media［M］.Amsterdam：Pergamon：16-25.

ˇCerveny V，P?enˇcík I.2005a.Plane waves in viscoelastic anisotropic media：Ⅰ.Theory［J］.Geophys J Int，161（1）：197-212.

ˇCerveny V，P?enˇcík I.2005b.Plane waves in viscoelastic anisotropic media：Ⅱ.Numerical examples［J］.Geophys J Int，161（1）：213-229.

Samec P，Blangy J P.1992.Viscoelastic attenuation，anisotropy，and AVO［J］.Geophysics，57（3）：441-450.

Shatilo A P，Sondergeld C，Rai C.1998.Ultrasonic attenuation in Glenn Pool rocks，northeastern Oklahoma［J］.Geophysics，63（2）：465-478.

Taner M T，Koehler F.1969.Velocity spectra-digitalcomputer derivation and applications of velocity functions［J］.Geophysics，34（6）：859-881.

Tsvankin I.1997.Anisotropic parameters and P-wave velocity for orthorhombic media［J］.Geophysics，62（4）：1292-1309.

Vavryˇcuk V.2007.Ray velocity and ray attenuation inhomogeneous anisotropic viscoelastic media［J］.Geophysics，72（6）：D119-D127.

Vavryˇcuk V.2008.Velocity，attenuation，and quality factor in anisotropic viscoelastic media：A perturbation approach［J］.Geophysics，73（5）：D63-D73.

Vavryˇcuk V.2009.Weak anisotropy-attenuation parameters［J］.Geophysics，74（5）：WB203-WB213.

Zhu Y P，Tsvankin I.2006.Plane-wave propagation in attenuative transversely isotropic media［J］.Geophysics，71（2）：T17-T30.

Zhu Y P，Tsvankin I.2007.Plane-wave attenuation anisotropy in orthorhombic media［J］.Geophysics，72（1）：D9-D19.