徐 澎，馮正平

(上海交通大學(xué) 船舶海洋與建筑工程學(xué)院，上海200240)

0 引 言

多UUV (Unmanned Underwater Vehicle)系統(tǒng)是由多個(gè)同構(gòu)或異構(gòu)的UUV 組成的具有相互協(xié)作能力的系統(tǒng)。與單個(gè)UUV 相比，多UUV 系統(tǒng)具備有搭載多樣性探測(cè)設(shè)備、空間分布廣和指令與采集數(shù)據(jù)的雙向傳輸高效等優(yōu)點(diǎn)。隨著水下通信、導(dǎo)航、以及控制等技術(shù)的發(fā)展，多UUV 系統(tǒng)在水下觀測(cè)或干預(yù)性作業(yè)中將發(fā)揮越來(lái)越重要的作用［1］。

隊(duì)形控制是多UUV 協(xié)調(diào)控制領(lǐng)域的一個(gè)長(zhǎng)久以來(lái)的熱點(diǎn)［2-5］。群體的協(xié)調(diào)控制往往需要根據(jù)任務(wù)的性質(zhì)要求，設(shè)計(jì)相應(yīng)每個(gè)個(gè)體的控制算法，使得個(gè)體按照一定的規(guī)則運(yùn)動(dòng)或行為，最終使某個(gè)物理量趨于一致，比如趨于一致的速度和跟蹤同一個(gè)目標(biāo)等。這種通過(guò)局部控制，個(gè)體間信息交流，使整體實(shí)現(xiàn)共同目標(biāo)的問(wèn)題稱為“一致性”問(wèn)題。UUV的隊(duì)形控制和跟蹤等都可以看作是一致性問(wèn)題建模與應(yīng)用的范疇［6］。有關(guān)多UUV 的一致性，最核心的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)合理有效的算法或協(xié)議，使得網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)UUV 都能隨著時(shí)間的變化而逐漸達(dá)到同一狀態(tài)，或取得一致性［4，7-10］。

由于電磁波在水中衰減遠(yuǎn)比聲波嚴(yán)重，多UUV系統(tǒng)只能依靠水聲通信進(jìn)行協(xié)作以實(shí)現(xiàn)隊(duì)形控制。而聲波的傳播速度尤其在水中要大大低于電磁波，這樣水聲信號(hào)的通信延遲給多UUV 隊(duì)形控制帶來(lái)了較大挑戰(zhàn)。楊波等引入通信延時(shí)，證明了在通信拓?fù)溥B通的情況下，只要UUV 之間的通信時(shí)延小于某個(gè)確定的上界，分布式控制算法將使各UUV 的速度和相對(duì)位置漸近地收斂至期望的速度和隊(duì)形［11-12］。

本文采用具有位置反饋的分布式隊(duì)形控制體系結(jié)構(gòu)，基于奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和代數(shù)圖論給出了隊(duì)形控制器參數(shù)及其容許的統(tǒng)一時(shí)延上限，并具有良好的位置和隊(duì)形鎮(zhèn)定效果。

1 受通信約束的隊(duì)形控制算法

為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，僅考慮固定拓?fù)浜徒y(tǒng)一通信時(shí)延的情況。

假設(shè)UUV 動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，實(shí)際應(yīng)用時(shí)可以通過(guò)對(duì)其六自由度方程進(jìn)行反饋線性化而得。在m維歐幾里得空間中考慮n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，質(zhì)點(diǎn)i的動(dòng)力學(xué)方程［2］:

式中:xi∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的位置;vi∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的速度;ui∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的控制輸入。

考慮通信時(shí)延，這里系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)之間存在統(tǒng)一的時(shí)間延遲。多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)隊(duì)形控制期望多個(gè)質(zhì)點(diǎn)按指定的速度并組成穩(wěn)定的隊(duì)形運(yùn)動(dòng)，分別規(guī)定期望隊(duì)形幾何中心的位置和速度為x*∈Rm和vi∈Rm，且對(duì)于每個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)說(shuō)都已知。基于一致性協(xié)議［8］，設(shè)計(jì)一個(gè)包含通信時(shí)延的分布式隊(duì)形控制算法:

式中:α ＞0 和γ ＞0 為增益系數(shù);ci∈Rm為質(zhì)點(diǎn)i 的期望位置。

隊(duì)形控制器(2)同時(shí)引入了通信時(shí)延τ 和位置反饋，位置反饋對(duì)系統(tǒng)的輸出有進(jìn)一步鎮(zhèn)定作用，不僅可以加快質(zhì)點(diǎn)跟蹤期望路徑的速度，也使得跟蹤更加準(zhǔn)確。ci表示組成的質(zhì)點(diǎn)隊(duì)形固定。當(dāng)t→∞，xi→ci→x*，vi→v*，即質(zhì)點(diǎn)以期望的軌跡和速度運(yùn)動(dòng)。aij用來(lái)指示質(zhì)點(diǎn)i 和j 之間的通信鏈路狀態(tài):aij=1 則表示二者間鏈接通路有數(shù)據(jù)交換，aij=0 則表示沒(méi)有通信。Ni為質(zhì)點(diǎn)i 的鄰居集，即對(duì)所有質(zhì)點(diǎn)i 可感知的鄰居質(zhì)點(diǎn)j 滿足j ∈Ni。τ 反映通信時(shí)延對(duì)系統(tǒng)控制的影響。

2 與時(shí)延有關(guān)的隊(duì)形穩(wěn)定性

由無(wú)向通信拓?fù)鋵?duì)應(yīng)的圖拉普拉斯矩陣整理n個(gè)子系統(tǒng)，系統(tǒng)的誤差動(dòng)力學(xué)方程可以表述為

根據(jù)代數(shù)圖拉普拉斯矩陣L 的對(duì)稱性，其可以轉(zhuǎn)換為一個(gè)對(duì)角矩陣。令T 為變換矩陣，那么H =TTLT 為對(duì)角矩陣并且U = diag(μ1，μ2，…，μn)。依據(jù)L 的非負(fù)定性，L 的特征值可以表示為一個(gè)升序排列0 = μ1≤μ2≤…≤μn－1≤μn。

經(jīng)過(guò)以上轉(zhuǎn)換，閉環(huán)系統(tǒng)(3)～(4)的動(dòng)力學(xué)方程被解耦為n 個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)，也即

其中

且Im是m × m 單位矩陣。

方程(11)的特征方程為

也即

可以得到

這就是子系統(tǒng)i 的閉環(huán)特征方程。

簡(jiǎn)化為

只要α ＞0 和γ ＞0，其穩(wěn)定性自然滿足。

對(duì)于其余子系統(tǒng)(i =2，…，n)，方程(12)等效為

顯然第i 個(gè)隊(duì)形控制子系統(tǒng)等效為單位反饋系統(tǒng)，其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)等效為線性系統(tǒng)Gi(s) =與通信延遲環(huán)節(jié)串聯(lián)，其穩(wěn)定性可由奈奎斯特判據(jù)來(lái)分析。

由幅值穿越條件

或

其中ωc為幅值穿越頻率。

其中為表示方便，用ηi表示第i 個(gè)隊(duì)形控制子系統(tǒng)的穿越頻率，即ηi= ωc。需要指出的是α 必須滿足0 ＜α ≤μi，i ＞1。

那么穩(wěn)定性條件可以被轉(zhuǎn)化為求穿越頻率ηi下的相位裕度條件，也即

那么由以下不等式可以確定系統(tǒng)能夠承受的延遲條件

其中

是自然滿足的。

最小的滿足延遲條件的τ ＞0 為

那么可由上述結(jié)論歸納得出如下定理:考慮n個(gè)具有同一的雙積分動(dòng)力學(xué)(1)與一個(gè)統(tǒng)一的通信延遲的質(zhì)點(diǎn)。假定通信拓?fù)錈o(wú)向連通，且每個(gè)質(zhì)點(diǎn)從它的相鄰質(zhì)點(diǎn)接收信息需要經(jīng)過(guò)一個(gè)恒定的延遲τ。當(dāng)τ ＜τ*和α ≤min{μi}，i ＞1，隊(duì)形控制律(2)可以保證隊(duì)形穩(wěn)定，其中

式中μi為代數(shù)圖拉普拉斯矩陣L 按升序排列的第i個(gè)特征值。

3 仿真驗(yàn)證

3.1 多UUV 仿真

采用參考文獻(xiàn)［13］的UUV 模型進(jìn)行仿真研究且僅考慮多UUV 在水平面的隊(duì)形控制。為此對(duì)模型做了合理簡(jiǎn)化，聚焦于水平面三自由度運(yùn)動(dòng)的研究。

UUV 水平面運(yùn)動(dòng)方程可寫為［14］

式中:M 為慣性矩陣，對(duì)稱正定，它表示運(yùn)載器的質(zhì)量與水動(dòng)力的附加質(zhì)量;χ =［xR，yR，ψR(shí)］T為UUV在定系中的位置坐標(biāo)及首向角;ν = ［uR，vR，rR］T為在動(dòng)系中UUV 的速度向量;C(ν)ν 表示由于UUV 的附加質(zhì)量，由向心力和哥氏力引起，是反對(duì)稱的;D(ν)ν 為運(yùn)載器受到的阻尼等耗散力，因而D(ν)ν是正定的;g(χ)為浮力和重力引起的回復(fù)力或力矩;uc= ［uc1，uc2，uc3，uc4］為UUV 水平面上4 個(gè)推進(jìn)器的推力;B 為3 ×4 的輸入矩陣，其中的參數(shù)表示推力裝置的位置;Buc為推力對(duì)運(yùn)載器造成的力或力矩;J(χ)為坐標(biāo)系變換矩陣，具體見(jiàn)式(23)。

通過(guò)對(duì)式(21)兩邊求導(dǎo)得到

同時(shí)易得

式(21)可轉(zhuǎn)化為

所以

轉(zhuǎn)化得到

根據(jù)以上推導(dǎo)，采用反饋線性化控制器

定義控制作用f = ［fx，fy，nr］T，則fx，fy為水平面x 和y 方向上直線運(yùn)動(dòng)的控制力，nr為偏航控制力矩。根據(jù)隊(duì)形控制器(2)可以實(shí)現(xiàn)fx，fy的輸出，即u =［fx，fy］T。需要注意，控制力矩nr不會(huì)改變UUV的隊(duì)形和位置。UUV 在運(yùn)動(dòng)方向上會(huì)受到流體偏航力矩的作用，因而導(dǎo)致UUV 的首向受擾動(dòng)。為保持UUV 首向在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恒定，規(guī)定控制力矩nr= －2λrR－ λ2ψR(shí)，其中λ 為正常數(shù)。那么UUV 首向閉環(huán)動(dòng)力學(xué)方程整理為顯然ψR(shí)→0。

以4 個(gè)UUV 的隊(duì)形控制為例。它們的初始隊(duì)形為一個(gè)小正方形。設(shè)計(jì)一個(gè)參考點(diǎn)用于規(guī)劃運(yùn)動(dòng)軌跡，令UUV 進(jìn)行一個(gè)帶直角變向的時(shí)變運(yùn)動(dòng)，其期望速度為v(t)= ［sin(φ(t))，cos(φ(t))］。相應(yīng)地期望位移用于規(guī)定參考點(diǎn)速度的參數(shù)如下［10］

相對(duì)位置被規(guī)定為

定義ef= (L ?Im)(x － c)為隊(duì)形誤差，其中1 = ［1 1 1 1］T。

圖1 通信拓?fù)銯ig.1 Communication topology

帶統(tǒng)一通信延遲的固定通信拓?fù)淙鐖D1 所示，對(duì)應(yīng)的代數(shù)圖拉普拉斯矩陣為

其特征值分別為0，2，2 和4。

選取α = 1 和γ = 1 ，根據(jù)定理求得可承受延遲為τ*=0.375 0 s。令時(shí)間延遲分別為τ=0，0.5τ*和τ*，仿真得到如圖2 ～圖4 所示的結(jié)果?？梢钥闯觯谕?duì)形迅速實(shí)現(xiàn)并保持v*的移動(dòng)速度，此外隊(duì)形誤差在5 s 左右開(kāi)始收斂，達(dá)到了隊(duì)形控制目的。數(shù)值仿真的結(jié)果與定理的敘述一致。

3.2 與文獻(xiàn)［12］的比較

圖2 零延遲條件下仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results under zero delay

圖3 延遲τ=0.5τ* 時(shí)仿真結(jié)果Fig.3 Simulation results under delay of τ=0.5τ*

圖4 延遲τ=τ* 時(shí)仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results under delay of τ=τ*

圖5 用文獻(xiàn)［12］隊(duì)形控制算法仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results with algorithms proposed by reference［12］

圖6 用本文隊(duì)形控制算法仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results with algorithms proposed by this paper

做一個(gè)簡(jiǎn)單的仿真，與文獻(xiàn)［12］所提算法在性能上進(jìn)行比較，不失一般性的前提，簡(jiǎn)化被控對(duì)象為質(zhì)點(diǎn)，并且令4 個(gè)質(zhì)點(diǎn)采用第3.1 節(jié)中的通信拓?fù)洌檯⒖键c(diǎn)進(jìn)行一段含一個(gè)直角轉(zhuǎn)彎的軌跡運(yùn)動(dòng)。延時(shí)條件保持相同，即τ=0.4 s (均符合文獻(xiàn)［12］和本文所提定理，即在時(shí)延上限以內(nèi))，得到仿真結(jié)果如圖5 和圖6 所示。文獻(xiàn)［12］與本文所提方法相比雖然在隊(duì)形誤差上差別不大，但從前者的跟蹤誤差圖中可見(jiàn)其跟蹤誤差發(fā)散，再觀察其軌跡圖，特別在經(jīng)過(guò)直角轉(zhuǎn)彎后，隊(duì)形中心位置明顯偏離了參考點(diǎn)的軌跡。相反，從圖6 看出，使用本文所提隊(duì)形控制算法，跟蹤誤差可以被有效控制，具體地說(shuō)，從第5 s開(kāi)始跟蹤誤差便收斂到0.2 上下，顯示了優(yōu)越的軌跡跟蹤性能。而從圖6(a)中也可以觀察，隊(duì)形中心軌跡基本與參考點(diǎn)軌跡重合。這主要是因?yàn)楸疚牡乃惴ㄖ幸肓宋恢梅答?，在要求被控?duì)象達(dá)到期望速度的同時(shí)，使其跟蹤至相應(yīng)的參考位置，這對(duì)于探測(cè)海底指定區(qū)域等任務(wù)有著實(shí)際的意義。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用矩陣圖論和奈奎斯特準(zhǔn)則，提出了考慮通信時(shí)延影響的分布式隊(duì)形控制算法。該算法針對(duì)所有無(wú)向通信拓?fù)涞南到y(tǒng)，只要通信時(shí)延小于某個(gè)確定上界，那么所有UUV 的速度、位置和隊(duì)形將會(huì)漸近地收斂到期望值，而且，對(duì)比已有的隊(duì)形控制算法在精確跟蹤期望位置有著明顯優(yōu)勢(shì)。

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