任昱昊，季 冰，許麗艷，段法兵

（青島大學(xué)復(fù)雜性科學(xué)研究所，山東 青島266071）

0 引言

隨機(jī)共振是由意大利學(xué)者Benzi等在1981年發(fā)現(xiàn)的一種非線性現(xiàn)象［1］，解釋了地球每隔十萬(wàn)年的冰期與暖期交替的周期性。隨機(jī)共振理論提出了一種新的觀念：噪聲不是完全有害的，而是在一定條件下，能夠增強(qiáng)弱信號(hào)的傳輸，提高系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的反應(yīng)能力，如輸出信號(hào)的信噪比。1983年，F(xiàn)auve和Heslot［2］在施密特觸發(fā)器電路中證實(shí)了隨機(jī)共振現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在加性噪聲強(qiáng)度到達(dá)某個(gè)合適的值時(shí)，輸出信噪比會(huì)達(dá)到一個(gè)峰值。1988年，McNamara等［3］在環(huán)形激光器中同樣發(fā)現(xiàn)了隨機(jī)共振現(xiàn)象，并給出了隨機(jī)共振的絕熱近似理論。隨后，隨機(jī)共振理論與應(yīng)用的研究漸漸成為30年來(lái)非線性科學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一，在電子電路系統(tǒng)［4－5］、神經(jīng)生物學(xué)［6］、圖像語(yǔ)音處理［7］、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)［8］、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程［9］、地震學(xué)研究［10］等諸多領(lǐng)域中取得了眾多理論與實(shí)踐成果。

在電路系統(tǒng)和信號(hào)處理領(lǐng)域，隨機(jī)共振現(xiàn)象的相關(guān)研究已取得豐碩成果。1995年Collins等［8］研究了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)信息處理模型中的并聯(lián)陣列隨機(jī)共振，將信號(hào)加入并聯(lián)的混有噪聲的子系統(tǒng)之后，得到比信號(hào)通過(guò)單一子系統(tǒng)更好的信號(hào)輸出結(jié)果。從此，陣列隨機(jī)共振的研究逐漸興起，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和噪聲的積極作用相互結(jié)合提高系統(tǒng)性能的觀點(diǎn)得到重視。在相關(guān)的電路研究領(lǐng)域［11］，1997年，Chapeau－Blondeau和Godivier［12］提出了非線性無(wú)記憶系統(tǒng)中隨機(jī)共振的一般理論框架，以及系統(tǒng)輸出信噪比的數(shù)值計(jì)算方法。2000年，Chapeau－Blondeau［13］又發(fā)現(xiàn)加入非高斯噪聲誘發(fā)的陣列隨機(jī)共振方法能夠提高輸出信噪比增益。2006年，Duan等［14］證明了并聯(lián)的子系統(tǒng)數(shù)量趨于無(wú)窮時(shí)，輸出信噪比的計(jì)算可轉(zhuǎn)化為任意兩個(gè)子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性能分析。孫婧等［15］研究了亞閾值信號(hào)和超閾值信號(hào)通過(guò)混有噪聲的陣列子系統(tǒng)后的信噪比增益，證明了上述結(jié)論。2002年Chialvo等［16－17］研究了噪聲對(duì)于神經(jīng)元響應(yīng)的影響，發(fā)現(xiàn)了震蕩隨機(jī)共振現(xiàn)象，隨后在電路研究當(dāng)中，同樣也證實(shí)了魅隨機(jī)共振現(xiàn)象的存在［18－19］。所謂震蕩隨機(jī)共振現(xiàn)象，就是將頻率分別為f＋kf0的高頻干擾加入到系統(tǒng)中，使得系統(tǒng)輸出在頻率f0處產(chǎn)生隨機(jī)共振，以提高系統(tǒng)對(duì)于含頻率f0輸入信號(hào)的響應(yīng)能力。

本文是以上述研究的結(jié)果為基礎(chǔ)，進(jìn)一步對(duì)比研究了陣列隨機(jī)共振與震蕩隨機(jī)共振在提高輸出信噪比方面的性能以及電路實(shí)現(xiàn)。由于實(shí)際的信號(hào)傳輸過(guò)程中，純凈的輸入信號(hào)在到達(dá)系統(tǒng)之前，一般會(huì)被噪聲所污染。因此，本文考慮真實(shí)的輸入由信號(hào)和外部噪聲組成的，電路系統(tǒng)為并聯(lián)的硬限幅子系統(tǒng)，硬限幅電路實(shí)在通訊、雷達(dá)等信息處理領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛的一種非線性電路。在每個(gè)硬限幅子系統(tǒng)加入了與外部噪聲無(wú)關(guān)，強(qiáng)度、分布均相同，但相互獨(dú)立的內(nèi)部噪聲。然后，將每個(gè)子系統(tǒng)的輸出取算術(shù)平均，就得到了陣列的輸出信號(hào)。輸出輸入的信噪比增益的計(jì)算結(jié)果表明，在信號(hào)、噪聲、非線性系統(tǒng)的協(xié)同作用下，信噪比增益存在大于1的區(qū)域，并且進(jìn)一步在此電路系統(tǒng)中證明了無(wú)限并聯(lián)系統(tǒng)陣列的信噪比增益問(wèn)題可由任意兩個(gè)子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性能來(lái)實(shí)現(xiàn)。由于實(shí)際電路系統(tǒng)中內(nèi)部噪聲有時(shí)不能加以控制，本文還著重研究了將高頻信號(hào)看作內(nèi)部噪聲（干擾）的震蕩隨機(jī)共振現(xiàn)象，人為添加高頻干擾到電路子系統(tǒng)中，進(jìn)一步提高陣列的輸出輸入信噪比增益。在傳統(tǒng)的信號(hào)處理領(lǐng)域中，高頻信號(hào)往往只作為輸入信號(hào)的載波，通過(guò)調(diào)制和解調(diào)來(lái)達(dá)到信號(hào)通信的目的。而在本文當(dāng)中，高頻干擾信號(hào)的作用與陣列隨機(jī)共振系統(tǒng)中噪聲的作用相同，研究由正弦高頻信號(hào)誘發(fā)的魅隨機(jī)共振具有實(shí)際意義與應(yīng)用價(jià)值。本文對(duì)震蕩隨機(jī)共振現(xiàn)象進(jìn)行了PSpice電路仿真，得出的結(jié)果與數(shù)值模擬相吻合，進(jìn)一步在實(shí)踐層面證實(shí)了上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

1 并聯(lián)電路系統(tǒng)與信噪比增益

本文所采用的并聯(lián)電路系統(tǒng)是由N個(gè)并聯(lián)的硬限幅符號(hào)電路子系統(tǒng)組成的，每一個(gè)子系統(tǒng)的輸入輸出滿足關(guān)系式，這里，θ為閾值。實(shí)際電路圖如圖1所示。

圖1 硬限幅并聯(lián)電路子系統(tǒng)圖（N＝1）Fig.1 The circuit diagram of a hard limiter sub－system （N＝1）

每個(gè)子系統(tǒng)的共同輸入都是一個(gè)正弦和噪聲的混合信號(hào)s（t）＋ξ（t），ξ（t）為外部噪聲。子系統(tǒng)的內(nèi)部相互獨(dú)立的噪聲設(shè)為ηi（t），與ξ（t）不相關(guān)，且ηi（t）和ηj（t）強(qiáng)度與概率密度分布相同。則子系統(tǒng)的輸出可表示為

系統(tǒng)的總輸出y（t）可表示為

y（t）可看作其非穩(wěn)態(tài)均值E［y（t）］與圍繞E［y（t）］的穩(wěn)態(tài)波動(dòng)（t）之和，即

為計(jì)算系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)，引入時(shí)間延遲τ，可得二階非穩(wěn)態(tài)相關(guān)函數(shù)

對(duì)其進(jìn)行時(shí)間平均后，可得系統(tǒng)輸出y（t）的自相關(guān)函數(shù)Ryy（τ）

其中，自協(xié)方差函數(shù)為

由維納－辛欽定理，y（t）的功率譜密度可以計(jì)算為

y（t）的非穩(wěn)態(tài)方差可表示為var［y（t）］＝E［y~（t）y~（t＋τ）］，對(duì)其進(jìn)行時(shí)間平均，可得

特別地，并聯(lián)的子系統(tǒng)數(shù)量N→∞時(shí)，有

將式（12）與（13）代入式（10）與（11）可知，并聯(lián)子系統(tǒng)數(shù)量N→∞時(shí)的輸出信噪比，可以由任意兩個(gè)子系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)性能來(lái)計(jì)算。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果和PSpice電路仿真

利用上述理論公式，本文對(duì)于若干硬限幅符號(hào)電路組成的并聯(lián)陣列的輸出輸入信噪比增益進(jìn)行了數(shù)值仿真和PSpice電路仿真。

如圖2a所示，輸入信號(hào)為頻率f＝100Hz，幅值為0.3V的正弦信號(hào)，外部噪聲高斯白噪聲，方差給定為0.752，內(nèi)部噪聲為均布噪聲。取子系統(tǒng)數(shù)量N＝1，2，5，10，100和∞，作出信噪比增益與內(nèi)部噪聲強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系圖。從圖2a中可以看出，隨著內(nèi)部均布噪聲強(qiáng)度增大，信噪比增益先增大，在達(dá)到最大值后又減小，出現(xiàn)陣列隨機(jī)共振現(xiàn)象。同時(shí)，隨著陣列子系統(tǒng)數(shù)目增加，信噪比增益也隨之增大，當(dāng)子系統(tǒng)數(shù)目趨于無(wú)窮時(shí)，信噪比增益趨近于1。

圖2b表示了頻率為f＝100Hz，幅值為0.5V的正弦輸入信號(hào)，外部噪聲為給定方差的均布噪聲，通過(guò)調(diào)諧子系統(tǒng)內(nèi)部均布噪聲強(qiáng)度，得到的陣列輸出輸入信噪比增益曲線。這里陣列數(shù)目取 N＝1，2，5，10，100和∞。從圖2b中可以看出，隨著內(nèi)部噪聲強(qiáng)度增大，信噪比增益同樣出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象。特別地，當(dāng)陣列數(shù)目N取10、100和∞時(shí)，圖2b中可以觀測(cè)到信噪比增益大于1的區(qū)域。

圖2 并聯(lián)陣列信噪比增益隨內(nèi)部均布噪聲強(qiáng)度變化曲線Fig.2 SNR gain as a function of the internal uniform noise root－mean－square（RMS）amplitude

由圖2可以看出，若系統(tǒng)外部加入高斯噪聲，信噪比增益不會(huì)超過(guò)1，當(dāng)系統(tǒng)外部加入了非高斯噪聲時(shí)，信噪比增益才有可能大于1［18］。這一理論結(jié)果已經(jīng)在我們前期工作中進(jìn)行了證明［18］，這里利用電路系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。而且，當(dāng)子系統(tǒng)數(shù)量N給定時(shí)，隨著系統(tǒng)內(nèi)部噪聲強(qiáng)度的增加，信噪比增益出現(xiàn)雙峰值現(xiàn)象，如圖2b所示。

在電路仿真實(shí)驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)對(duì)于每個(gè)子系統(tǒng)加入內(nèi)部噪聲并對(duì)其強(qiáng)度進(jìn)行調(diào)諧的實(shí)驗(yàn)工作不容易實(shí)現(xiàn)，這也造成了陣列隨機(jī)共振實(shí)現(xiàn)增強(qiáng)輸出信噪比的目的難以實(shí)現(xiàn)。這里利用震蕩隨機(jī)共振機(jī)制對(duì)于并聯(lián)電路的性能進(jìn)行改進(jìn)，每個(gè)子系統(tǒng)中加入高頻干擾的方法是比較容易實(shí)施的?？紤]輸入信號(hào)頻率為f＝100Hz，幅值為0.5V的正弦信號(hào)，外部噪聲為均布噪聲，方差給定為1／。在每個(gè)子系統(tǒng)內(nèi)部加入如下高頻正弦干擾信號(hào)，頻率依次為（2＋0.1k）kHz，幅值為。取子系統(tǒng)數(shù)量N＝1，2，5，10，100，作出信噪比增益與內(nèi)部噪聲強(qiáng)度的函數(shù)關(guān)系，如圖3所示。這里子系統(tǒng)內(nèi)加入的正弦信號(hào)的作用類似于以往隨機(jī)共振研究中噪聲的作用，即將高頻信號(hào)看作噪聲的一種。

從圖3中可以看出，子系統(tǒng)內(nèi)部加入高頻信號(hào)噪聲對(duì)輸入信號(hào)的影響與加入噪聲的情形類似，系統(tǒng)輸入輸出信噪比增益出現(xiàn)了共振現(xiàn)象。特別值得指出的是，同樣的外部噪聲和輸入信號(hào)條件下，加入高頻信號(hào)噪聲的方法優(yōu)于加入非高斯噪聲，我們能夠得到更高的系統(tǒng)輸出輸入信噪比增益。雖然二者的信噪比增益最大值相近，都能達(dá)到1.2左右，但在圖3中，利用調(diào)諧高頻干擾幅值的方法能夠在并聯(lián)子系統(tǒng)數(shù)目N＝5時(shí)，得到的信噪比增益就已接近于1，當(dāng)系統(tǒng)數(shù)目N＝100時(shí)，得到的信噪比增益就能達(dá)到加入陣列隨機(jī)共振方法中系統(tǒng)數(shù)目N→∞的增益水平。由圖3還可看出，與圖2中在子系統(tǒng)內(nèi)部加入均布噪聲時(shí)的情況類似，信噪比增益同樣出現(xiàn)了雙峰現(xiàn)象。這是由于正弦信號(hào)也可看作一種具有概率密度的隨機(jī)變量，其概率密度與均勻分布的概率密度相似，都具有邊界性。另外，從實(shí)際電路設(shè)計(jì)的方便程度來(lái)講，加入特定頻率的高頻正弦干擾信號(hào)較之加入特定噪聲，更容易實(shí)現(xiàn)。這些優(yōu)點(diǎn)意味著震蕩隨機(jī)共振方法比利用傳統(tǒng)隨機(jī)共振方法具有更加廣泛的潛在應(yīng)用價(jià)值。

針對(duì)圖3中N＝1，2，5，10，100的情況，我們利用PSpice電路仿真軟件進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)證實(shí)，結(jié)果如圖4和圖5所示。在圖4中，從上到下的3個(gè)圖形分別為a）輸入信號(hào)波形、b）輸入信號(hào)通過(guò)硬限幅陣列電路的輸出波形和c）通過(guò)N＝5并聯(lián)系統(tǒng)后的非穩(wěn)態(tài)輸出均值的時(shí)間波形。由圖4b和圖4c可以看出，硬限幅并聯(lián)系統(tǒng)相當(dāng)于一個(gè)模數(shù)轉(zhuǎn)換電路，將輸入的模擬量轉(zhuǎn)化為了具有2 N＋1個(gè)狀態(tài)的數(shù)字量。隨著并聯(lián)系統(tǒng)個(gè)數(shù)的增加，電路輸出的狀態(tài)能夠不斷逼近輸入信號(hào)的特征，到趨向于無(wú)窮時(shí)，從統(tǒng)計(jì)的角度上就能夠還原輸入信號(hào)。當(dāng)然，隨著并聯(lián)陣列數(shù)目的增加，實(shí)際電路的實(shí)現(xiàn)也愈加困難。由圖4還可看出，系統(tǒng)的輸出波形出現(xiàn)了與信號(hào)周期f相同的漂移干擾。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，這種漂移現(xiàn)象是加入相同相位且頻率相差不甚大的高頻干擾導(dǎo)致的。當(dāng)N比較小時(shí)，現(xiàn)象更加明顯，隨著N的增大，到N＝100時(shí)，已幾乎看不到漂移現(xiàn)象。這種漂移現(xiàn)象的周期之所以與信號(hào)周期相同，是因?yàn)樾盘?hào)周期是所有高頻干擾周期的公倍數(shù)，這樣造成震蕩隨機(jī)共振的同時(shí)，也產(chǎn)生了圖中所示的漂移干擾。要想避免或降低這類漂移，可以采取以下兩種措施：增大子系統(tǒng)數(shù)量N和增大高頻干擾之間的差fk－fk－1。

如圖5所示，輸入信號(hào)s（t）＝0.5sin（200πt），外部噪聲ξ（t）為強(qiáng)度σ2＝1的均布噪聲。內(nèi)部高頻干擾η（t）＝每個(gè)子系統(tǒng)的頻率fN滿足fn＝（2＋0.1＊n）kHz。分別對(duì)陣列數(shù)目為N＝1，2，5，10，100的電路系統(tǒng)進(jìn)行了PSpice仿真。圖中自下而上的連續(xù)曲線分別對(duì)應(yīng)了子系統(tǒng)數(shù)量為N＝1，2，5，10和100時(shí)，系統(tǒng)輸出輸入信噪比增益隨高頻噪聲強(qiáng)度變化曲線。離散數(shù)據(jù)點(diǎn)為PSpice電路仿真得到的信噪比增益?？梢钥闯觯琍Spice電路仿真所得到的結(jié)果與數(shù)值計(jì)算的結(jié)果相吻合，呈現(xiàn)典型的震蕩隨機(jī)共振現(xiàn)象，并且在合適的內(nèi)部高頻干擾強(qiáng)度下，輸出－輸入信噪比增益可以大于1，陣列隨機(jī)共振中雙共振區(qū)域也得到了證實(shí)。

圖3 外部加均布噪聲，并聯(lián)陣列信噪比增益隨高頻干擾的強(qiáng)度變化曲線Fig.3 SNR gain as a function of the internal high frequency interference signal amplitude.Here，the external noise is uniform noise

圖4 PSpice電路仿真的相關(guān)波形的強(qiáng)度變化曲線Fig.4 Simulation result of the PSpice simulation experiment

圖5 PSpice電路仿真信噪比增益隨高頻噪聲強(qiáng)度的變化Fig.5 SNR gain as a function of the internal high frequency interference signal amplitude in the PSpice simulation experiment

3 結(jié)論

本文著重研究了并聯(lián)陣列硬限幅電路中的震蕩隨機(jī)共振與陣列隨機(jī)共振現(xiàn)象，輸入信號(hào)為被噪聲污染的正弦信號(hào)，通過(guò)并聯(lián)的硬限幅電路組成的陣列，受到系統(tǒng)外部噪聲、系統(tǒng)內(nèi)部高頻干擾信號(hào)、非線性電路系統(tǒng)的協(xié)同作用，產(chǎn)生了系統(tǒng)輸出輸入信噪比增益隨著干擾強(qiáng)度增加而出現(xiàn)峰值區(qū)域的現(xiàn)象。數(shù)值仿真以及PSpice電路仿真證明，當(dāng)并聯(lián)子系統(tǒng)數(shù)目增加時(shí)，輸出輸入信噪比增益也相應(yīng)增加，且信噪比增益存在大于1的區(qū)域。對(duì)子系統(tǒng)內(nèi)部加入高頻干擾作為噪聲的震蕩隨機(jī)共振方法，與調(diào)節(jié)陣列內(nèi)部噪聲強(qiáng)度的傳統(tǒng)隨機(jī)共振方法相比，能夠得到更優(yōu)的信噪比增益，而且實(shí)際電路實(shí)現(xiàn)起來(lái)也更為簡(jiǎn)便實(shí)用。這些研究成果印證了陣列隨機(jī)共振的相關(guān)理論，并且對(duì)利用噪聲或高頻干擾進(jìn)行信號(hào)處理的應(yīng)用研究具有重要意義。

本文的研究目前局限于電路并聯(lián)系統(tǒng)的情形，對(duì)于實(shí)際中更為復(fù)雜的子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，值得進(jìn)行深入研究。噪聲或干擾僅僅考慮了高斯噪聲、均布噪聲和正弦高頻干擾，其他電子電路中常見(jiàn)的噪聲類型，如散彈噪聲，約翰遜噪聲等，需要做更深入的研究探討，為震蕩隨機(jī)共振的理論和實(shí)際應(yīng)用提供更好的實(shí)驗(yàn)證據(jù)。此外，在子系統(tǒng)內(nèi)部加入均布噪聲和高頻干擾的實(shí)驗(yàn)中，信噪比增益都呈現(xiàn)雙峰值現(xiàn)象，在今后的研究中，需要給出這類現(xiàn)象的理論分析與證明。

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