王玉清

平面向量的數(shù)量積是平面向量的重要內(nèi)容，教學(xué)大綱要求“掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角 度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件.”在江蘇高考考試說(shuō)明中也是C級(jí)要求，與三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列、平面幾何等緊密相連.一般難度比較大.縱觀近幾年的高考試題，主要有以下幾種類(lèi)型和求解方法.

一、簡(jiǎn)單的數(shù)量積問(wèn)題定義求解

平面向量的數(shù)量積的定義是：已知兩個(gè)非零向量 a與b 它們的夾角為θ，則數(shù)量積為 |a|·|b| cosθ.利用數(shù)量積的定義找向量模和夾角，此法稱(chēng)為定義法.

例1 （2011年江蘇）已知 e1，e2 是夾角為 2 3 π的兩個(gè)單位向量， a=e1-2e2，b= k e 1+ e 2，若 a·b =0，則實(shí)數(shù)k的值為 .

解析 ∵ e 1· e 2=| e 1|·| e 2|cos 2 3 π=- 1 2 .

∴ a · b =（ e 1-2 e 2）·（k e 1+ e 2）=k e 21+（1-2k） e 1· e 2-2 e 22=2k- 5 2 =0即k= 5 4 .

評(píng)注 本題主要考查向量的數(shù)量積兼顧向量數(shù)量積的運(yùn)算律.其實(shí)利用定義求向量的數(shù)量積關(guān)鍵是求出兩個(gè)向量的模及其夾角，這里面兩個(gè)向量的夾角容易弄錯(cuò)，切記是通過(guò)平移使兩個(gè)向量共起點(diǎn)時(shí)所形成的角是兩個(gè)向量的夾角.

二、幾何圖形中的數(shù)量積問(wèn)題求解

幾何圖形中的數(shù)量積求解問(wèn)題一般有三個(gè)方向可考慮：一是利用平面向量基本定理找到一組合適的基底將某個(gè)向量進(jìn)行線(xiàn)性轉(zhuǎn)化后再求解，此法稱(chēng)為基底法；二是利用坐標(biāo)計(jì)算，此法稱(chēng)為坐標(biāo)法.三是利用平面向量數(shù)量積的幾何意義，直接用投影的知識(shí)解題，或者利用幾何圖形性質(zhì)解題，稱(chēng)為幾何法.

1.基底法

基底法，即合理選擇一組基底（一般選取模和夾角均已知的兩個(gè)不共線(xiàn)向量），將所求向量均用

這組基底表示，從而轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)基向量的運(yùn)算.

圖1

例2 （2014年江蘇）如圖1，在平行四邊形ABCD中，已知，AB=8，AD=5，CP =3PD ，AP ·BP =2，則AB ·AD 的值是 .

解 AP ·BP =（AD +DP ）·（BC +CP ）

=（AD + 1 4 AB ）·（AD - 3 4 AB ）

=AD 2- 1 2 AB ·AD - 3 16 AB 2

=13- 1 2 AB ·AD =2，則AB ·AD =22.

評(píng)注 平面向量的基本定理是重要內(nèi)容.借助基底，通過(guò)有效轉(zhuǎn)化，使運(yùn)算量有所降低就能有效解決問(wèn)題，這是解決此類(lèi)問(wèn)題的通性通法.但是選擇合適基底是一個(gè)重要環(huán)節(jié)，指導(dǎo)學(xué)生盡可能多的選擇和模、夾角聯(lián)系更緊密的向量.

2.坐標(biāo)法

坐標(biāo)法，即建立合理坐標(biāo)系，求出向量所涉及點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決.如下面的例題.

圖2

例3 （2012年江蘇）如圖2，在矩形ABCD中，AB= 2 ，BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若AB ·AF = 2 ，則AE ·BF 的值是 .

解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊所在直線(xiàn)為x軸，AD邊所在直線(xiàn)為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A（0，0），B（ 2 ，0），C（ 2 ，2），D（0，2）， E（ 2 ，1），設(shè)F（x，2），

∴AB =（ 2 ，0），AF =（x，2），

∴AB ·AF =（ 2 ，0）·（x，2）= 2 x= 2

所以x=1，AF =（1，2），AE ·BF =（ 2 ，1）·（1- 2 ，2）= 2 .

評(píng)注 當(dāng)兩個(gè)向量的?；驃A角不好求時(shí)，雖然題目中沒(méi)有坐標(biāo)系，但可以建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，成功將幾何問(wèn)題變成代數(shù)問(wèn)題.

3.幾何法

利用數(shù)量積的幾何意義（向量的數(shù)量積等于一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影和該向量的模的乘積）解題.如上例3也可以利用幾何法進(jìn)行處理：

解析 由AB ·AF = 2 ，得|AB |·|AF |·cos∠FAB= 2 ，由投影的定義，得

|AF|·cos∠FAB=DF.

∵AB= 2 ，

∴DF=1，∴CF= 2 -1.

記AE 和BF 之間的夾角為θ，∠AEB=α，∠FBC=β，則θ=α+β.

又∵BC=2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE=1.

∴AE ·BF =|AE |·|BF |·cosθ

=|AE |·|BF |·cos（α+β）

=|AE |·|BF |（cosαcosβ-sinαsinβ）

=BE·BC-AB·CF

=1×2- 2 （ 2 -1）= 2 .

評(píng)注 本題圖形中有直角可以建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后求解.用坐標(biāo)法求向量的數(shù)量積，也可以用線(xiàn)性表示法，但相對(duì)來(lái)說(shuō)都比較復(fù)雜，若用幾何法就非常簡(jiǎn)單.

三、隱含數(shù)量積的問(wèn)題處理

1.“?！钡膯?wèn)題

“模”的問(wèn)題看起來(lái)是長(zhǎng)度問(wèn)題，但往往可以利用 a =| a |2被轉(zhuǎn)化成數(shù)量積問(wèn)題解決.

例4 （2008年江蘇） a ， b 的夾角為120°，| a |=1，| b |=3，則|5 a - b |= .

解析 本小題考查向量的線(xiàn)性運(yùn)算.|5 a - b |2=（5 a - b ）2=25 a 2-10 a · b+b 2=25×12-10×1×3×（- 1 2 ）+32=49，故|5 a - b |=7.

2.“垂直關(guān)系”的數(shù)量積問(wèn)題

“垂直”問(wèn)題通?？梢越柚鷮?duì)應(yīng)向量的數(shù)量積為零轉(zhuǎn)化，有時(shí)在解析幾何中也能見(jiàn)到此法.

例5 （2013年江蘇）已知 a =（cosα，sinα）， b =（cosβ，sinβ），0<β<α<π.若| a - b |= 2 ，求證： a ⊥ b

證明 a - b =（cosα-cosβ，sinα-sinβ），則| a - b |2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2=2-2（cosα·cosβ+sinα·sinβ）=2，

即cosα·cosβ+sinα·sinβ=0，即 a · b =0，

則 a ⊥ b .

以上是結(jié)合歷年考查平面向量的數(shù)量積的高考題進(jìn)行的分類(lèi)，希望能幫助學(xué)生在遇到具體問(wèn)題時(shí)，找到合理、恰當(dāng)?shù)姆椒?，正確、快速地求解.方便學(xué)生理解掌握平面向量數(shù)量積的知識(shí)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)變能力.