喬 丹， 黃鵬飛， 鄭逸祥， 楊鳳鵬

(上海交通大學 船舶海洋與建筑工程學院，上海200240)

0 引 言

人字梯是用于在平面上方空間(如屋頂)進行裝修等類別工作的一類登高工具，因其使用時，左右主支撐架及地面構成一個等腰三角形，看起來像一個“人”字，因而把它形象地稱為人字梯?；顒拥娜俗痔菔菍蓚€梯子的頂部用活頁連在一起，移動時可以合起來，由于其靈活性，被廣泛應用于電工操作上。早期的人字梯一般是由木材制作的，隨著金屬工業(yè)的發(fā)展，現(xiàn)在多利用鋁合金材料;鋁合金人字梯具有輕便、美觀、耐用的特點，且造價不高，故被廣泛使用。

隨著人字梯越來越多得出現(xiàn)在不同的生產生活等環(huán)境中，隨之也出現(xiàn)了一些結構更復雜的人字梯，如可升降人字梯等。而在使用過程中，人字梯的強度、剛度、穩(wěn)定性，以及使用人員的安全都是其設計和生產必須考慮的因素。因此，對人字梯結構進行受力分析與試驗測試，得出在不同受力狀態(tài)下的應力分布規(guī)律，從而給使用者提供更加合理的使用方案是十分必要且有意義的。

本文主要研究人字梯的不同部分在使用過程中應力、應變和位移的分布規(guī)律。綜合運用了有限元分析、理論計算和試驗研究方法手段，得到人字梯在不同受力狀態(tài)下的受力特征，并通過理論分析與試驗結果的比較，嘗試完善理論體系，為人字梯的實際應用和安全評估提供參考性建議。

1 研究對象

采用生活和工程中普遍使用的可升降人字扶梯，其材質為鋁合金結構，如圖1 所示?？紤]到目前在不同的資料中，對于人字梯各部件的命名較為混亂，為了便于研究闡述，本文對人字梯各個部分進行了標識，且對其命名做了詳細規(guī)定，如表1 所示。

圖1 人字梯的主體結構圖示及編號

表1 人字梯的主體結構名稱及編號

2 分析測試

2.1 有限元分析

為清晰直觀地了解人字梯受載后的應變和位移情況，采用Solidworks［1］軟件進行建模與模擬加載，該軟件模塊使用了有限元分析方法(FEM)［2-4］。由于可升降梯的模型構建較為復雜，而且可升降部分的結構對所研究內容的受力分析影響不大，因此在建模和分析過程中進行了簡化，構建了不可升降人字梯模型。

由于人字梯的強度、剛度和穩(wěn)定性良好，在使用過程中發(fā)生位移形變較小。為了更容易直觀、清晰地表明受載后的人字梯的力學響應情況，分析中采用了較大的載荷以獲得較大的位移變形量，并且軟件對于實際的位移和應變做了夸張?zhí)幚怼D2 為人字梯第二級腳踏板受載后的應力情況(a)和位移情況(b)，圖3 為人字梯第五級腳踏板受載后的應力情況(a)和位移情況(b)。

圖2 人字梯第二級腳踏板受載后的應力和位移

圖3 人字梯第五級腳踏板受載后的應力和位移

2.2 理論分析

在人字梯的正常使用過程中，假設人的雙腳同時踏在腳踏板的兩個不同位處，且雙腳向下施加的載荷是基本相等?；谶@樣的假定，受載的踏板可以簡化為一個兩端固定，中部受到2 個大小相等的集中力矩作用的簡支梁［5-6］，如圖4 所示。

圖4 受載踏板簡化為簡支梁示意圖

根據(jù)材料力學理論［7-8］，當B、C 兩處的載荷強度均為p 時，可求得A、D 兩處的支反力分別為:

簡支梁的AB、BC、CD 彎矩方程則可以表示為:

觀察上述3 式可知，簡支梁AB、BC、CD 三段上的彎矩方程均為一次線性方程，取特殊點加以考察，有:

考慮到M(x1)和M(x2)可能存在的有規(guī)律的大小關系，并且整個簡支梁模型的最大彎矩只可能為M(x1)或M(x2)之一，將兩式相減，可得:

由上述可知，當x1＜x2時:

根據(jù)以上分析，簡支梁彎矩圖如圖5 所示:其中A、B、C、D 點所對應的彎矩分別為:

圖5 簡支梁彎矩圖示意

圖6 簡支梁應變圖示意

另一方面，由彎曲應力公式σ =－My/Iz可知，在所研究的點距離材料的截面形心的距離相同，并且截面大小和形狀固定的前提下，極慣矩是一個常量，因而材料的正應力與該處的彎矩成異號線性的關系，再由胡克定律，應力與應變亦成線性關系，因此可以得到受載踏板的橫向應變圖分布規(guī)律(見圖6)［9］。

2.3 支撐角度

對于踏板的研究，應當基于對人字梯整體安全性的穩(wěn)定性的考慮的基礎之上，因此本文在研究人字梯對加在不同位置的載荷的響應之前，對于人字梯與地面的摩擦力和人字梯安全使用的最大半張角進行了考慮。對于支撐角度的考慮基于以下假設:①梯架均看作剛性，無論其承受多大的力，都不致發(fā)生形變;②攀登中的人無論負重與否，載體上都不發(fā)生前后搖晃，即保證人與梯子之間的相互作用力只發(fā)生在豎直方向;③梯子兩側的主支撐架以鉸鏈在O 點相連接，其間的摩擦力忽略不計。

如圖7 所示，人字梯的兩臂AO 與BO 之間的夾角是2θ(以下稱θ 為半張角)。臂長為l，每臂的重心離O 點距離為r，重量為G/2，一名重量為p 的人站在AO臂上與A 點相距x，此時地面作用于A、B 點的支持力及摩擦力分別為NA，NB，fA，fB，方向如圖7 所示。

圖7 人字梯的總體受力示意圖

由理論分析可得［10］:無論人站在梯子一側的位置如何，地面實際施于梯子兩腳A、B 處的靜摩擦力恒相等。與此相反，A、B 與地面之間可能產生的最大靜摩擦力卻不相等，且有fBm≤fAm。因此，只要保證梯子不站人的那一個側臂不與地面“打滑”，使用人字梯就是安全可靠的了。關于如何做到這一點，需再對以下兩式作較為詳細的考察。fBm是B 側人字梯與地面之間可能產生的最大靜摩擦力;fB為B 側人字梯與地面之間所產生的實際摩擦力;μ0為人字梯與地面之間的摩擦系數(shù):

根據(jù)對上述表達式的分析，可得到結論如下:

(1)理論上安全使用人字梯的最大半張角為θ0=但考慮到人爬梯時的晃動等因素，一般要求θ0=tan－1μ0，考慮到該人字梯在正常使用時μ0=0.4，則θ=22°。

(2)地面越是光滑，μ0減小，梯子的最大半張角也減小。

(4)人的重量增加，θ0有所減小。因此，人越重，梯子越容易滑倒。

(5)在人字梯的半張角滿足θ≤tan－1μ0的情況下，隨著人的位置升高才會同時增加滑倒的可能性。

2.4 試驗方案設計

人字梯結構所受應變變化規(guī)律不僅受到張開角度的影響，且與施加載荷所處的位置、距離等參數(shù)有關。而當人字梯張角α 固定時，兩個載荷所處的位置所形成的有序數(shù)對(x1，x2)便是試驗考慮范圍內的唯一變量。而定義在一個邊長為l 的正方形上的點的集合可以看作是有序數(shù)對(x1，x2)的幾何本質，如圖8 所示，最終的應變結果是定義在平面上的二元函數(shù)。若考慮人字梯張角α 的影響，則應變應該是定義在空間上的三元函數(shù)。

有限平面上的點的個數(shù)是無數(shù)個，因此無法依靠窮盡此有限平面上所有的點的辦法來給出相應的函數(shù)，因此試驗考慮使用“微元假設”，亦即:將邊長正方形對稱等分為16 個正方形方塊，每個方塊取其中心點作為研究對象，以此研究對象的實驗數(shù)據(jù)作為此方塊上所有的點的代表，這樣就將對無窮點集上所有的點的研究化歸為僅對16 個點的研究，如圖9 所示。另一方面，人字梯的踏板具有位置對稱性，即距離踏板左端距離一定的兩個載荷，位置互換后效果不變。因此只需找到互相不成位置對稱關系的點進行研究，這樣的互相不成對稱關系的點，在16 個點中有6 個，如圖10所示。最后，考慮到人字梯踏板具有左右對稱性，即距離踏板左端一定距離的兩個載荷，與距離踏板右端相同距離的兩個載荷，在受力情況和響應情況上應當是對稱的。因此為了進行重復試驗，降低系統(tǒng)誤差，盡可能減小偶然誤差，試驗需要選取比6 個點稍多的點，以完成重復試驗，因此最終確定的試驗點共10 個，如圖11 所示。

圖8 無窮點集研究方案

圖9 16 定位點研究方案

圖10 6 定位點研究方案

圖11 10 定位點研究方案

考慮到試驗需要在試驗方案規(guī)定的位置準確施加載荷，但是從不同角度來觀察受載腳踏板，在不設置詳細且唯一的坐標軸的情況下，加載詳細位置難以準確表述。為了實現(xiàn)試驗設計的意圖，需要設置相應的坐標軸來進行試驗設計意圖和實際試驗操作的一一對應。受載人字梯第二階腳踏板的坐標軸設置如圖12所示，第五階腳踏板的坐標軸設置如圖13 所示。以站在人字梯的外側向內觀察時，腳踏板的左端點為0 點，向右展開坐標系。圖中的2A1 ～2A8 與5A1 ～5A8 均指應變片編號。需要說明的是，為了試驗操作和試驗數(shù)據(jù)分析的方便，第二階腳踏板的坐標設置與第五階腳踏板的坐標設置完全相同。

圖12 第二階腳踏板的坐標設置示意圖

圖13 第五階腳踏板的坐標設置示意圖

試驗采取10 定位點解決方案，選取第二級踏板、第五級踏板作為研究對象，將踏板上表面等分為8 份，假設每份長度為l0，并在這8 個分點形成的8 個間隙布好橫向應變片。完成布片，連接好應變儀并成功調試之后，選取以下數(shù)組作為加載位置(見表2)，分別在第二踏板和第五踏板進行加載(實際加載情況見圖14)。

2.5 試驗數(shù)據(jù)與處理

2.5.1 試驗數(shù)據(jù)整理和定性分析

根據(jù)之前對于支撐角度的分析，人字梯的安全張角可在0° ～44°之間調節(jié)。出于增強試驗數(shù)據(jù)的代表性，選擇張角α1=25.88° ＞2θ/2 =θ 以及α2=17.65°＜2θ/2 =θ 進行測試分析。試驗得到了一套系統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)，包括在2 個張角的前提下，在每個張角不變時，分別在二號腳踏板和五號腳踏板的規(guī)定的10 個數(shù)組位置施加載荷的應變響應。數(shù)據(jù)整理見表3(第一張角α1=25.88°)和表4(第二張角α2=17.65°)。

腳踏板橫向彎曲應變的驗證，采用圖示法進行理論分析結果與試驗測試數(shù)據(jù)的驗證。即做出理論研究假設條件下的應變曲線，然后根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，采用曲線擬合的辦法，做出試驗應變曲線，比較兩者在圖線的大致走向和具體細節(jié)特征方面的異同。理論應變曲線和實際應變曲線的比較如表5 所示。圖中所有桿件均為左端為A 點，右端為B 點，為了表達清晰，在表格及圖片之中未作任何標注。從表中的各條曲線可以看出，試驗測試應變曲線與理論分析結果吻合較好。因此，在確當?shù)哪Ｐ图僭O的前提下，材料力學所建構的簡支梁模型可以非常好地解釋可升降人字梯踏板在不同受力狀態(tài)下的應力和應變分布規(guī)律和特征。

2.5.2 試驗數(shù)據(jù)的定量分析

根據(jù)理論分析結果，參考式(9)～(11)，最大應變的表達式(這里取絕對值)應該具有如下特征:

(2)x1和x2具有對稱性，即互換x1和x2之后，表達式的結果不變。

因此，根據(jù)上述最大應變表達式的性質，可以得到最大應變的表達式的結構為:

其中，a、b、c 為待定系數(shù)。

為了增強上述經驗公式的適用性和推廣性，定義x1和x2為加載位置與踏板左端的距離與踏板全長的1/8 的比值，故0≤x1，x2≤8，相對應地，令l =8?；谝陨峡紤]，將實驗數(shù)據(jù)整理如表6 所示，其中x1+x2、(x21+x22/l)、x1x2/l 可以看作上述公式中的3 個已知量，根據(jù)計算出的已知量和實驗測得的最大應變值，我們能夠通過數(shù)值分析［11-12］的方法，使用求解矩陣方程的手段，逐步求出a、b、c 3 個待定系數(shù)比較理想的數(shù)值解。

上述所有數(shù)據(jù)，連同待求的a、b、c 3 個待定系數(shù)，共同構成了一個由3 個未知數(shù)、40 個方程所組成的高維線性方程組，該方程組約束的個數(shù)大于未知數(shù)的個數(shù)，無法求得精確吻合的解，但是可以通過最小二乘法等數(shù)學手段［13-15］，求得與試驗結果接近的近似解。由于Matlab［16］軟件的矩陣方程的求解功能，在求解該類高維線性方程組時，可以使用最小二乘法擬合的算法，因此本文采用Matlab 軟件進行求解。

輸入系數(shù)矩陣A 和常數(shù)矩陣B，執(zhí)行X =AB 命令，解得結果如下:a =22. 422 3，b = 12. 281 9，c =－58.790 4，則:

經過驗證，該公式的擬合情況良好，可以使用該公式進行安全研究和校核。

3 結 論

本文基于理論分析、數(shù)值計算和試驗測試的方法，

探討了正常使用狀態(tài)下，張角固定的人字梯在不同靜止載荷狀態(tài)下的多類別應力分布規(guī)律。研究了在量值相同但作用位置不同的靜載作用下，所產生的不同類別應變的變化規(guī)律。主要結論有:

表3 α1 =25.88°的對應數(shù)據(jù)記錄表

表4 α2 =17.65°的對應數(shù)據(jù)記錄表

表5 理論應變曲線和實際應變曲線的比較

表6 求解矩陣方程所需對應數(shù)據(jù)整理表

(1)采用有限元分析的方法給出人字梯在實驗設計載荷作用下的應力和位移響應，對人字梯結構進行進簡化建模，并通過理論分析給出梯子踏板上彎曲應力應變的分布規(guī)律和最大半張角的選取建議。

(2)在數(shù)值計算和理論分析的基礎上，對試驗方案進行了設計。借鑒有限元分析的相關思想，采用“微元假設”法，將由有序數(shù)對(x1，x2)所構成的正方形平面合理分為16 塊，每塊選取一個特征點進行試驗測量，考慮對稱性，共選取10 個特征點，通過對稱化歸等手段，完整地得到了有代表性的實驗結果。

(3)通過試驗測試數(shù)據(jù)和理論分析結果的比較，簡支梁簡化模型可以非常好地解釋可升降人字梯踏板在不同受力狀態(tài)下的應力和應變分布規(guī)律和特征。

(4)得到各類應變的最大值與兩個等量載荷的作用位置的關系的經驗公式，以便在實際應用中進行安全評估和校核。

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