董嬋嬋，張 權(quán)，郝慧艷，張 芳，劉 祎，孫未雅，桂志國(guó)，2＋

（1.中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051；2.中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原030051）

0 引 言

目前圖像降噪的方法眾多，如基于偏微分方程 （partial differential equation，PDE）的圖像濾波法［1，2］、小波濾波法［3，4］、非局部均值 （nonlocal means，NL－means）濾波法［5］等。其中，基于PDE的圖像降噪算法能夠較好緩解降噪和邊緣保留之間的矛盾，逐漸成為圖像降噪領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。自從Perona－Malik提出各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型 （P－M 模型），基于PDE 的圖像降噪算法引起了人們的廣泛關(guān)注。P－M 模型利用梯度檢測(cè)邊緣，而噪聲的梯度有時(shí)比邊緣的梯度大，這使得處理后的圖像仍含有噪聲點(diǎn)。Chao等［6］在P－M 模型的基礎(chǔ)上增加了圖像灰度方差的信息，可以進(jìn)一步去除圖像中灰度方差較小的噪聲；為了克服TV 模型的“階梯”效應(yīng)，Chen等提出了基于差分曲率的自適應(yīng)全變分降噪算法［7］，算法提出新的邊緣檢測(cè)算子函數(shù)，有效避免了TV 模型的 “階梯”效應(yīng)；陳強(qiáng)等將片相似性思想引入到各向異性擴(kuò)擴(kuò)散降噪模型中［8］，使處理后的圖像在去除噪聲的同時(shí)，保留了更多的細(xì)節(jié)；Guo等提出了基于變指數(shù)的自適應(yīng)P－M 圖像降噪模型［9］，在圖像的內(nèi)部區(qū)域采用熱傳導(dǎo)方程，在圖像的邊緣處采用P－M 方程。為了避免二階PDE產(chǎn)生的 “階梯”效應(yīng)，學(xué)者們利用高階PDE對(duì)高頻噪聲平滑速度更快的特點(diǎn)，提出了四階PDE 圖像降噪算法［10－13］，本文將參考文獻(xiàn) ［10，13］中的四階PDE 模型，分別記為Mahammad模型和Boli模型。受文獻(xiàn) ［6，7］的啟發(fā)，本文提出了一種改進(jìn)的各項(xiàng)異性擴(kuò)散圖像降噪算法，該算法可以使處理后的圖像在去除噪聲的同時(shí)保留更多的細(xì)節(jié)特征，提高圖像降噪的性能。本文對(duì)該算法進(jìn)行了分析與研究，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其有效性和可行性。

1 Chao和Tsai算法及其不足

傳統(tǒng)P－M 模型的表達(dá)式為

式中：ct——擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)，其表達(dá)式為

傳統(tǒng)P－M 模型僅利用梯度來(lái)控制模型的擴(kuò)散速度，而圖像中有些平坦區(qū)域的梯度與細(xì)節(jié)處的梯度相差無(wú)幾，因此只用梯度來(lái)檢測(cè)邊緣時(shí)不夠的。Chao和Tsai指出，圖像背景區(qū)域的方差遠(yuǎn)小于圖像邊緣，對(duì)傳統(tǒng)的P－M 模型做出了改進(jìn)，提出了新的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)，如下所示

式中：σ2t，N（x，y）——?dú)w一化方差，其表達(dá)式為

由于邊緣處有較大的梯度值和方差，所以Chao和Tsai所提算法可以更好的區(qū)分邊緣和背景，提高恢復(fù)圖像的質(zhì)量。

然而當(dāng)圖像含有噪聲時(shí)，受噪聲的影響，圖像中有些背景區(qū)域的方差和弱邊緣處的方差相差無(wú)幾，甚至有些背景區(qū)域的方差比弱邊緣處的方差稍大，如圖1所示。

圖1 含高斯噪聲的lena圖像

圖1 （b）為中心坐標(biāo) （72，16），窗口大小 （3×3）的平坦區(qū)域的像素，圖1 （c）為中心坐標(biāo) （143，56），窗口大小 （3×3）的細(xì)節(jié)區(qū)域的像素，其灰度值分別為

平坦區(qū)域的方差為：5.1966， 邊緣處的方差為：2.2747。

對(duì)于上面的情況，若擴(kuò)散強(qiáng)度不足，雖可以保留圖像邊緣，但方差大的背景區(qū)域的噪聲去除不干凈，會(huì)留有噪聲點(diǎn)；若擴(kuò)散程度過(guò)強(qiáng)，雖可以濾除背景區(qū)域的噪聲，但同時(shí)會(huì)丟失圖像的細(xì)節(jié)特征。因此，利用梯度和方差檢測(cè)邊緣的Chao和Tsai算法并不能很好的權(quán)衡噪聲去除和細(xì)節(jié)保留之間的矛盾。

2 本文提出的算法

2.1 算法原理

文獻(xiàn) ［7］提出的差分曲率可以較好的區(qū)分細(xì)節(jié)和平坦區(qū)域、獨(dú)立噪聲，其表達(dá)式為

式中：Iηη和Iξξ——圖像I在梯度方向和水平方向的二階導(dǎo)數(shù)。梯度和切線(xiàn)方向的方向向量分別為

則

同理可得

其中

由式 （6）可知：在邊緣處，｜Iηη｜較大，｜Iξξ｜較小，其差分曲率D 值較大；在平坦區(qū)域，｜Iηη｜和｜Iξξ｜都較小，所以D值較??；在獨(dú)立噪聲點(diǎn)處，｜Iηη｜和｜Iξξ｜都較大，且?guī)缀跸嗟?，所以D 較小。因此根據(jù)差分曲率D值大小，可以很好的區(qū)分邊緣和平坦區(qū)域、獨(dú)立噪聲點(diǎn)。

根據(jù)圖1 （b）平坦區(qū)域和圖1 （c）弱邊緣的灰度值，由式 （7）～式 （11）計(jì)算其差分曲率：

平坦區(qū)域

弱邊緣處

由上面的計(jì)算可知，即使在弱邊緣處差分曲率的值也比平坦區(qū)域的值大，而由上節(jié)圖1灰度方差的計(jì)算結(jié)果可知，灰度方差無(wú)法很好的區(qū)分弱邊緣和噪聲，即差分曲率區(qū)分弱邊緣和平坦區(qū)域的能力優(yōu)于灰度方差。因此，本文提出新的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)如下

式中：dt，N——?dú)w一化差分曲率

此時(shí)，各項(xiàng)異性擴(kuò)散方程為

2.2 算法步驟

（1）首先由式 （7）～式 （11）計(jì)算梯度方向和切線(xiàn)方向的二階導(dǎo)數(shù)Iηη和Iξξ。

（2）將第一步計(jì)算的值帶入式 （6），可計(jì)算出差分曲率D，并可由式 （13）得出歸一化差分曲率。

（3）由表達(dá)式 （15）得到4個(gè)方向的梯度值。

（4）把第二步和第三步計(jì)算的值帶入式 （12），得到擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)的值。

（5）最后依據(jù)表達(dá)式 （14）對(duì)圖像進(jìn)行處理。

（6）重復(fù)上述步驟 （1）～步驟 （5），直至得到較好的恢復(fù)圖像I。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文采用256×256的lena標(biāo)準(zhǔn)圖像作為測(cè)試圖像，圖2為本算法與P－M 模型、TV 模型、Chao和Tsai模型的比較分析；為了更清晰的展示各模型降噪效果，圖3給出了圖2對(duì)應(yīng)模型處理結(jié)果的局部放大圖像；圖3為本算法與LLT 模型、模型、模型的比較分析。

圖2 （a）為lena原始圖像，圖2 （b）為加入方差為0.002的高斯噪聲圖像，圖2 （c）～ （f）分別為經(jīng)過(guò)P－M模型、TV 模型、Chao和Tsai模型以及本文提出模型的處理結(jié)果圖像。圖3為圖2中各模型處理結(jié)果的局部放大圖。與P－M 模型處理結(jié)果相比，Chao和Tsai所提模型處理圖像的毛發(fā)的細(xì)節(jié)保留的更多，如圖2 （c）和 （e）所示。由圖2和圖3中的圖 （c）、（e）和 （f）可以看出，P－M 模型和Chao和Tsai模型處理后的圖像均含有斑點(diǎn)噪聲，且帽子上的細(xì)節(jié)紋理丟失較多，而本文算法處理后的圖像帽子上的細(xì)節(jié)紋理很清晰，且不存在噪聲點(diǎn)。由圖3中各模型處理結(jié)果的局部放大圖可以清晰的看出，圖3 （f）與圖3（c）、（d）和 （e）相比，本文算法處理后的lena圖像帽檐上保留的細(xì)節(jié)紋理較多且清晰，從而提高了圖像質(zhì)量。

從圖4可知，LLT 模型丟失了很多細(xì)節(jié)，圖像較模糊；如圖4 （d）所示，Bibo模型處理后的lena圖像帽子上的紋理被平滑，也丟失了重要的細(xì)節(jié)信息，但與圖4 （c）LLT模型相比，Bibo模型比傳統(tǒng)的LLT 模型保留了更多邊緣；將圖4中的LLT 模型和Bibo模型與圖4 （f）本文算法相比可以清晰的看出，本文算法處理后的圖像保留了更多弱邊緣和紋理等細(xì)節(jié)特征，如lena圖像的頭發(fā)和帽子上的褶皺紋理都比較清晰；圖4 （f）與圖4 （e）相比，雖然處理后的圖像都保留了較多的邊緣和細(xì)節(jié)，但Mohammad模型的計(jì)算較復(fù)雜，運(yùn)算量較大。

為了對(duì)算法進(jìn)行客觀、定量的評(píng)價(jià)，本文采用較常用的

圖2 本文算法與二階PDE模型的處理結(jié)果

圖3 本文算法與二階PDE模型處理結(jié)果的局部放大圖

圖4 本文算法與四階PDE模型的處理結(jié)果

信噪比、平均絕對(duì)誤差、峰值信噪比來(lái)評(píng)價(jià)處理后圖像的質(zhì)量。這些參數(shù)的定義如下：

（1）信噪比 （signal to noise ratio，SNR）

式中：σ［f（x，y）］和σ［n（x，y）］——圖像和噪聲的標(biāo)準(zhǔn)方差。信噪比越高，圖像的質(zhì)量越好，噪聲越少。

（2）峰值信噪比 （peak signal to noise ratio，PSNR）

PSNR是圖像信噪比變化情況的統(tǒng)計(jì)平均，PSNR 值越大，圖像失真越少。在8 位量化的灰度圖像中，通常取Peak ＝255。

（3）平均絕對(duì)誤差 （mean absolute error，MAE）

式中：M，N——圖像大小，u0——原始圖像，u——恢復(fù)圖像。MAE——去噪后圖像與原始圖像之間的差異，MAE越小，去噪效果越好。

表1列出了本算法與其它算法的圖像質(zhì)量評(píng)估參數(shù)，由表1可以看出：本文提出算法與其它算法相比，信噪比SNR 和峰值信噪比PSNR 都較大，平均絕對(duì)誤差MAE 較小。說(shuō)明本算法處理后的圖像質(zhì)量較好，能夠有效地去除噪聲，并保留圖像的邊緣等重要細(xì)節(jié)特征。

表1 不同降噪算法處理后的質(zhì)量評(píng)估參數(shù)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)Chao和Tsai提出降噪模型的不足，構(gòu)造出新的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)，提出了改進(jìn)的各項(xiàng)異性擴(kuò)散模型。新的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)可以更好的區(qū)分弱邊緣、噪聲點(diǎn)和平坦區(qū)域，進(jìn)而算法可以在弱邊緣、紋理等細(xì)節(jié)處減小平滑，在噪聲點(diǎn)和平坦區(qū)域增強(qiáng)平滑。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本算法可以較好的權(quán)衡噪聲去除和細(xì)節(jié)保留之間的矛盾，即可以在濾除噪聲的同時(shí)，保留較多的弱邊緣信息。從主觀的視覺(jué)效果和客觀的質(zhì)量評(píng)價(jià)可以看出，算法的降噪效果優(yōu)于Chao和Tsai提出模型、P－M 模型和TV模型、LLT模型、Bibo模型、Mohammad模型。因此，本文提出的算法對(duì)圖像降噪有較好的效果，對(duì)圖像進(jìn)一步的處理與研究有一定的意義。

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