劉建軍，石定元，武國寧

（1.中國石油大學(xué) 理學(xué)院，北京102249；2.北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京100191）

0 引 言

基本的混沌優(yōu)化算法 （COA）［1－7］在搜索末期易陷入局部且收斂慢，因此，各種混合及改進(jìn)混沌優(yōu)化算法相繼被提出，將混沌優(yōu)化算法與梯度類算法結(jié)合［8，9］，改進(jìn)混沌優(yōu)化算法中初始變量的選?。?0］等相結(jié)合后的混合算法均獲得一些良好的效果。以上各種改進(jìn)或混合算法仍存在不足之處，如基于梯度類混合算法要求目標(biāo)函數(shù)可微等。為使算法中變量的分布具有更好遍歷性、算法收斂快及得到高精度的全局最優(yōu)解，本文在變尺度混沌優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)的混合混沌優(yōu)化算法。改進(jìn)算法既引入了遍歷性更好的Kent映射來生成初始變量，又引入了穩(wěn)定變化的尺度因子，在算法末期加入Nelder－Mead單純形搜索策略，提高算法的收斂速度和解的精度。通過對一些典型測試函數(shù)進(jìn)行數(shù)值比較實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了改進(jìn)算法的高效性。

1 Logistic映射與Kent映射的分布特征

現(xiàn)有的混沌優(yōu)化算法及改進(jìn)均采用Logistic映射生成新變量 （解），但Logistic映射的遍歷性并不是最好的，從數(shù)學(xué)上講，Kent映射與Logistic映射是同構(gòu)的［11］，因此Kent映射也可用于隨機(jī)優(yōu)化算法中生成隨機(jī)新解的方法，而Kent映射具有比Logistic映射更好的均勻遍歷性，其迭代過程同樣適合程序化運(yùn)行。我們可以通過統(tǒng)計(jì)的方法說明Kent映射比Logistic映射好的遍歷性。

由Logistic映射生成的混沌序列服從切比雪夫型分布，其概率密度函數(shù)具有邊緣稠密、內(nèi)部稀疏的特點(diǎn)，不利于搜索的效率和能力。Logistic映射的系統(tǒng)方程為

式中：μ——控制參數(shù)，取值范圍為0＜μ ≤4。當(dāng)μ ＝4時，該映射對應(yīng)一種滿映射混沌狀態(tài)，此時的Lyapunov指數(shù)約等于0.691。在區(qū)間（0，1）內(nèi)的概率密度函數(shù)為

Kent映射是另一個具有代表性且形式簡單的離散混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程可表為如下形式

其中控制參數(shù)a∈（0，1），當(dāng)a＝0.4時，其概率密度函數(shù)在（0，1）內(nèi)服從均勻分布，即

此時，它的Lyapunov 指數(shù)約為0.696，大于經(jīng)典的Logistic映射的0.691。而Lyapunov指數(shù)可以用來刻畫初始狀態(tài)微小不確定性的發(fā)散比率，因此，Kent映射比Logistic映射具有更好的遍歷性。圖1 是將Kent映射與Logistic映射各迭代20 000次得到的 ［0，1］上的概率分布直方圖。圖中顯示Logistic 映射在區(qū)間 ［0，0.0125］和［0.9875，1］上取值概率較高。而Kent映射在各區(qū)間分布相對較均勻。

圖1 Kent映射和Logistic映射的概率分布直方圖

2 Nelder－Mead單純形法

Nelder－Mead單純形法是求解無約束優(yōu)化的一種直接方法，由于它不需要目標(biāo)函數(shù)的梯度信息，因此被廣泛應(yīng)用于不可微的連續(xù)函數(shù)優(yōu)化及諸多啟發(fā)式算法中［12］。單純形法是在給定Rn中一個單純形后，先計(jì)算出n＋1個頂點(diǎn)上的函數(shù)值，再找出最大函數(shù)值的點(diǎn) （稱為最高點(diǎn)）和最小函數(shù)值的點(diǎn) （稱為最低點(diǎn)），然后經(jīng)過反射、擴(kuò)展、壓縮等過程，確定出一個較好點(diǎn)，最后用它取代最高點(diǎn)來構(gòu)成新的單純形，也可以通過向最低點(diǎn)收縮，形成新的單純形。單純形法即是通過構(gòu)造一系列的單純形來逼近極小點(diǎn)。

針對一般的無約束優(yōu)化問題

下面給出Nelder－Mead單純形法算法的步驟框架。

（1）構(gòu)造初始單純形。任意選取n＋1個不同的點(diǎn)并計(jì)算其函數(shù)值。通過比較這些值的大小，確定最高 （壞）點(diǎn)xh，最低 （好）點(diǎn)xl，次低 （壞）點(diǎn)xg，并且yh＝

（2）計(jì)算除xh以外的n 個點(diǎn)的中心點(diǎn)xc，即xc＝求出反射點(diǎn)xr＝xc＋α（xc－xh），其中α為反射系數(shù)，一般取值為1。計(jì)算函數(shù)值yr＝f（xr）；

（3）若yr≥yh，則進(jìn)行壓縮，并令壓縮點(diǎn)xs＝xh＋λ（xr－xh）其中0＜λ＜1稱為壓縮因子；若ys≤yl，令xl＝xs，否則進(jìn)行擴(kuò)張，令擴(kuò)張點(diǎn)xe＝xh＋μ（xr－xh）其中，μ＞1稱為擴(kuò)張因子。一般取1.2＜μ＜2。若ye≤yr，令xs＝xe，否則xs＝xr；

（4）若ys≤yg，則令xh＝xs。以新的xh與其它的n個點(diǎn)一起構(gòu)成新的單純形，重新確定xh，xl和xg，并重復(fù)前述步驟 （2）。否則進(jìn)行下一步；

（5）單純形向點(diǎn)xl收縮，令xi＝，i＝1，2，…，n。然后轉(zhuǎn)向（1）。重復(fù)上述過程，直到滿足停止條件｜yhyl｜≤ε，其中ε為預(yù)先給定的精度。

單純形算法具有計(jì)算量小、收斂速度快且對優(yōu)化函數(shù)要求低 （不要求可微）的特點(diǎn)，因此被應(yīng)用于很多不可微函數(shù)優(yōu)化問題中。單純形法的不足之處是過分依賴于初始解的位置，容易陷于局部，很難搜索到全局最優(yōu)解。因此，將單純形法與混沌優(yōu)化算法相結(jié)合，可以提高混沌優(yōu)化算法的收斂速度和最優(yōu)解的精度。

3 基于Kent映射的混合混沌優(yōu)化算法

應(yīng)用Kent映射、變尺度因子和單純形算法，構(gòu)造一種混合混沌優(yōu)化算法 （KSCOA）。算法分為兩個階段，即粗搜索階段和細(xì)搜索階段。在粗搜索階段使用Kent映射，以提高算法遍歷搜索空間的能力。而細(xì)搜索階段結(jié)合了變尺度方法和單純形算法的優(yōu)勢，此階段又分為前期和后期，即細(xì)搜索的前期利用變尺度方法的大區(qū)間上的尋優(yōu)能力將最優(yōu)解的搜索范圍最終確定在一個小的區(qū)間上，然后在細(xì)搜索的后期利用單純形算法的局部尋優(yōu)能力以搜索到一個精度較高的最優(yōu)解。本文的這種混合策略不但可以保證解的全局最優(yōu)性，同時相較于傳統(tǒng)的變尺度混沌方法具有更快的收斂速度和獲得更高精度解的能力。

本文算法的步驟如下：

步驟1 初始化各項(xiàng)參數(shù)。

令flag1控制粗混沌迭代搜索進(jìn)程，flag2控制細(xì)搜索前期的進(jìn)程，flag3控制細(xì)搜索后期的進(jìn)程。ε1和ε2分別表示細(xì)搜索的前期和后期的精度，fmin用于存儲更新的函數(shù)極小值。初始混沌變量設(shè)為個m 具有微小差異的初值ci，i＝1，2，...，m。

步驟2 將混沌變量ci按式 （6）映射到函數(shù)優(yōu)化變量的分量取值區(qū)間［ai，bi］

步驟3 粗搜索。開始混沌迭代搜索。

如果f（xi）＜fmin，則fmin＝f（xi），＝xi，否則利用Kent映射生成新混沌變量，即ci＝kent（ci），flag1：＝flag1＋1。轉(zhuǎn)步驟2，如果flag1＞flag1max，轉(zhuǎn)步驟4。

步驟4 細(xì)搜索。

（1）用變尺度法搜索。

如果｜br＋1i－｜≤ε1，轉(zhuǎn)入 （2），否則，按式 （8）將當(dāng)前解變換到［0，1］區(qū)間

（2）用Nelder－Mead單純形算法搜索。

令x0＝為單純形搜索初始點(diǎn)構(gòu)造初始單純形S0＝［V0，V1，…，Vn］，按第2 節(jié)方法進(jìn)行反射、延伸、收縮搜索，得 Si＝ ［，…］。 令若，則x＊＝V ，fmin＝f（x＊）。轉(zhuǎn)步驟5。

步驟5 輸出最小值fmin，最優(yōu)解x＊，算法終止。

在步驟4 （1）中，變尺度因子γ按式 （9）的選取，圖2顯示了變尺度參數(shù) （因子）與細(xì)搜索次數(shù)的變化曲線，這種變化既保證算法前期收斂平緩又能使得γ在后期趨于一個較小的值從而使算法能夠較快收斂

同時，算法在運(yùn)行過程中，為保證區(qū)間縮小，必須要進(jìn)行越界處理：若＜，則＝；若＞，則＝。

圖2 變尺度參數(shù)變化曲線

4 算法性能測試與分析

為測試改進(jìn)算法KSCOA 的運(yùn)算性能，這里選用6 個常用于驗(yàn)證算法性能的典型測試函數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中只有第6個函數(shù)Schaffer函數(shù)為2維，其它均為任意有限維。表1列出了6個測試函數(shù)的表達(dá)式、多或單峰性、取值區(qū)間及最優(yōu)性情況。下面把本文改進(jìn)算法與混沌優(yōu)化算法的3個變種，即粗搜索階段使用Logistic映射的傳統(tǒng)變尺度混沌優(yōu)化方法 （LCOA）、粗搜索階段使用Kent映射的傳統(tǒng)變尺度混沌優(yōu)化方法 （KCOA）、粗搜索階段用Logistic映射細(xì)搜索階段用單純形變尺度相結(jié)合方法 （LSCOA）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

本文所用軟件壞境為：Win7 （X64），Matlab 7.7，計(jì)算機(jī)硬件配置為：奔騰雙核T3200主頻2GHZ，內(nèi)存2G。選取20個初始混沌變量c0（i）＝0.045i，i＝1，2，…，20，迭代次數(shù)設(shè)為1000。各算法均獨(dú)立運(yùn)行50次。

表2給出了測試函數(shù)選取2維時，比較Logistic映射和Kent映射構(gòu)造的COA 算法的平均計(jì)算時間與函數(shù)平均值的比較結(jié)果。

從表2比較分析出，Kent映射雖然在時間復(fù)雜度上稍遜于Logistic映射，但前者所得的平均值明顯優(yōu)于后者，這是由于Logistic映射的遍歷均勻性較差，概率密度函數(shù)決定絕大部分搜索點(diǎn)都分布在邊界區(qū)域，如果全局最優(yōu)解不在區(qū)間邊界附近，則該映射的全局搜索效率將大為降低。而Kent映射對應(yīng)的搜索點(diǎn)在搜索區(qū)間內(nèi)分布較均勻，因此用Kent映射取代Logistic映射確實(shí)能提升算法的全局尋優(yōu)能力。

Sphere函數(shù)是單峰函數(shù)，用它可以驗(yàn)證算法的收斂性，而Griewank函數(shù)是多峰函數(shù)的典型，用它可以驗(yàn)證算法的全局收斂性。因此，圖3只繪出了4種算法針對Sphere函數(shù)與Griewank函數(shù) （5維）在某次迭代過程中的收斂曲線。圖3 （a）顯示了對于單極值的連續(xù)函數(shù)，搜索末期使用單純形算法相較繼續(xù)使用變尺度方法來說明顯加快了收斂。圖3 （b）顯示了對于多極值問題，本文方法仍具有收斂較快的優(yōu)勢。特別是對高維函數(shù)，變尺度混沌優(yōu)化算法很難得到高精度解，但是只要加入單純形法參與運(yùn)行，則解的精度便會得到極大提高。

表1 測試函數(shù)

表2 Logistic與Kent的映射在粗搜索過程中的比較

圖3 4種算法對Sphere和Griewank函數(shù)的收斂曲線對比

表3 4種優(yōu)化方法的數(shù)值運(yùn)算結(jié)果比較

5 結(jié)束語

本文在變尺度混沌優(yōu)化算法的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一種混合混沌優(yōu)化算法。該算法主要有3個方面改進(jìn)：①為了改善原算法的全局收斂性，本文用比傳統(tǒng)的Logistic映射具有更好遍歷性的Kent映射來生成隨機(jī)的初始變量；②為避免算法早熟，引入了非線性的尺度變化因子；③為保證算法在運(yùn)行末期取得更高精度的解，采用單純形法進(jìn)行搜索。數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在混沌優(yōu)化算法的粗搜索階段，Kent映射的均勻遍歷性提高了搜索到好解的可能性。而在細(xì)搜索法后期，改用單純形法后比繼續(xù)用變尺度的方法具有收斂快精度高的優(yōu)點(diǎn)?？傊?，本文將Kent映射、單純形方法及變尺度方法結(jié)合后得到的改良的混沌優(yōu)化算法具備較高的速率和精度，是一種混沌算法的較好的改進(jìn)，期望在實(shí)際應(yīng)用中會有更好的效果。

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