□周奕生
列舉有風(fēng)險組合需謹慎
□周奕生
列舉法是求概率的重要方法之一,用列舉法求概率需要把隨機事件所有可能發(fā)生的情形不重不漏地列出來,但真正做到不重不漏是有一定難度的,稍不留神便會出現(xiàn)丟三落四的失誤,要想避免失誤,需要針對題意對所考查的對象進行謹慎的排列與組合.
例1有兩個構(gòu)造完全相同(除所標數(shù)字外)的轉(zhuǎn)盤A、B,游戲規(guī)定,轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤各一次,指向大的數(shù)字獲勝.現(xiàn)由你和小明各選擇一個轉(zhuǎn)盤游戲,你會選擇哪一個,為什么?
圖1
解析:欲知選擇哪個轉(zhuǎn)盤獲勝可能性大,只需要先分別計算選擇轉(zhuǎn)盤A、B獲勝的概率.
把A、B由于轉(zhuǎn)盤A的數(shù)碰到轉(zhuǎn)盤B的數(shù)的可能情形有(9,3),(9,4),(9,8),(5,3),(5,4),(5,8),(2,3),(2,4),(2,8),共有9種情形,其中A盤轉(zhuǎn)到的數(shù)字大于B盤轉(zhuǎn)到的數(shù)字的有5種,小于的有4種,所以P(選擇A盤獲勝),P(選擇B盤獲勝),所以選擇A盤.
點評:這里的組合事實上是把A盤的9,5,2這三個數(shù)與B盤的3,4,8一一進行組合.
例2一個口袋中有3個大小相同的小球,球面上分別寫有數(shù)字1,2,3.從袋中隨機地摸出一個小球,記錄下數(shù)字后放回,再隨機地摸出一個小球.
(1)請用樹形圖或列表法中的一種,列舉出兩次摸出的球上數(shù)字的所有可能結(jié)果;
(2)求兩次摸出的球上的數(shù)字和為偶數(shù)的概率.
解析:(1)把第一次摸出的球記為第一組數(shù)字1,2,3,第二次摸出的球記為第二組數(shù)字1,2,3,則兩次摸到的數(shù)字情形有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),共9種;
(2)從(1)中可見兩次摸出的球上的數(shù)字和為偶數(shù)的有(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),共5種,所以P(兩次摸出的球上的數(shù)字和為偶數(shù))
點評:根據(jù)題意把有關(guān)對象分成兩組,然后依題意,把第一組的第一個對象與第二組的每個對象分別組合,再把第一組的第二個對象與第二組的每個對象分別組合,直到第一組的最后一個對象與第二組的每個對象分別組合.
例3如圖2,管中放置著三根同樣的繩子AA1,BB1,CC1.
(1)小明從這三根繩子中隨機選一根,恰好選中繩子AA1的概率是多少?
(2)小明先從左端A,B,C三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié),再從右端A1,B1,C1三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié),求這三根繩子連結(jié)成一根長繩的概率.
圖2
解析:(1)從AA1,BB1,CC1這三根繩子中隨機選一根,恰好選中繩子AA1的概率顯然是;
(2)從左端A,B,C三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié),被選到的可能情形有(A,B),(A,C),(B,C),共三種;從右端A1,B1,C1三個繩頭中隨機選兩個打一個結(jié),被選到的可能情形有(A1,B1),(A1,C1),(B1,C1),共三種.左邊繩頭打結(jié)碰到右邊繩頭打結(jié)的情形有[(A,B),(A1,B1)],[(A,B),(A1,C1)],[(A,B),(B1,C1)],[(A,C),(A1,B1)],[(A,C),(A1,C1)],[(A,C),(B1,C1)],[(B,C),(A1,B1)],[(B,C),(A1,C1)],[(B,C),(B1,C1)],共9種,其中能連結(jié)成一根長繩的情形有[(A,B),(A1,C1)],[(A,B),(B1,C1)],[(A,C),(A1,B1)],[(A,C),(B1,C1)],[(B,C),(A1,B1)],[(B,C),(A1,C1)],共6種,所以P(三根繩子連結(jié)成一根長繩)