常利率環(huán)境下帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的Gerber-Shiu函數(shù)問(wèn)題

王健，王傳玉，胡莎娜

(安徽工程大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽蕪湖241000)

摘要：在常利率環(huán)境條件下研究在帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程中保險(xiǎn)公司的Gerber-Shiu函數(shù)問(wèn)題。在障礙策略下，得出其矩母函數(shù)所滿(mǎn)足的積分-微分方程及方程的邊界條件和Gerber-Shiu函數(shù)所滿(mǎn)足的積分-微分方程及方程的邊界條件。

關(guān)鍵詞：常利率；廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型；Gerber-Shiu函數(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：O211.9

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004-602X(2015)01-0003-04

收稿日期：2014-11-21

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61203139)；安徽省重點(diǎn)教研項(xiàng)目(2012jyxm277)

作者簡(jiǎn)介：王健(1989—)，男，安徽六安人，安徽工程大學(xué)在讀碩士研究生。

Abstract：We consider the Gerber-Shiu function in a generalized Erlang(n) risk process perturbed by diffusion with a constant interest under a dividend barrier strategy. Under such a strategy,Integro-differential equations with certain boundary conditions for the moment generating functions and the Gerber-Shiu function are derived.

破產(chǎn)理論的研究可以追溯到瑞典精算師Filip Lundberg在1903年發(fā)表的博士論文[1]。在這篇論文中，Lundberg首次提出了一類(lèi)重要的隨機(jī)過(guò)程Poisson過(guò)程。保險(xiǎn)公司支付紅利給股東。De Finetti在1957年一文[2]中首先在貝努力模型中提出了紅利障礙策略，以此來(lái)更真實(shí)地反映保險(xiǎn)投資組合的盈余現(xiàn)金流。然后，學(xué)者們?cè)诓煌哪Ｐ椭醒芯苛瞬煌姆旨t策略和Gerber-Shiu函數(shù)。如Albrecher et al.(2005a，2005b)[3,4]，Avanzi et al.(2007)[5]，Gao和Yin(2008a)[6]等。

Shuangming Li(2005)[7]一文中在障礙分紅策略下帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型中研究了保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程的瑕疵更新方程。Gao和Yin(2008)[6]一文中在障礙分紅策略下常利率環(huán)境中研究了帶幾何布朗運(yùn)動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型，推導(dǎo)出滿(mǎn)足模型的Gerber-Shiu函數(shù)的積分-微分方程及邊界條件，同時(shí)給出特殊情形的詳細(xì)解。

本文將在以上的障礙策略下，在常利率環(huán)境中研究帶擾動(dòng)的廣義Erlang(n)風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu函數(shù)問(wèn)題。

1模型的建立

本文考慮盈余過(guò)程：

引入利率r≥0，則在時(shí)刻t時(shí)的盈余過(guò)程為

(1)

其中Si為第i次索賠發(fā)生的時(shí)刻。

模型(1)，我們引進(jìn)一個(gè)障礙策略，則改進(jìn)的盈余過(guò)程{Ub(t),t≥0}表示為

dUb(t)=cdt+rUb(t)dt-dS(t)+σdB(t),

0≤Ub(t)

(2)

然后，我們感興趣的矩母函數(shù)表示為

M(u,y;b)=E[eyDu,b|Ub(0)=u]。

類(lèi)似于Gerber和Landry(1998)[7]一文中，我們將貼現(xiàn)懲罰函數(shù)分為兩部分

φb(u,b)=φb,s(u,b)+φb,d(u,b)，

這一貼現(xiàn)懲罰函數(shù)是由索賠所引起的。

這一懲罰函數(shù)是由擾動(dòng)所引起的，且令

ω(0,0)=1。

2積分-微分方程

定理2.1當(dāng)0≤u

(3)

邊界條件為：

(4)

當(dāng)j=1，…,n時(shí)有

(5)

證明：運(yùn)用馬爾可夫性質(zhì)中指數(shù)分布的無(wú)記憶性，通過(guò)分解索賠次數(shù)為n個(gè)獨(dú)立的指數(shù)分布的和的風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程，其指數(shù)分布的系數(shù)分別為λ1,λ2,…,λn，得：

當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程達(dá)到第i步時(shí)，令Mj(u,y;b)表示Du,b的矩母函數(shù)，且

M(u,y;b)=M1(u,y;b)。

當(dāng)0≤u

(6)

泰勒展開(kāi)得：

Mj(h1(u,dt),ye-δdt;b)=Mj(u,y;b)+

(7)

將(7)代入(6)中，兩邊同除以t，得：

λjMj+1(u,y;b)=0，

整理得：

(8)

由(8)得：

Mn(u,y;b)=

類(lèi)似地，當(dāng)j=n時(shí)有：

推導(dǎo)出：

(9)

通過(guò)(8)、(9)得到方程(3)。

如果u=0，則立刻發(fā)生破產(chǎn)，沒(méi)有紅利支付，這時(shí)Mj(0,y;b)=1，j=1，…，n，由(8)式得(4)式。

當(dāng)ε→0時(shí)有：

由保險(xiǎn)公司盈余過(guò)程的弱收斂性，當(dāng){N(t),

當(dāng)ε→0時(shí)，由(8)式得(3)式。定理得證。

定理2.2當(dāng)0≤u

(10)

邊界條件為：

=0，j=1,…,n

(11)

和

=0，j=1,…,n

(12)

證明：設(shè)φb,s(j)(u,b)表示當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程達(dá)到第j(j=1,…，n)步時(shí)的懲罰函數(shù)。

令φb,s(1)(u,b)=φb,s(u,b)。這樣當(dāng)0≤u

j=1，…，n-1可得

由于e-δdt=1-δdt+o(dt)，我們得到

(13)

泰勒展開(kāi)有

(14)

(13)式兩邊同時(shí)對(duì)dt求導(dǎo)，并令dt→0，運(yùn)用方程(14)，可得

整理為

(15)

類(lèi)似地，當(dāng)j=n時(shí)，我們得

推導(dǎo)出

(16)

由(15)式有

(17)

由(16)(17)式得(10)式。

類(lèi)似定理2.1的證明，可得(13)式。

定理2.3當(dāng)0≤u

邊界條件為：

和

=0，j=1，…，n。

定理2.4當(dāng)0≤u

邊界條件為：

和

=0，j=1，…，n。

證明：由定理2.2和定理2.3，且φb(u,b)=

φb,s(u,b)+φb,d(u,b)可得證。

參考文獻(xiàn)：

[1]Lundberg F I.Approximerad Framstallning av Sannolikhersfunktionen.Aterforsakring av Kollektivrisker [D].Almqvist Wiksell,Uppsala,1903.

[2]De Finetti,B.Su unimpostazione alternativa dell teoria collettiva del rischio[J].Transactions of the XVth International Congress of Actuaries,1957,32(2):433-443.

[3]Albrecher H,Claramunt M M,Marmol M.On the distribution of dividend payments in a Sparre Andersen model with generalized Erlang(n) interclaim times[J].Insurance: Mathematics and Economics,2005a,37: 324-334.

[4]Albrecher H,Hartinger J,Tichy R.On the distribution of the dividend payment and the discounted penalty function in a risk model with a linear dividend barrier[J].Scandinavian Actuarial Journal,2005b,2: 103-126.

[5]Avanzi B,Gerber H U,Shiu E S W.Optimal dividends in the dual model[J].Insurance: Mathematics and Economics,2007,41: 111-123.

[6]Gao H L,Yin C C.A perturbed risk process compounded by a geometric Brownian motion with a dividend barrier strategy[J].Applied Mathematics and Computation,2008a,205:45-64.

[7]Gerber,H.U.,Landry,B.On the discounted penalty at ruin in a jump diffusion and the perpetual put option[J].Insurance: Mathematics and Economics,1998,22: 263-276.

[8]Wan,N.Divident payments with a threshold strategy in the compound Poisson risk model perturbell by diffusion[J].Insurance:Mathematics and Economics,2007,40:509-523.

[責(zé)任編輯畢偉]

The Gerber-Shiu Function Problems of Ruin in a Generalized

Erlang(n) Risk Process Perturbed by Diffusion

with Constant Interest

WANG JIAN,WANG Chuan-yu,HU Sha-na

(School of Mathematics and Physics,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

Key words：a constant interest; the generalized Erlang(n) risk process by diffusion; the Gerber-Shiu function