王自然

摘要：針對包含已知直徑的單個圓形與一組平行線平面的場景，利用滅點和直徑的對極關(guān)系，計算平面的一個滅點，然后根據(jù)另外一組平行線計算另外一個滅點，進(jìn)而獲得平面滅線，然后根據(jù)圓形的各項同性性質(zhì)，求解圖像與現(xiàn)實之間的對應(yīng)矩陣，進(jìn)而實現(xiàn)對平面的度量矯正。

關(guān)鍵詞：圓形；滅點；滅線；度量恢復(fù)

中圖分類號：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）31-0207-03

Plane Rectification Using Circle and A Set of Parallel Lines

WANG Zi-ran

（Nanjing Normal University Taizhou College， Taizhou 225300， China）

Abstract：A method for plane rectification from a scene with a circle and a set of parallel lines is proposed. Rectification homography can be used to back-project the ellipse in the image to a circle. Firstly， a vanishing point can be determined from a set of parallel lines. Another vanishing point is estimated by the relationship between diameter and vanishing point. Consequently the vanishing line is determined by the two vanishing points. After that the homography can be obtained from the vanishing line and the image of the circle. Once the homography is determined the image of the circle is back-projected to an ellipse. Based on the homography the plane can be rectified. If there is a known length of a line segment in the image， other geometric information also can be computed. Experimental results demonstrate the approachs efficacy.

Key words：circle； vanishing point； vanishing line； metric rectification

1 概述

現(xiàn)實中的平面經(jīng)過攝像機映射之后，在圖像中發(fā)現(xiàn)變形，使得一些幾何關(guān)系不再保持，如平行直線不在平行而是匯聚于一點，圓形對象變?yōu)闄E圓，通過度量矯正可使其變回原有的形態(tài)，將圖像恢復(fù)到與現(xiàn)實對象相差一個相似變換，在已知度量信息的輔助下，還可實現(xiàn)圖像中對象的幾何量測。通過對應(yīng)點（線）恢復(fù)平面與圖像之間的單應(yīng)矩陣可實現(xiàn)平面度量矯正，在沒有對應(yīng)點（線）的情況，可通過直接或分層的方法恢復(fù)平面度量性質(zhì)，無論何種方法都需要利用圖像中的幾何特征，計算圖像平面的滅線。

直線、圓形特征是自然場景中常見的幾何特征，常被用來計算圖像中的滅點、滅線信息，且通常分開使用，即利用多于兩組平行線組計算各組的滅點，再利用所求的多個滅點確定一條滅線；而在多個圓形（大于等于2個）存在的場景下，通常首先獲取虛圓點的像，再由這其計算平面的滅線。也有部分研究首先計算獲取圓形經(jīng)過映射后的圓心，然后根據(jù)對極關(guān)系計算平面滅線。這些方法或是僅僅利用兩組以上平行直線組，或是僅僅利用多個圓形特征，但在有些情況下，場景中僅僅包含一個圓形和一組平行線，不具備直接求得平面滅線的充分條件。本文針對這一場景，本文利用對極關(guān)系以及圓形的各項同性性質(zhì)，實現(xiàn)圖像的度量矯正。

本文的結(jié)構(gòu)安排如下：第2節(jié)介紹相關(guān)的理論基礎(chǔ)與已有研究；第3節(jié)介紹基于一個圓形與一組平行線組的度量矯正方法的原理；第4節(jié)對本文方法進(jìn)行測試分析與討論；第5節(jié)是對本文所做工作的總結(jié)。

2 理論基礎(chǔ)

在射影幾何中，兩條平行線交于一個滅點vp，如公式（1）所示，當(dāng)有多條平行線存在時還可用最小二乘法求出最優(yōu)滅點。

[vp=l1×l2] （1）

同時，在射影幾何中，橢圓方程表示成一般形式：

[Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0] （2）

其中，x，y分別為橢圓上一點的x軸和y軸坐標(biāo)。使x=x1/x3、y=x2/x3（其中，x3不為0），可將式（2）齊次化表示為：

[Ax21+Bx1x2+Cx22+Dx1x3+Ex2x3+Fx23=0] （3）

或表示成矩陣形式：

[xTCx=0] （4）

其中[x=x1x2x3T]，橢圓系數(shù)矩陣C為：

[C=AB2D2B2CE2D2E2F] （5）

圓形經(jīng)過映射后變?yōu)闄E圓，但圓形圓心經(jīng)過映射后并不與橢圓的圓心重合，所幸圓形圓心經(jīng)過映射后的點PC與其所在平面的滅線vl關(guān)于圓形映射后的橢圓C形成一組對極關(guān)系，如公式（6）所示，即在橢圓方程確定的情況，已知圓心PC可獲得滅線vl，反之亦然。同時，圓形（在圖像中為橢圓）的直徑與滅點也對極關(guān)系，即公式（6）中，vl替換為圓形的直徑，而pc則替換為滅點。

[vl=C*pc] （6）

“虛圓點”是每一個圓周與滅線相交的一對共軛復(fù)數(shù)點， [I=（1，i，0）T]，[J=（1，-i，0）T]，虛圓點經(jīng)過映射的像mI、mJ，仍然是一對共軛復(fù)數(shù)，可由圖像平面的滅線與橢圓所確定二次方程求解獲得，如式（7）所示，f1為滅線方程，f2為橢圓方程，mI、mJ可由方程的解確定。

[mI，mJ=solve（f1，f2）] （7）

現(xiàn)實平面和圖像平面之間的映射是一種射影變換，用單應(yīng)矩陣H表示，可分解為一串變換鏈的復(fù)合：

[H=HSHAHP=sRt0T11β-αβ0010001100010l1l2l3] （8）

其中，HS、HA、HP分別為相似變換、仿射變換和射影變換。HP與滅線vl=（l1，l2，l3） T相關(guān)；HA與虛圓點有關(guān)，而與滅線無關(guān)；HS為一般的相似變換，它不影響仿射及射影性質(zhì)，當(dāng)單應(yīng)矩陣恢復(fù)到相似變換層次，矯正后的圖像與實際對象只相差一個比例因子s，而與相似變換中的旋轉(zhuǎn)R和平移t無關(guān)。

綜上所述，當(dāng)平面中包含圓形時，只需要計算出平面的滅線，以及圓形即可進(jìn)行平面的度量恢復(fù)，因為一旦滅線和圓形已知，虛圓點即可根據(jù)公式（7）獲得。

3 原理與方法

3.1 平面滅線確定

在射影幾何中，一組平行線交于一個滅點，一個平面只有一條滅線，平面上所有平行線組的交點必然在這條滅線上，因此可由兩個或多個滅點確定平面的滅線。當(dāng)只有一組平行線時僅可確定滅線上的一點，然而至少兩點確定一條直線，則需要補充其他條件來確定這條滅線。

當(dāng)平面中存在圓形的特征時，圓形的直徑和平面的滅點存在對極關(guān)系，可用公式（6）計算另外一個滅點。

圖1 包含圓形的場景

3.2 度量恢復(fù)

在歐式空間中，圓形具有各向同性的特性，其半徑在各個方向上相等，但經(jīng)過映射后，其在射影空間中半徑各向相異，如圖1所示，在包含一對垂直直徑的平面上，可以圓心的圓心作為坐標(biāo)原點，分別以兩個垂直方向作為x軸與y軸，在圓形半徑未知的情況下，可將其半徑作為單位長度1來計算，則點P1、P3、P2、P4的坐標(biāo)分別為（-1，0）（1，0）（0，-1）（0，1）；在其對應(yīng)的圖像中，當(dāng)滅線確定之后，根據(jù)公式（6）計算圓形圓心經(jīng)過映射后的像pc，過pc取一條直徑r1，r1與橢圓交與兩點p1，p2，此條直徑所在直線的滅點可根據(jù)公式（9）計算獲得，而與此滅點關(guān)于橢圓對極的直線即為與r1垂直的另外一條過直徑的直線，記作r2， r2與橢圓的交點分別為p3，p4，四個點p1，p3，p2，p4的圖像坐標(biāo)可通過計算獲得。

[vp1=r1×vl] （9）

[r2=C-1*vl] （10）

根據(jù)圖像點與平面中自定義坐標(biāo)系中的對應(yīng)點之間的對應(yīng)關(guān)系，利用直接線性變換（DLT）計算其單應(yīng)矩陣H，利用單應(yīng)矩陣可以將圖像逆映射為相差一個縮放因子的圖像。

4 測試與分析

本部分實驗計算在Matlab環(huán)境下通過編程實現(xiàn)，以人機交互的形式提取圖像中多條直線。針對場景圖像中的橢圓和直線，首先手工提取盡可能多的邊緣點，然后采用最小二乘法對橢圓和直線進(jìn)行擬合。

4.1 實驗數(shù)據(jù)與結(jié)果

本節(jié)選用了兩幅包含圓形和一組平行線的圖像，分別如圖2和圖3所示。圖2中選用黑色圓環(huán)的外環(huán)作為已知信息，獲取其中一條直徑，并以其左下角的矩形的一組邊作為已知平行線段，其恢復(fù)后的圖像如圖2右圖所示，左圖中的橢圓被恢復(fù)為圓形。圖3中為常見的運動場，選擇場地中間的圓形為已知對象，已知其一條直徑，以場地中其他的邊作為已知的平行線段，恢復(fù)后的圖像如圖3右圖所示。

[＼&＼&]

圖2 合成測試圖

[＼&＼&]

圖3 真實場景測試圖

4.2 分析

由圖1可看出，圓形映射后的直徑r1與滅點vp1關(guān)于圓形映射后的橢圓存在對極關(guān)系，而垂直于直徑r1的一組平行線也交于滅點vp1，因此，一條圓形的直徑與垂直于此條直線的平行線關(guān)于圓形對等，兩者確定同一滅點。換而言之，若圖像存在具有一條直徑的圓形以及一組不與此直徑垂直的平行線組，則等同于一個圓形包含兩條直徑，兩條直徑的交點即為圓形的圓心，由此可確定平面的滅線。

本文方法需要已知一個圓形，此圓形具有一條直徑，以及一組平行線，即可將當(dāng)前平面恢復(fù)到與真實平面相差一個比例因子的層次，只要在平面上已知一個度量信息即可將平面恢復(fù)到真實情況。

在實驗數(shù)據(jù)中，包含很多可以求解滅線的幾何信息，而在實際場景中由于拍攝的角度等差別，可能無法獲得如此多的幾何信息，如真實的球場圖像中，可能只包含球場中間的圓形，已經(jīng)另外一組平行線，利用本文方法即可滿足恢復(fù)需求。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于平面中一個圓形（包含一條直徑）與一組平行線組的滅線求解方法，在確定滅線的基礎(chǔ)上，可對圖像進(jìn)行度量矯正，恢復(fù)后的圖像與現(xiàn)實場景相差一個縮放因子。若圖像中圓形的直徑尺寸已知，則可進(jìn)一步對圖像中的對象進(jìn)行幾何量測。實驗證明了本算法的可行性。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王光輝，胡占義. 基于平行線的單視平面測量方法[P]. 中國專利，01140336.5， 2006-12-6

[2] 王美珍，劉學(xué)軍，甄艷，等. 包含圓形的單幅圖像距離量測[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報信息科學(xué)版，2012， 37（3）：348-353.

[3] 李立冬，劉教民. 單目視圖下相機標(biāo)定和平面測距研究[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報，2005，26（1）：47-50.

[4] Zhong H.， Mai F.， and Hung Y. S.； Camera calibration using circle and right angles[C]，” in Proc. of ICPR06， 2006： 646-649.

[5] Marr. 視覺計算理論[M]. 姚國正，譯.北京：科學(xué)出版社，1988.

[6] 王美珍. 單幅圖像中地物目標(biāo)幾何量測研究[D]. 南京：南京師范大學(xué)，2011.

[7] Huang F R， Hu Z Y， Wu Y H.A new method on single view metrology[J]. Acta Automatica Sinica， 2004， 30（4）： 487-495.

[8] Guo F. Plane Rectification Using a Circle and Points from a Single View[C]. in Proc. of ICPR06， 2006， page（s）： 9-12.

[9] Criminisi A.Accurate visual metrology from single and multiple uncalibrated images[D]. Berlin： Springer-Verlag， 2001.