不同彈性地基板的力學(xué)響應(yīng)分析

郭晶晶

(同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室上海201804)

摘要以薄板理論為前提，通過(guò)漢克爾積分變換，推導(dǎo)在圓形均布荷載作用下k(文克勒)地基、E(半空間)地基，以及雙參數(shù)地基3種不同彈性地基上無(wú)限大板的撓度和彎矩的解析解，得到在不同地基和荷載半徑條件下荷載中心點(diǎn)的撓度系數(shù)、彎矩系數(shù)值，以及沿板半徑方向的彎沉盆。分析3種地基模型及荷載半徑對(duì)板力學(xué)響應(yīng)量的影響差異。

關(guān)鍵詞彈性地基薄板力學(xué)響應(yīng)量

DOI10.3963/j.issn.1671-7570.2015.02.028

收稿日期：2014-11-24

水泥混凝土路面是最常用的2種路面類型之一。我國(guó)石灰石資源豐富，水泥產(chǎn)量居世界首位，為水泥混凝土路面的修建提供了有力的條件和發(fā)展空間。建立水泥混凝土路面結(jié)構(gòu)在荷載和環(huán)境因素作用下力學(xué)響應(yīng)的定量模型，是路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論的基本依據(jù)[1]。

目前，世界各國(guó)剛性路面設(shè)計(jì)方法所依據(jù)的力學(xué)計(jì)算理論，主要是彈性地基板理論，具有代表性的彈性地基模式，是以地基反應(yīng)模量表征的溫克勒地基、考慮剪切的雙參數(shù)地基以及以彈性模量和泊松比表征的彈性半空間地基。相對(duì)于解析解的計(jì)算研究，國(guó)內(nèi)外利用限差分法、有限條法、有限元法和邊界元法等數(shù)值解法解決彈性地基板的問(wèn)題更為普遍[3-5]，3種彈性地基模型對(duì)板的影響也尚無(wú)系統(tǒng)的分析。文獻(xiàn)[6]中已給出k地基與E地基上薄板的解析解，本文利用漢克爾變換推導(dǎo)雙參數(shù)地基上薄板的解析解，分析3種地基模型及荷載對(duì)板力學(xué)響應(yīng)量的影響差異。

1不同地基模型

k地基是Winkler于1867年在計(jì)算鐵路路軌時(shí)提出的一個(gè)假設(shè)，他認(rèn)為土介質(zhì)表面任一點(diǎn)處的位移w與作用在該點(diǎn)的應(yīng)力p成正比，即p(r)=k0w(r)與作用在其他點(diǎn)的應(yīng)力無(wú)關(guān)。

彈性半空間地基模型是把地基假設(shè)為均勻、各向同性、彈性的半無(wú)限體。與k地基模型相比，這種模型屬于連續(xù)介質(zhì)模型，不僅可以反映荷載作用范圍內(nèi)土體的沉降變形，也能反映荷載作用范圍外土體的位移。

k地基理論雖然簡(jiǎn)單直觀，但不能很好地描述土體的連續(xù)性；而彈性半空間連續(xù)介質(zhì)模型高估了地基的擴(kuò)散能力，在數(shù)學(xué)上較為復(fù)雜，難以在實(shí)際工作中得到廣泛應(yīng)用。為此，人們提出了介于它們之間的一類地基模型，即雙參數(shù)地基模型。雙參數(shù)地基的力學(xué)實(shí)質(zhì)就是在互不相關(guān)的線性彈簧上鋪一恒定水平張力的薄膜，即

2薄板假設(shè)

小撓度薄板，指這種板在荷載作用下的撓度w與板厚h相比是一個(gè)微小量(w?h)。分析小撓度薄板結(jié)構(gòu)彎曲問(wèn)題時(shí)，采用如下3個(gè)基本假設(shè)。

(1) 豎向的正應(yīng)變?chǔ)舲可忽略。

(2) 豎向壓應(yīng)力、剪應(yīng)力的變形可忽略。

(3) 中性面無(wú)拉伸與壓縮變形。

3雙參數(shù)地基板的微分方程

(1)

式中：k0為地基反應(yīng)模量；k2為表征地基橫向聯(lián)系的彈簧系數(shù)；q(r)為均布荷載。

利用漢克爾積分變換

(2)

引入板相對(duì)彎曲剛度半徑l，得到板撓度表達(dá)式

(3)

將板的撓度表達(dá)式帶入彎矩表達(dá)式中，推得

(4)

圓形均布荷載作用下的彈性地基上無(wú)限長(zhǎng)大板，其板撓度w，截面法向彎矩Mr、切向彎矩Mθ可用撓度系數(shù)φw，徑向彎矩系數(shù)φMr,切向彎矩系數(shù)φMθ表征。其中：徑向彎矩系數(shù)φMr、切向彎矩系數(shù)φMθ也可用2個(gè)彎矩參數(shù)AM，BM表征，即：

式中：P為圓形均布荷載總量,P=q0πa2。

不同地基、板模型和荷載類型條件下的無(wú)限大板的撓度系數(shù)φw，彎矩參數(shù)AM，BM的漢克爾變換解可統(tǒng)一表示為

其中，不同地基的F(t)也不相同，見(jiàn)表1。

表1　均布荷載作用下的函數(shù) F( t)和系數(shù) C w

4不同地基模型的比較分析

當(dāng)E=30 000MPa，k0=100 MPa/m時(shí)，分析不同地基假設(shè)和荷載半徑對(duì)撓度系數(shù)φw及彎矩參數(shù)AM，BM的影響。

在圓形均布荷載作用下，2種地基(k地基、E地基)薄板的撓度系數(shù)φw、彎矩參數(shù)AM，BM與距中心的相對(duì)距離ρ的關(guān)系曲線見(jiàn)圖1。由圖1a)可見(jiàn)，2種地基的撓度系數(shù)φw與距中心的相對(duì)距離ρ的關(guān)系曲線形狀相似，但k地基的φw值明顯小于E地基的φw值，且收斂也較快，在ρ=4附近越過(guò)零位；其次，荷載圓相對(duì)半徑α對(duì)撓度系數(shù)φw的影響僅局限于ρ<1.5。從圖1b)，c)可見(jiàn)，在荷載圓相對(duì)半徑α較小時(shí)，2種地基的彎矩參數(shù)AM，BM很相近，隨著荷載圓相對(duì)半徑α的增大，兩者的差異稍有增加，另外，在ρ∈[0.5,2.5]范圍內(nèi)AM的差異較明顯。

荷載圓中心點(diǎn)2種地基的撓度系數(shù)φw0，彎矩參數(shù)AM0與荷載圓相對(duì)半徑α的變化規(guī)律見(jiàn)圖2。

a)φw-ρb)AM-ρc)BM-ρ

圖12種地基薄板的φw，AM，BM圖

a)φw0-αb)AM0-α

圖22種地基薄板荷載中心點(diǎn)的φw0，AM0圖

由圖2可見(jiàn)，2種地基的荷載圓中心點(diǎn)的撓度系數(shù)φw0-α曲線基本平行，E地基的φw0值較k地基的φw0值大0.067 5；在α較小時(shí)，2種地基的荷載圓中心點(diǎn)彎矩參數(shù)AM0十分相近，但E地基的AM0隨α增大而衰減的速度較小，當(dāng)α<0.5時(shí)，兩者相差小于0.7%，當(dāng)α=1時(shí)，E地基的AM0值較E地基的AM0值大3.8%，當(dāng)α=2時(shí)，E地基的AM0值較E地基的AM0值大20%。

均布圓形荷載(α=0.2)作用下的雙參數(shù)地基上薄板，地基橫向聯(lián)系參數(shù)θ對(duì)薄板的撓度系數(shù)φw的影響規(guī)律見(jiàn)圖3。

圖3　雙參數(shù)地基薄板的φ w-ρ圖

由圖3可見(jiàn)，隨著地基橫向聯(lián)系參數(shù)θ的增大，荷載及附近區(qū)域板撓度變化幅度增大，在ρ≥2.8區(qū)域板撓度變化稍有減小；雙參數(shù)地基板的最大撓度系數(shù)φw0、最大彎矩參數(shù)AM0均減小，減少的幅度附著荷載圓相對(duì)半徑α的加大而略有減小，見(jiàn)圖4。

a)φw0-αb)AM0 -α

圖4雙參數(shù)地基薄板荷載中心點(diǎn)的φw0，AM0圖

4結(jié)論

(1)k地基的撓度系數(shù)值明顯小于E地基，但是撓度變化率基本一致且快速收斂。

(2) 隨著荷載半徑的增大，彎矩系數(shù)AM，BM差異越來(lái)越大，但隨后又各自迅速收斂。

(3) 雙參數(shù)地基是介于k地基與E地基之間的一種地基模型，橫向聯(lián)系系數(shù)θ對(duì)撓度的影響比對(duì)彎矩的影響更加顯著。

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Mechanical Response Analysis of Different Elastic Foundation Plate

GuoJingjing

(Key Laboratory of Road and Traffic Engineering if Ministry of Education Tongji University, Shanghai 201804, China)

Abstract：On the premise of thin plate theory, three different deflection and bending moment analytical solutions of Winkler foundation, E (half space) foundation and double parameters foundation are deduced through the Hankel integral transformation. And the center deflection, bending moment coefficient and deflection basin along the radius direction of the elastic foundation plate on the condition of different foundation and the load radius are got. The difference and effect of the three kinds of foundation model and the load radius on the mechanical response are analyzed.

Key words: elastic foundation plate; thin plate; mechanical response