孫學(xué)東

算法是對(duì)一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法.解方程是一個(gè)由已知推求未知的運(yùn)算過程，它有較一致的方法和步驟，是算法思想的重要應(yīng)用.因?yàn)榉匠糖蠼獾某绦蛐?，學(xué)生即便對(duì)算理不理解，套套程序，也能夠獲得方程的解，所以日常教學(xué)中，方程求解的原理多不受重視.重解方程的“操作性”，輕解方程原理的“理解性”，其后果往往是學(xué)生不會(huì)選擇合適簡潔的解法，缺少對(duì)解法合理性的批判能力，從而也就難以形成用方程解決實(shí)際問題的能力.

算法化是我國古代數(shù)學(xué)的重要特色[1]，以《九章算術(shù)》為例，其內(nèi)容豐富而且實(shí)用性強(qiáng)，以解決生產(chǎn)生活的問題為中心，在解題中給出算法，再根據(jù)算法組建理論體系.顯然，我國古算法即強(qiáng)調(diào)融算理于實(shí)際情景，在實(shí)際情景的應(yīng)用中演繹算法步驟.初中階段涉及的方程主要是一元一次方程、二元一次方程、分式方程和一元二次方程，本文擬構(gòu)造幾個(gè)實(shí)際情景，并分析上述方程在實(shí)際情景中的求解過程，以觀察方程求解算法情景化的教學(xué)意義.

1 數(shù)學(xué)符號(hào)的內(nèi)涵操作凸顯方程算法的思維過程

在學(xué)習(xí)解一元一次方程時(shí)，我們常常會(huì)出示下面的情景[2]：

顯然，這是用學(xué)具操作來幫助學(xué)生理解方程求解的過程，但是學(xué)具只是數(shù)字和符號(hào)的替代品，操作過程只是對(duì)符號(hào)操作的檢驗(yàn).為讓學(xué)生既能感受算法的合理性，也能自覺總結(jié)算法步驟，可設(shè)置下面的問題情景：

情景1 某手機(jī)賣場為了促銷一款價(jià)值1950元的手機(jī)，允許顧客按月分期付款.顧客首付300元，以后每月支付150元.如果你以按月分期付款的方式購買這款手機(jī)，需要多少個(gè)月才能付清全部款項(xiàng)？解釋你的解題過程.為了更好的理解題意，你可以先寫出解題的思考步驟，再試著用數(shù)學(xué)符號(hào)去描述這些步驟.

分析 實(shí)際教學(xué)中，我們會(huì)感覺上述一元一次方程的求解過程是簡單的，只需要讓學(xué)生理解并熟練使用“移項(xiàng)（要變號(hào)）、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1”這一程序就行了，設(shè)置情景反倒會(huì)降低學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，影響課堂的效率.事實(shí)上，算法情景化的本意就是讓學(xué)生感受程序性的解題過程與生活實(shí)際是一致的.這樣處理既能讓學(xué)生理解算法程序的合理性，也能提升數(shù)學(xué)問題的思維含量，從而讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)蘊(yùn)，也為以后分析較困難的實(shí)際問題做好了鋪墊.

情景1較前一個(gè)情景，雖然不夠直觀，但對(duì)于小學(xué)時(shí)已經(jīng)接觸過簡單方程的初中生來說，情景1的價(jià)值在于它似乎更能在實(shí)際問題解決的過程中，讓學(xué)生感受方程求解過程的合理性，從而自覺的總結(jié)一元一次方程的算法步驟.

2 古算法與方程思想的對(duì)比彰顯方程求解過程的現(xiàn)實(shí)意義

情景2 七年級(jí)某班共有學(xué)生32人，參加拔河比賽獲得優(yōu)勝，并得到每箱24瓶的運(yùn)動(dòng)飲料6箱作為獎(jiǎng)勵(lì).老師打算發(fā)給參加比賽的學(xué)生每人6瓶，在旁加油的學(xué)生每人若干瓶（少于6瓶），并且能恰好將運(yùn)動(dòng)飲料分完.則在旁加油的學(xué)生每人可能分到多少瓶？

分析 問題情景中“并且能恰好將運(yùn)動(dòng)飲料分完”取決于兩個(gè)因素，一個(gè)是參加拔河的人數(shù)（或者在旁加油的人數(shù)），另一個(gè)是在旁加油的學(xué)生每人分得的瓶數(shù).因此，本題是一個(gè)有兩個(gè)變量，但是只有一個(gè)等量關(guān)系的不定方程問題.二元一次不定方程的解有無數(shù)組，但是正整數(shù)解只有有限組，因此求得“在旁加油的學(xué)生每人可能分到多少瓶”是有可能的.設(shè)在旁加油的學(xué)生每人分得x瓶，有y個(gè)運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)題意可得方程：（32-y）·x+6y=24×6，

隨著分式方程的不斷化簡，相應(yīng)的分式方程也越來越體現(xiàn)問題情景的本質(zhì)內(nèi)涵.方程求解的算法過程與實(shí)際情景的現(xiàn)實(shí)意義相輔相成，學(xué)生對(duì)于問題情景本質(zhì)的理解所產(chǎn)生的思維震撼也越來越外顯，越來越逼真.

4 情景規(guī)律的背后是方程求解算法原理的豐富

情景4 某地發(fā)生了流感疫情，假如在人群中一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患流感.問在每輪傳染中平均每人傳染幾人？

分析 傳染流感的過程中若設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，那么患流感的這個(gè)人第一輪傳染后共有（x+1）人患了流感；在第二輪傳染中傳染源是（x+1）人，這些人中每個(gè)人又傳染了x人，那么第二輪新傳染了x（x+1）人，于是第二輪傳染后共有（x+1）+x（x+1）人患流感.而（x+1）+x（x+1）因式分解后是（x+1）2，于是這個(gè)情景所對(duì)應(yīng)的方程就是（x+1）2=121.

追問：第三輪傳染后患流感的人數(shù)會(huì)是（x+1）3嗎？在第三輪傳染中傳染源是（x+1）2人，這些人中每個(gè)人又傳染了x人，那么第三輪新傳染了x（x+1）2人，于是第三輪傳染后共有（x+1）2+x（x+1）2人患流感.而（x+1）2+x（x+1）2因式分解后恰是（x+1）3.到此，我們可以大膽地猜測(cè)，第n輪后，將有（x+1）n人患了流感.

如果說情景3所體現(xiàn)的是方程求解在化歸過程（逐步變形化簡）中產(chǎn)生的對(duì)情景的深入理解，那么情景4則是情景規(guī)律的分析過程中對(duì)方程求解的算法原理的不斷豐富.

由以上的情景及分析，我們能發(fā)現(xiàn)，方程求解的算法情景化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的聯(lián)系與一致性，是數(shù)學(xué)“求真”、“求美”內(nèi)蘊(yùn)的外顯.“情景化”不是“去數(shù)學(xué)化”，相反的是讓學(xué)生在情景中更理性地分析算法的合理性，同時(shí)方程求解中的算法原理及變形過程往往也富含著情景中的現(xiàn)實(shí)意義，促使我們對(duì)問題情景的不同角度的深入的認(rèn)識(shí).

參考文獻(xiàn)

[1]王渝生.中國算學(xué)史[M].上海：上海人民出版社，200610：18.

[2]聶必凱等.美國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革[M].人民教育出版社，20106：118.