半連續(xù)dcpo的局部半基的若干理論*

祝禎禎,盧濤

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 淮北 235000)

摘要：對(duì)連續(xù)格、半連續(xù)格、半連續(xù)dcpo等的相關(guān)定義與主要性質(zhì)進(jìn)行比較,得到它們的聯(lián)系與區(qū)別,作出一些補(bǔ)充,并給出半連續(xù)dcpo的局部半基的概念,從而得到一些相關(guān)性質(zhì)與結(jié)論.

關(guān)鍵詞：連續(xù)格；半連續(xù)格；半連續(xù)dcpo；局部半基

文章編號(hào)：1007-2985(2015)01-0007-04

中圖分類(lèi)號(hào)：O153.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.01.003

收稿日期：*2014-04-15

作者簡(jiǎn)介：祝禎禎(1990—),女,安徽淮北人,淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士研究生,主要從事格上拓?fù)鋵W(xué)研究

通信作者：盧濤(1974—),男,山東諸城人,淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院副教授,博士,主要從事拓?fù)鋵W(xué)和范疇論研究.

連續(xù)格理集序結(jié)構(gòu)、代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究于一體,取得了豐碩的成果,并對(duì)計(jì)算機(jī)應(yīng)用產(chǎn)生了重要影響.為了推廣連續(xù)格,Y.Ray首先提出格中半素理想的概念,研究了它的一些基本性質(zhì),文獻(xiàn)利用半素理想,給出了一種新的關(guān)系,由此定義半連續(xù)格,并將連續(xù)格中的一些性質(zhì)移植到了半連續(xù)格中,研究了半連續(xù)格的一些特征.而半連續(xù)dcpo的概念,其基本性質(zhì)及特征亦能等價(jià)刻畫(huà),這些理論與思想能夠用于更廣泛的連續(xù)格理論當(dāng)中.

1相關(guān)定義及主要結(jié)果

定義1設(shè)(L,≤)是偏序集,L的非空子集A稱(chēng)作定向集,若對(duì)于?a,b∈A,?c∈A使得a≤c且b≤c.L稱(chēng)作定向完備偏序集,若L的每個(gè)定向子集都有上確界.記↓x={y∈p:y≤x},x=∨D表示x是定向集D的上確界.

定義2L是偏序集,稱(chēng)I是L的理想,若I?L是L的定向下集.

定義3設(shè)L是一個(gè)偏序集,對(duì)?a,b∈L,稱(chēng)aWaybelowb,若對(duì)任意的定向子集D?L,supD存在,對(duì)b≤supD,存在d∈D,使得a≤d.記為x?y.

若定向子集D是理想,上述x?y的定義即可類(lèi)似改為：若對(duì)于任意的理想I?L,b≤supI,則a∈I.

定義4[1-2]設(shè)L是dcpo,若?x∈L,x=∨Dx,則稱(chēng)L是連續(xù)dcpo或連續(xù)Domain.

定義5設(shè)L是dcpo,若?x∈L,x≤∨Dx,則稱(chēng)L是弱連續(xù)dcpo或弱連續(xù)Domain.

定義6格L的理想P稱(chēng)為半素理想,若對(duì)?x,y,z∈L,x∧y∈P,x∧z∈P時(shí),有x∧(y∨z)∈P.

定義7設(shè)L是完備格,對(duì)?a,b∈L,稱(chēng)a?Pb,若對(duì)于任意的半素理想P?L,b≤supP,則a∈P.

定義10偏序集L的理想Q稱(chēng)為素理想,若LQ為空集或?yàn)V子.

定義12設(shè)L是偏序集,?a,b∈L,稱(chēng)a?Sb,若對(duì)于任意的半素集S?L,b≤supS,則a∈S.

定義13設(shè)L是dcpo,?a,b∈L,稱(chēng)a?Sb,若對(duì)于任意的素理想Q?L,b≤supQ,則a∈Q.

對(duì)于定義5,若L是dcpo,則等價(jià)于定義6,故是合理推廣.

定義14設(shè)L是dcpo,若?x∈L,x≤∨Sx,則稱(chēng)L是半連續(xù)dcpo.

定義15設(shè)L是dcpo,若?x∈L,x=∨Sx,則稱(chēng)L是強(qiáng)連續(xù)dcpo.

注4由引理1,這里若dcpo的L是完備格,則半素集S是理想,又由半素集定義,S是半素理想,則半連續(xù)dcpo與半連續(xù)格兩者就等價(jià)了.

事實(shí)上,這里還可以列出相容定向集、相容連續(xù)Domain、弱waybelow關(guān)系、exact偏序集以及其他相關(guān)的概念,它們有極大的相似之處與緊密聯(lián)系,當(dāng)然,很多性質(zhì)的研究方法也是相似的.

由以上分析能夠得到以下結(jié)果：

(ⅰ)強(qiáng)連續(xù)格?連續(xù)格?連續(xù)Domain；

(ⅱ)連續(xù)格?半連續(xù)格；

(ⅲ)完備格+半連續(xù)dcpo=半連續(xù)格；

(ⅳ)弱連續(xù)dcpo?半連續(xù)dcpo；

(ⅴ)連續(xù)dcpo?強(qiáng)連續(xù)dcpo；

定理1(插入性質(zhì))L為連續(xù)格,?x,y∈L,x?y,則z∈L,x?z?y.

定理2(插入性質(zhì))L為半連續(xù)格,?x,y∈L,則z∈L,x?Pz?Py.

定理3(插入性質(zhì))L為半連續(xù)dcpo,?x,y∈L,則z∈L,x?Sz?Sy.

定義16L為偏序集,U?L,若滿(mǎn)足如下2個(gè)條件,則稱(chēng)U為L(zhǎng)上的Scott開(kāi)集,Scott開(kāi)集的全體構(gòu)成L上的一個(gè)拓?fù)?稱(chēng)為Scott拓?fù)?記為σD(L)：

(ⅰ)U=↑U；

(ⅱ)對(duì)L的任意定向集D,當(dāng)∨D存在且∨D?U時(shí)U∩D≠?.

定義17L為偏序集,以{L↑x|x∈L}為子基生成的拓?fù)浞Q(chēng)為L(zhǎng)的下拓?fù)?記為w(L),以w(L)∪σD(L)為子基生成的拓?fù)浞Q(chēng)為L(zhǎng)awson拓?fù)?記為λD(L).

定義18L為完備格,U?L,若滿(mǎn)足如下2個(gè)條件,則稱(chēng)U為L(zhǎng)上的Scott開(kāi)集,Scott開(kāi)集的全體構(gòu)成L上的一個(gè)拓?fù)?稱(chēng)為Scott拓?fù)?記為σP(L)：

(ⅰ)U=↑U；

(ⅱ)對(duì)L的任意半素理想P,當(dāng)∨P存在且∨P?U時(shí)U∩P≠?.

定義19L為完備格,以{L↑x|x∈L}為子基生成的拓?fù)浞Q(chēng)為L(zhǎng)的下拓?fù)?記為w(L),以w(L)∪σP(L)為子基生成的拓?fù)浞Q(chēng)為L(zhǎng)awson拓?fù)?記為λP(L).

定義20L為dcpo,U?L,若滿(mǎn)足如下2個(gè)條件,則稱(chēng)U為L(zhǎng)上的Scott開(kāi)集,Scott開(kāi)集的全體構(gòu)成L上的一個(gè)拓?fù)?稱(chēng)為Scott拓?fù)?記為σQ(L)：

(ⅰ)U=↑U；

(ⅱ)對(duì)L的任意素理想Q,當(dāng)∨Q存在且∨Q?U時(shí)U∩Q≠?.

定義21L為完備格,以{L↑x|x∈L}為子基生成的拓?fù)浞Q(chēng)為L(zhǎng)的下拓?fù)?記為w(L),以w(L)∪σQ(L)為子基生成的拓?fù)浞Q(chēng)為L(zhǎng)awson拓?fù)?記為λQ(L).

定理6設(shè)L為半連續(xù)dcpo,則?x∈L,Qx∈σQ(L),L↓x∈σQ(L).

注5這3個(gè)定理均可通過(guò)上集、?或?關(guān)系的概念、插入性質(zhì)來(lái)證明.

定理7L為完備格,若對(duì)?U∈σD(L),U?∪{Dx|x∈U},則L為連續(xù)格.

定理8L為完備格,若對(duì)?U∈σP(L),U?∪{Px|x∈U},則L為半連續(xù)格.

定理9L為dcpo,若對(duì)?U∈σQ(L),U?∪{Sx|x∈U},則L為半連續(xù)dcpo.

定義22設(shè)L為dcpo,x∈L,D?Dx,若滿(mǎn)足如下2個(gè)條件,則稱(chēng)D為x的一個(gè)局部基：

(ⅰ)D是定向集；

(ⅱ)x=∨D.

定理10L為dcpo,a∈L,則：

(ⅱ)若a?a,Da是a的局部基,則a∈Da；

(ⅲ)若a?a,{a}是a的最小局部基；

(ⅳ)若b≤a,且Da,Db分別是a,b的局部基,則Db?↓Da.

定理11設(shè)L為連續(xù)Domain,a∈L,D?Da,則D為a的一個(gè)局部基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?c∈a,?d∈D使得c?d.

事實(shí)上,連續(xù)格上的局部基也是一樣的.

(ⅰ)D是定向集；

(ⅱ)x=∨D.

顯然,由此定義亦能得到連續(xù)格的相關(guān)性質(zhì)定理,而半連續(xù)格的相關(guān)定義和結(jié)論與連續(xù)格是緊密聯(lián)系的,這里可參考文獻(xiàn).從而可以定義半連續(xù)dcpo的半局部基,將相關(guān)結(jié)論補(bǔ)充完整.

定義24設(shè)L為dcpo,x∈L,S?sx,若滿(mǎn)足如下2個(gè)條件,則稱(chēng)S為x的一個(gè)局部半基：

(ⅰ)↓S是素理想；

(ⅱ) x≤∨S.

定理12設(shè)L為dcpo,L是半連續(xù)dcpo當(dāng)且僅當(dāng)?x∈L,x都有一個(gè)局部半基.

定理13設(shè)L為dcpo,x∈L：

(ⅱ)若x?Sx,{x}是x的最小局部半基；

(ⅲ)若x?Sx,Sx是x的局部半基,則x∈↓Sx；

(ⅳ)若x?Sx,則Sx是x的局部半基；

(ⅴ)若b≤a,且Sa,Sb分別是a,b的局部半基,則Sb?↓Sa.

證明(ⅲ)設(shè)Sx是x的一個(gè)局部半基,則Sx?Sx且x≤∨Sx=∨↓Sx≤∨Sx,因?yàn)閤?Sx,即對(duì)任意的素理想Q,x≤∨Q,x∈Q,所以x∈↓Sx.

(ⅴ)由Sa是a的局部半基知,↓Sa是素理想且a≤∨Sa,再由Sb是b的局部半基,對(duì)?x∈Sb,x?Sb,因?yàn)閎≤a,所以x?Sa,從而x∈↓Sa,因此Sb?↓Sa.

定理14設(shè)L為半連續(xù)dcpo,a∈L,S?Sa,則S為a的一個(gè)局部半基當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?c∈Sa,?d∈S使得c?Sd.

定理15L為完備格,L是半連續(xù)dcpo當(dāng)且僅當(dāng)?x∈L,x都有局部半基.

2結(jié)語(yǔ)

對(duì)幾類(lèi)經(jīng)典的連續(xù)格的相關(guān)定義與主要性質(zhì)進(jìn)行比較,作出一些補(bǔ)充,擴(kuò)充了連續(xù)格理論,對(duì)于連續(xù)偏序集、相容連續(xù)偏序集、弱Domain、exact Domain等的一些結(jié)論也類(lèi)似可得.而這些理論與思想又可以推廣到更廣泛、更一般的連續(xù)格領(lǐng)域,從而可能得到創(chuàng)造性的結(jié)論.

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Theories of Local Semi-Bases on Semi-Continuous dcpo

ZHU Zhenzhen,LU Tao

(School of Mathematical Sciences,Huaibei Normal University,Huaibei 235000,Anhui China)

Abstract:The relevant definitions and main properties are compared among the continuous lattice,semi continuous lattice and semi continuous dcpo,and thus their relations and differences are obtained.Some supplements are made and the concept of local semi-base about semi-continuous dcpo is introduced.Furthermore,some relevant properties and conclusions are obtained.

Key words:continuous lattice;semi-continuous lattice;semi-continuous dcpo;local semi-base

(責(zé)任編輯向陽(yáng)潔)