孫雅倩，張達敏，曾　成，徐玉珠

(貴州大學 大數(shù)據(jù)與信息工程學院,貴州 貴陽 550025)

摘　要：在傳統(tǒng)BBV模型的基礎上，提出了一種改進的BBV網(wǎng)絡演化模型?；舅枷胧歉淖兙W(wǎng)絡增長過程中新節(jié)點加入時，新舊節(jié)點的連接方式及優(yōu)先選擇概率。該模型不僅可以調節(jié)無標度加權網(wǎng)絡度和強度的分布，還可以通過改變“三角形”連接概率公式中系數(shù)的大小，增大網(wǎng)絡的聚類系數(shù)并調節(jié)網(wǎng)絡聚類系數(shù)的分布。即根據(jù)實際需要，大范圍調節(jié)網(wǎng)絡度分布，精確調節(jié)聚類系數(shù)大小及分布，其生成機制更符合實際網(wǎng)絡的演化過程。

關鍵詞：BBV演化模型;度分布;聚類系數(shù)

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.06.013

聚類系數(shù)大小及分布可調的BBV網(wǎng)絡演化模型

孫雅倩，張達敏，曾成，徐玉珠

(貴州大學 大數(shù)據(jù)與信息工程學院,貴州 貴陽 550025)

摘要：在傳統(tǒng)BBV模型的基礎上，提出了一種改進的BBV網(wǎng)絡演化模型?；舅枷胧歉淖兙W(wǎng)絡增長過程中新節(jié)點加入時，新舊節(jié)點的連接方式及優(yōu)先選擇概率。該模型不僅可以調節(jié)無標度加權網(wǎng)絡度和強度的分布，還可以通過改變“三角形”連接概率公式中系數(shù)的大小，增大網(wǎng)絡的聚類系數(shù)并調節(jié)網(wǎng)絡聚類系數(shù)的分布。即根據(jù)實際需要，大范圍調節(jié)網(wǎng)絡度分布，精確調節(jié)聚類系數(shù)大小及分布，其生成機制更符合實際網(wǎng)絡的演化過程。

關鍵詞：BBV演化模型;度分布;聚類系數(shù)

doi:10.3969/j.issn.1002-0802.2015.06.013

收稿日期：2015-01-21；修回日期：2015-04-28Received date:2015-01-21；Revised date：2015-04-28

基金項目：貴州省省委組織部項目(TZJF-2011-37)；貴州省合作計劃項目([2012]7002號)；貴州大學研究生創(chuàng)新基金項目(研理工2015078)Foundation Item:Cooperative Project of Guizhou Province(TZJF-2011-37); Cooperative Project of Guizhou Privince([2012]7002);Graduate Student Innovation Foundation of Guizhou University

中圖分類號：TP393

文獻標志碼：碼：A

文章編號：號：1002-0802(2015)06-0692-07

Abstract：Based on the traditional BBV model, an improved BBV model is proposed. The main idea is to change the connecting way of between new nodes and old nodes and the probability of priority selection when a new node joins the network in the growth process. This model could adjust the distribution of degree and strength of the weighted scale-free network while increase clustering coefficient of the network and tune the distribution of clustering coefficient by changing the coefficient in “triangle”connection probability formula. To adjust the distribution of degree in a big way and accurately tune the clustering coefficient and its distribution in accordance with actual needs, this generation mechanism is more accordant with the actual network evolution.

作者簡介：

An Evolution Model of BBV Network with Tunable Clustering

Coefficient and Distribution

SUN Ya-qian,ZHANG Da-min,ZENG Cheng,XU Yu-zhu

(School of Big Data and Information Engineering of Guizhou University,Guiyang Guizhou 550025,China)

Key words：BBV evolution model; distribution of degree; clustering coefficient

0引言

隨著時代發(fā)展，復雜網(wǎng)絡研究正滲透到我們生活中的各個領域。對于實際生活中的網(wǎng)絡來說，每個節(jié)點和邊的重要性并不相同，為了描述邊的異質性，Yook等人提出了一個初步的加權網(wǎng)絡理論模型[1]，給網(wǎng)絡的邊賦上了權值。該模型是在無權網(wǎng)絡的基礎上首次對加權的網(wǎng)絡演化模型理論進行了研究。后來，Barrat,Barthelemy和Vespignani提出了著名的BBV模型[2]，該模型綜合考慮點強度與邊權值加強機制，BBV模型的動態(tài)演化利用權驅動方式得以實現(xiàn)[3-4]，該模型的提出掀起了加權網(wǎng)絡的研究熱潮。

隨著無標度加權網(wǎng)絡受到越來越多學者們的重視，一些改進的加權無標度網(wǎng)絡模型相繼被提出[5-10]。其中,很多學者圍繞著調節(jié)網(wǎng)絡度分布和聚類系數(shù)大小做深入研究，在度分布的調節(jié)上主要是在權重優(yōu)先選擇概率公式中引入調節(jié)系數(shù)，在聚類系數(shù)的調節(jié)上以加入三角形連接方式為主[5,9,10]。本文借鑒在BBV網(wǎng)絡中加入三角形連接方式和在權重優(yōu)先選擇概率公式中引入調節(jié)系數(shù)的思想，通過在新節(jié)點加入時引入一個由當前節(jié)點聚類系數(shù)和當前網(wǎng)絡平均聚類系數(shù)組成的概率公式來決定是否進行三角形連接，加入一個調節(jié)系數(shù)，改變系數(shù)大小可以調節(jié)網(wǎng)絡進行三角形連接的概率，并對網(wǎng)絡中每個節(jié)點的聚類系數(shù)大小進行控制，使聚類系數(shù)的分配相對靈活。

實際生活中的網(wǎng)絡種類繁多，不同網(wǎng)絡具有不同的統(tǒng)計特性。例如：電力網(wǎng)、國際航空網(wǎng)的度分布在雙對數(shù)坐標下較冪率分布更為均勻[11]，在線社會網(wǎng)，經(jīng)濟網(wǎng)，科學合作網(wǎng)等具有較大的聚類系數(shù)[12]，而傳統(tǒng)BBV模型的度及強度嚴格服從冪率分布，且聚類系數(shù)較小。由此可見，我們改進的BBV網(wǎng)絡模型需具備更高的靈活性。本文共引入3個調節(jié)系數(shù)，通過對這3個系數(shù)的合理調節(jié)，可以模擬構造多種類型的實際網(wǎng)絡，具有高度靈活性。

1網(wǎng)絡演化模型

模型演化基礎：結合王丹等人提出的將三角形連接機制引入到BBV模型的方法以及潘灶烽、汪小帆提出的GBBV模型的生成方法，在網(wǎng)絡模型進行“三角形”演化的過程中，將當前網(wǎng)絡的平均聚類系數(shù)和當前節(jié)點的聚類系數(shù)綜合考慮進來，即根據(jù)當前網(wǎng)絡和當前節(jié)點的聚類系數(shù)大小來確定加入的新節(jié)點是進行三角形連接還是做權重優(yōu)先選擇連接。

本文提出的網(wǎng)絡模型演化機理如下：

步驟1：設定初始網(wǎng)絡：初始網(wǎng)絡是一個由m0個節(jié)點組成，節(jié)點之間隨機連接一些邊的網(wǎng)絡。網(wǎng)絡中每條邊的權值均設為w0，因此每個節(jié)點的強度為:

(1)

步驟2：增長：每次引入一個新節(jié)點，與已經(jīng)存在的m個節(jié)點相連，直至達到所設定的網(wǎng)絡節(jié)點數(shù)，即網(wǎng)絡規(guī)模N。

步驟3：擇優(yōu)原則：網(wǎng)絡增長過程中，每引入一個新節(jié)點n后，以概率:

(2)

選擇一個舊節(jié)點i與新加入的節(jié)點n連接。si為當前節(jié)點i的強度，a是調節(jié)系數(shù)。a越小，每個舊節(jié)點被選中的概率就越接近，網(wǎng)絡的度分布也就越均勻。當a=1時，就退變成傳統(tǒng)BBV網(wǎng)絡中的強度優(yōu)先選擇概率。

步驟4：執(zhí)行步驟3后，再以概率:

(3)

三角形連接機制：如果按照步驟3選擇的下一步是三角形連接，則從舊節(jié)點i的鄰居節(jié)點中以概率 :

(4)

選擇一節(jié)點與新節(jié)點n相連。這里的選擇概率原則和步驟3的優(yōu)先原則同出一轍，但此處的系數(shù)g對整個網(wǎng)絡度分布的影響力度比a小，主要作用是輔助f調節(jié)聚類系數(shù)。需要注意的是，若節(jié)點i沒有鄰居節(jié)點，則按照步驟3的原則增加下一條邊。

網(wǎng)絡賦權原則依舊按照BBV網(wǎng)絡的權重賦予原則進行，具體演化過程如下：

網(wǎng)絡中加入的新邊賦權值大小為w0,加入的新邊(n,i)會引起被連接的舊節(jié)點i與其鄰居節(jié)點j∈Γ(i)之間的邊權值發(fā)生變化。變化規(guī)則規(guī)定為：

wij→wj+Δwij

(5)

(6)

由于引入新邊(n,i)會給節(jié)點i增加流量負擔，跟節(jié)點i連接的其他邊，會根據(jù)自己的權值wij的大小來幫助節(jié)點i分擔流量。此時，節(jié)點i的強度調整為：

si→si+δ+wo

(7)

2仿真結果分析

在仿真實驗中，初始網(wǎng)絡大小m0=10，并取m=6,w0=2，網(wǎng)絡規(guī)模N=5 000。我們主要對網(wǎng)絡的強度分布，度分布，聚類系數(shù)的大小及分布進行討論。需要注意的是，在加權無標度網(wǎng)絡中，節(jié)點度分布及強度分布是兩個重要的統(tǒng)計特征。節(jié)點的強度反應了該節(jié)點的重要程度，傳輸能力等。度和強度的分布均能反映網(wǎng)絡模型的特性。聚類系數(shù)反映的是網(wǎng)絡節(jié)點的聚集性[12]，可以衡量網(wǎng)絡的集團化程度和連通性等等。

2.1傳統(tǒng)BBV網(wǎng)絡特性分析

用傳統(tǒng)BBV網(wǎng)絡的生成方式生成網(wǎng)絡模型，網(wǎng)絡節(jié)點的度分布，強度分布，度與強度的關系以及度-聚類系數(shù)關系如圖1所示。

(a)節(jié)點強度的分布圖

(b)度分布圖

(c)度-強度變化關系

(d)度-聚類系數(shù)相關圖

生成的網(wǎng)絡聚類系數(shù)為：0.064 253，從實驗數(shù)據(jù)我們可以看出，度與強度之間呈線性關系,傳統(tǒng)的BBV網(wǎng)絡聚類系數(shù)非常小，節(jié)點的強度以及度分布均是嚴格的冪率分布，且冪指數(shù)固定不變，這不僅不能完全反映真實網(wǎng)絡的特性，并且構造的網(wǎng)絡模型種類單一，靈活性較差。

2.2改進模型中各個系數(shù)對網(wǎng)絡特性的影響

在新節(jié)點與舊節(jié)點連接時的強度優(yōu)先選擇概率公式中引入系數(shù)a,當a取不同值時對應的節(jié)點強度分布,度分布,度與強度的關系如圖2所示。

(a)節(jié)點強度的分布圖

(b)度分布圖

(c)度-強度變化關系

運行程序得出，a=0.2，a=1，a=3時網(wǎng)絡的聚類系數(shù)分別為0.002 613 8，0.079 82，0.999 17。圖2中的(c)圖表明，系數(shù)a的引入并未改變節(jié)點度與強度之間的關系，而大多數(shù)真實網(wǎng)絡度與強度正符合這種線性關系[1]。分析圖2(b)發(fā)現(xiàn)，a=0.2時，網(wǎng)絡節(jié)點的度接近指數(shù)分布，原因是網(wǎng)絡中每個舊節(jié)點被新節(jié)點連接的概率接近相等，這意味著網(wǎng)絡中的度分布比較平均，這點從圖2(c)可以看出。而a的值越大，強度大的舊節(jié)點被連接的概率就越大，大部分節(jié)點的度將變小，少數(shù)節(jié)點的度會很大。但a的值無論大小，網(wǎng)絡的強度分布都服從冪率分布，改變的只是分布指數(shù)。而對于度分布來說，當a的值越來越小時，其度分布會逐漸趨于擴展指數(shù)分布，該實驗結果符合前人研究所得的結論。需要注意的是，a=0.5是度分布從擴展指數(shù)分布過度到冪率分布的分界值[11]。

上述實驗發(fā)現(xiàn)，引入?yún)?shù)a后，僅僅對調節(jié)節(jié)點的度及強度分布有意義，卻無法準確調節(jié)網(wǎng)絡的聚類系數(shù)，一些研究人員通過三角形連接的方式來增大網(wǎng)絡的聚類系數(shù)，并得到較為滿意的結論。但傳統(tǒng)的三角形連接方式，雖然可以調節(jié)聚類系數(shù)大小，卻沒有考慮到當前節(jié)點和當前網(wǎng)絡的聚類系數(shù)大小關系，從而無法精確調節(jié)聚類系數(shù)的分布。本文提出的網(wǎng)絡模型生成方法中，當網(wǎng)絡中加入新節(jié)點時，先根據(jù)強度優(yōu)先概率選出一個舊節(jié)點與之連接，之后根據(jù)當前舊節(jié)點的聚類系數(shù)和整個網(wǎng)絡的聚類系數(shù)大小情況以一定概率進行三角形連接，此概率公式中引入了一個系數(shù)f. 在進行三角形連接時，當前節(jié)點將從自己的鄰居節(jié)點中以概率k=s(j)g/sum(s(j)g)選擇一個自己的鄰居節(jié)點與新節(jié)點相連。此處，先討論改變系數(shù)f對網(wǎng)絡度分布、強度分布、聚類系數(shù)大小的影響，實驗結果如圖3所示。

(a)節(jié)點強度的分布圖

(b)度分布圖

圖3是在系數(shù)a=1，g=1時，探究系數(shù)f對網(wǎng)絡基本特性的影響。運行程序后得到，當f=0.2,f=1,f=3時對應的聚類系數(shù)大小分別為0.290 44,0.456 65,0.564 4。聚類系數(shù)比同等規(guī)模下的傳統(tǒng)無標度網(wǎng)絡高出數(shù)倍。從圖3可以看出，系數(shù)f無論怎么變化網(wǎng)絡節(jié)點的度及強度分布依舊服從冪率分布，也就是說系數(shù)f的大小對度和強度的分布影響不大。

系數(shù)g的作用是，當a的值不變時，可以微調度分布，且對聚類系數(shù)大小也有影響，a,g,f這3個系數(shù)合作可以大范圍精確的調節(jié)網(wǎng)絡的度分布，聚類系數(shù)大小和和聚類系數(shù)大小分布。

(a)節(jié)點強度的分布圖

(b)度分布圖

運行程序后得到，g=0.1,g=1和g=3時對應的聚類系數(shù)大小分別是，0.203 83,0.467 71,0.221 57。從實驗結果可以看出，g的取值無論大小，網(wǎng)絡的度分布及強度分布均服從冪率分布，當a和f的值為1時，g的值增大或減小都會使得聚類系數(shù)減小，而且波動范圍較大。當a和f的值固定時，調節(jié)g的值可以改變聚類系數(shù)，因此，如果想得到聚類系數(shù)大小和度分布可以任意調整的網(wǎng)絡模型，只要協(xié)調好a,f,g這3個系數(shù)的大小即可。

以上實驗結果是驗證各系數(shù)對整個網(wǎng)絡強度分布，度分布及聚類系數(shù)大小的調節(jié)。接下來討論引入系數(shù)f對聚類系數(shù)分布的影響。圖5是在系數(shù)a=0.5,g=0的前提下實驗得出的結果。

圖5　引入系數(shù)f對網(wǎng)絡聚類系數(shù)分布的影響

圖5中顯示的實驗結果表明，在系數(shù)a和g的值固定不變的情況下，系數(shù)f取不同值會得到不同的網(wǎng)絡聚類系數(shù)分布。當系數(shù)f取值較小時，三角形連接概率會很小。因此，網(wǎng)絡中各個節(jié)點的聚類系數(shù)都較小，大多分布在0.01左右，且a=0.5時網(wǎng)絡度分布較均勻，聚類系數(shù)分布也就相對均勻。調節(jié)f的值，此處取f=1,可以增大網(wǎng)絡的聚類系數(shù)，還可以使聚類系數(shù)和度的相關圖整體趨勢近似于冪率分布。可見，調節(jié)系數(shù)f可以有效控制網(wǎng)絡聚類系數(shù)的大小和聚類系數(shù)的分布。

2.3改進模型實用性研究及系數(shù)選擇原則

圖6是給系數(shù)a,f,g賦上不同值時得到的相應特性圖，不同特性可以描述不同類型的網(wǎng)絡，從而說明此模型生成方法的靈活性和實用性。

(a)節(jié)點強度的分布圖

(b)度分布圖

(c)度-聚類系數(shù)相關圖

這三組數(shù)據(jù)從上到下所對應的聚類系數(shù)大小分別是：0.714 6、0.138 34、0.421 87。從圖中可以看出，這幾組數(shù)據(jù)得到的度分布以及強度分布均符合冪率分布特性，不同之處主要在于網(wǎng)絡聚類系數(shù)大小及聚類系數(shù)與度的關系分布。分析發(fā)現(xiàn)，a=0.5,f=5,g=3和a=1,f=3,g=1這兩組系數(shù)所生成網(wǎng)絡的度和聚類系數(shù)相關圖具有平頭特征，而多種真實網(wǎng)絡都具有這一特征[13-14]。前者可以描述校園人際關系網(wǎng)等網(wǎng)絡。該類網(wǎng)絡特點是：強度分布和度分布服從冪率分布特征，冪指數(shù)較大，整個網(wǎng)絡的平均聚類系數(shù)很大且聚類系數(shù)和度的相關性會具有“平頭”特征[9]，大多數(shù)節(jié)點的聚類系數(shù)聚集在某一范圍內，這是因為同學之間大多互相認識，尤其是人際關系圈子較小的同學，其認識的人互相認識的可能性更大。后者適合描述類似于Internet網(wǎng)絡中自治層等類型的真實網(wǎng)絡[9]。a=0.5,f=1,g=0時所對應的聚類系數(shù)與度的相關圖近似服從冪率分布，此時的模型適合描述集群現(xiàn)象比較突出的網(wǎng)絡。

真實網(wǎng)絡都擁有自身的結構特點，而傳統(tǒng)BBV網(wǎng)絡僅限于描述度、強度和聚類系數(shù)均服從冪率分布的網(wǎng)絡，卻無法描述圖2和圖6中顯示的度分布均勻和聚類系數(shù)分布具有“平頭”特征的網(wǎng)絡。可見，改進的演化模型可通過調節(jié)這三個系數(shù)的大小，適應更多網(wǎng)絡類型。

結合2.2節(jié)的仿真結果，規(guī)定系數(shù)選擇原則如下：

當a=1，f=0時，該模型就變?yōu)閭鹘y(tǒng)BBV模型，此時用于描述度分布，聚類系數(shù)分布均服從冪率特性且聚類系數(shù)較小的網(wǎng)絡。當a<0.5,f>1,g>0時，該模型適于描述度分布較均勻，聚類系數(shù)較大且分布具有“平頭”特征的網(wǎng)絡，使a>0.5，f和g的取值范圍不變，則網(wǎng)絡的聚類系數(shù)特性依舊不變，網(wǎng)絡度分布服從冪率特性，若要想聚類系數(shù)分布也服從冪率特性特性可使g=0。

3結語

本文僅把網(wǎng)絡的度分布，強度分布及聚類系數(shù)幾個復雜網(wǎng)絡的基本特性作為出發(fā)點，但實際中的網(wǎng)絡更為復雜，且需要考慮多方面因素，生成模型方法還需要進一步完善。此外，本文或許存在不妥之處，還望各位專家和學者們批評指正。

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孫雅倩(1990—)，女，碩士研究生，主要研究方向為復雜網(wǎng)絡；

張達敏(1967—)，男，教授，主要研究方向為計算機應用技術、網(wǎng)絡擁塞控制、病毒傳播機制;

曾成(1989—)，男，碩士研究生，主要研究方向為復雜網(wǎng)絡；

徐玉珠(1992—)，女，碩士研究生，主要研究方向為復雜網(wǎng)絡。

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計算智能

計算智能(CI，Computational Intelligence)是受到大自然智慧和人類智慧的啟發(fā)而設計出的一類算法的統(tǒng)稱。典型的計算智能算法有神經(jīng)計算中的人工神經(jīng)網(wǎng)絡算法，模糊計算中的模糊邏輯，進化計算中的遺傳算法、蟻群優(yōu)化算法、粒子群優(yōu)化算法、螢火蟲群優(yōu)化算法，以及單點搜索優(yōu)化中的模擬退火算法等。作為人工智能的一個重要領域，計算智能因其智能性、并行性和健壯性，具備了很好的自適應能力和很強的全局搜索能力。在科學研究和工程實踐中，對于遇到的一些NP(Non-deterministic Polynomial)難問題，計算智能算法可以在求解時間和求解精度上取得平衡。這些算法或模仿生物界的進化過程，或模仿生物的生理構造和身體機能，或模仿動物的群體行為，或模仿人類的思維、語言和記憶過程的特性，或模仿自然界的物理現(xiàn)象，通過模擬大自然和人類的智慧實現(xiàn)對問題的優(yōu)化求解，在可接受的時間內求解出可以接受的解。 目前，計算智能已經(jīng)在算法理論和算法性能方面取得了很多突破性的進展，并且已經(jīng)在通信網(wǎng)絡、優(yōu)化計算、模式識別、圖像處理、自動控制、經(jīng)濟管理、生物醫(yī)學等許多領域取得了成功的應用。