蔣亮++郭軒++王鵬瑞

摘要：自從多重網(wǎng)格法于20世紀(jì)60年代提出后，經(jīng)過(guò)40多年的研究和發(fā)展，有了完整的理論體系，算法趨于成熟，被認(rèn)為是當(dāng)今數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域高效算法之一。以其收斂速度快，計(jì)算精度高等優(yōu)點(diǎn)在勘探地球物理領(lǐng)域得到一定應(yīng)用。本文從多重網(wǎng)格法的基本思想出發(fā)，介紹了多重網(wǎng)格法的基本思想及理論公式。并將多重網(wǎng)格法應(yīng)用到溫納裝置測(cè)量的正演響應(yīng)中，應(yīng)用多重網(wǎng)格法進(jìn)行正演模擬的溫納裝置，可以直觀準(zhǔn)確的反應(yīng)出模型的異常區(qū)的大小和方向。能夠給直流電法的正演研究提供一定的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：多重網(wǎng)格；溫納；限制算子；插值算子

1.多重網(wǎng)格法的發(fā)展現(xiàn)狀

多重網(wǎng)格法簡(jiǎn)稱MG，是數(shù)學(xué)家Fedorrenko于20世紀(jì)60年代最早提出的，直到Brandt關(guān)于“邊值問(wèn)題多重網(wǎng)格適應(yīng)解”的文章發(fā)表后，多重網(wǎng)格法才開始得到廣泛的關(guān)注和全面研究[1]。多重網(wǎng)格法是目前近乎最優(yōu)的算法之一，有其固有的特點(diǎn)：收斂速度跟網(wǎng)格的大小無(wú)關(guān)，而且這一特性同樣適應(yīng)于求解復(fù)雜問(wèn)題。多重網(wǎng)格法經(jīng)過(guò)近30年的研究和發(fā)展，有了完整的理論體系，算法趨于成熟，在流體力學(xué)，計(jì)算電磁學(xué)，波動(dòng)方程等領(lǐng)域都有所應(yīng)用，是當(dāng)今數(shù)值計(jì)算領(lǐng)域常用的算法之一。近二十年也逐漸的應(yīng)用于地球物理領(lǐng)域中。

2.多重網(wǎng)格法的基本思想及理論公式

多重網(wǎng)格法其主要思想是在不同的網(wǎng)格層中，可以使不同頻率的誤差分量因網(wǎng)格間距的不同逐漸被衰減掉[2]。首先把以當(dāng)前網(wǎng)格為基礎(chǔ)的低頻分量限制到比較粗的網(wǎng)格上，這樣就會(huì)使原本看起來(lái)比較光滑的的低頻分量在粗網(wǎng)格上又重新跳動(dòng)振蕩起來(lái)，然后根據(jù)松弛迭代的方法對(duì)其進(jìn)行處理，這樣會(huì)使在粗網(wǎng)格上誤差又變得光滑起來(lái)，繼續(xù)將其限制到更粗的網(wǎng)格上進(jìn)行光滑迭代，重復(fù)以上過(guò)程直至最粗限度的網(wǎng)格。到最粗的網(wǎng)格結(jié)束后將其每層網(wǎng)格迭代光滑后的誤差經(jīng)線性插值后再逐級(jí)返回至細(xì)一層網(wǎng)格，將這些返回后的誤差對(duì)方程解進(jìn)行校正，就可以得到更為精確的解，至此一次多重網(wǎng)格的循環(huán)結(jié)束[3]。

以2層網(wǎng)格為例進(jìn)行理論推導(dǎo)：

假設(shè)存在一個(gè)均勻剖分的兩重網(wǎng)格如圖，細(xì)網(wǎng)格的步長(zhǎng)是h，粗網(wǎng)格的步長(zhǎng)是H，H=2h，用線性方程表示剖分最細(xì)的網(wǎng)格層：

圖1 二維模型均勻剖分圖

Ahuh=fh（1）

Ah是系數(shù)矩陣，fh是右端項(xiàng)，uh是方程的精確解。

在細(xì)網(wǎng)格層上進(jìn)行1次松弛迭代，uh1是迭代過(guò)后的近似解，uh1和uh間高頻分量因迭代而衰減。

uh-uh1=eh1是誤差向量，rh1就是殘差向量

Ah（uh-uh1）=Aheh1=fh-Ahuh1=rh1（2）

將（2）式近似到粗網(wǎng)格上，AHeH=rH1（3）

由細(xì)到粗需要加入限制算子RHh（線性算子），使rH1=RHhrh1（4）

求解（3）得到eH1，加入插值算子PhH（線性算子），

得到eh1的近似解e1h，則e1h=PhHeH1（5）

可以方便的計(jì)算出公式（4）和（5）。最后就可以得出修正后的近似解h1

h1=uh1+e1h（6）

這是2層V循環(huán)的理論公式，亦可以看成任意相鄰網(wǎng)格層間的轉(zhuǎn)換公式。

在上述求解過(guò)程中，限制和插值算子是其重要組成，常用的是線性插值及完全加權(quán)限制，因是均勻剖分，故其常用的9點(diǎn)限制算子和插值算子分別是：

RHh=1161811618141811618116，PhH=121242121（7）

3.MG法三維響應(yīng)模擬

將多重網(wǎng)格法應(yīng)用于以有限差分為基礎(chǔ)的高密度正演中，以溫納裝置對(duì)典型的地下異常體進(jìn)行測(cè)量，電流都是I=1A，電極距為5米，測(cè)線總長(zhǎng)度100米，則測(cè)區(qū)范圍一共有21個(gè)電極。網(wǎng)格剖分為49×49×31，剖分模式為不等距剖分，中間細(xì)網(wǎng)格，邊界剖分為指數(shù)增長(zhǎng)的網(wǎng)格。構(gòu)建三維模型

3.1不同測(cè)線方向的異常響應(yīng)

圖2 不同測(cè)線分布圖

為了突顯正演的響應(yīng)，在用溫納測(cè)量時(shí)，從不同的傾角進(jìn)行測(cè)量，如圖2θ是測(cè)線與X軸的夾角，（θ0=0；θ1=30；θ2=45；θ3=60；θ4=90），在用溫納裝置測(cè)量時(shí)，會(huì)得到63個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，測(cè)得地下深度42.5米；在用偶極-偶極測(cè)量時(shí)，會(huì)得到171個(gè)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)，測(cè)得地下深度47.5米。以低阻異常為例，異常體的電阻率為1Ω·m，圍巖電阻率為100Ω·m，異常體埋深為Z方向3到10米，X方向?yàn)?10米到10米。

當(dāng)?shù)叵庐惓ｓw是一個(gè)沿Y方向延伸的二度體，通過(guò)溫納裝置從不同角度的到的視電阻率圖（圖3）。

圖3 Y=100：溫納不同角度視電阻率圖

利用溫納裝置測(cè)量時(shí)，當(dāng)θ0=0°時(shí)測(cè)線垂直橫穿過(guò)低阻異常體，此時(shí)可以得到一個(gè)范圍比較小可近似看成倒梯形的低阻異常范圍，實(shí)際范圍X方向比較準(zhǔn)確在模型范圍內(nèi)，Z方向向下延伸比較多；當(dāng)θ0=30°、45°、60°時(shí)同樣可以得到異常區(qū)域范圍X方向逐漸變大，直至90°時(shí)通過(guò)圖e可以看到，視電阻率圖所呈現(xiàn)的是一個(gè)地下均勻平行的兩層介質(zhì)。

3.2異常體埋深的響應(yīng)

前面得到了測(cè)線穿過(guò)異常體的各種情況，本節(jié)將研究當(dāng)模型參數(shù)不變時(shí)，測(cè)線不穿過(guò)異常體，并與異常體垂直距離不等時(shí)的響應(yīng)特征。溫納的裝置參數(shù)都不變，當(dāng)異常體垂直距離測(cè)線Y=0、15、35米時(shí)如圖4。

經(jīng)過(guò)兩種裝置測(cè)量后，得到圖5，如圖所示，隨著與測(cè)線垂直距離的不斷加大，正演響應(yīng)均有一定變化。當(dāng)Y=0m時(shí)，相當(dāng)于垂直橫穿過(guò)異常體，與5.1中θ=0時(shí)情況相同；當(dāng)Y=15m時(shí)，異常區(qū)域均有向下的趨勢(shì)，但是X方向范圍變化不大；當(dāng)Y=90m時(shí)，異常區(qū)域都為位于圖片的下方，幾乎脫離視電阻率圖?？偨Y(jié)來(lái)說(shuō)，當(dāng)異常體與側(cè)向越近時(shí)，響應(yīng)特征越好，隨著距離的增加，異常響應(yīng)會(huì)逐漸向下，最后移出測(cè)量范圍。

圖4 不同埋深時(shí)示意圖

圖5 不同埋深時(shí)溫納裝置視電阻率圖

結(jié)論

在應(yīng)用多重網(wǎng)格法進(jìn)行迭代計(jì)算的基礎(chǔ)上，用溫納裝置對(duì)地下典型的異常體模型進(jìn)行正演模擬，通過(guò)對(duì)正演響應(yīng)的分析發(fā)現(xiàn)，地下存在二度體和異常體Y的長(zhǎng)度變短時(shí)的情況下，從不同角度進(jìn)行測(cè)量時(shí)響應(yīng)的結(jié)果差別很大，只有當(dāng)測(cè)線垂直穿過(guò)異常體時(shí)，響應(yīng)結(jié)果最好；當(dāng)異常體與測(cè)線距離不同時(shí)，距離越近，正演響應(yīng)越接近真實(shí)模型。以上兩種正演響應(yīng)均能較好的反應(yīng)出不同條件下的模型特征，相信多重網(wǎng)格法未來(lái)在物探領(lǐng)域應(yīng)該有更好的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]Alcouffe R.E.，Brandt A.，Dendy J.E.，and Painter J.W..The multi-grid method for the diffusion equation with strongly

[2]喬中林.直流電法三維正演多重網(wǎng)格算法研究[D].北京：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)，2007.

[3]魯晶津.地球電磁三維數(shù)值模擬的多重網(wǎng)格方法及其應(yīng)用研究[D].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)，2010.endprint