王衛(wèi)東

內(nèi)蒙古呼和浩特市第十四中學(xué)

高考對于導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的考察

王衛(wèi)東

內(nèi)蒙古呼和浩特市第十四中學(xué)

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主干線，同時歷年高考的重要考點?？v覽最近今年高考試卷中的高考數(shù)學(xué)試卷，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性是近幾年高考中的熱點和難點，而導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)的單調(diào)性問題的有力工具。

一、導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

解決此問題的依據(jù)是：設(shè)函數(shù)f（x）在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f’（x），那么當(dāng)f’（x）取不同的值時，所對應(yīng)的函數(shù)的單調(diào)性也不相同。

（1）若f’（x）＞0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是遞增的；

（2）若f’（x）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是遞增的；

（3）若f’（x）=0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)是遞增的。

二、解決的問題

縱觀2016年高考數(shù)學(xué)試題，其中利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的問題主要包括以下幾類。

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）通過函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性來求解參數(shù)的取值范圍。

而第2類問題又是是建立在第一類問題的基礎(chǔ)之上。

下面結(jié)合2016年高考中出現(xiàn)的與通過導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)單調(diào)性的試題，進行分析。

三、真題解析

例1（2016北京理科，18）。

設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx，曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4，

（1）求a，b的值；

（2）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

[答案]（Ⅰ）a=2，b=e；（2）f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞)。

[解析]

（1）因為

（2）f(x)=xea-x+bx，所以f’(x)=(1-x)ea-x+b。

解得a=2，b=e；

（2）由（1）知f(x)=xe2-x+ex

由f’(x)=(1-x+ex-1)e2-x，即e2-x＞0，所以f’(x)與(1-x+ex-1)同號。

令g(x)=1-x+ex-1，則g’(x)=-1+ex-1

所以，x∈(-∞,1)時，g'(x)＜0，g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增。

所以g（1）=1是g（x）在區(qū)間(-∞,+∞)上的最小值，

所以g(x)＞0,x∈(-∞,+∞)，

綜上所述，f'(x)＞0,x∈(-∞,+∞)，所以（fx）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞)。

[試題分析]這道題考察的是利用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先要求出的導(dǎo)數(shù)值（1）根據(jù)題意求出f'(x)，根據(jù)f(2)=2e+2，f'(2)=e-1，求a，b的值；（2）由題意知判斷f'(x)，即判斷g(x)=1-x+ex-1的單調(diào)性，知g(x)＞0，即f'(x)＞0，由此求得f(x)的單調(diào)區(qū)間。

例2（2016全國卷，21（I））

[解析]

f(x)的定義域為(-∞,-2)∪(-2,+∞).

且僅當(dāng)x=0時，f'(x)=0，所以f(x)在(-∞,-2),(-2,+∞)單調(diào)遞增，

因此當(dāng)x∈(0,+∞)時，f(x)＞f(0)=-1,

所以(x-2)ex＞-(x+2),(x-2)ex+x+2＞0。

[試題分析]這道題考察的是利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，并確定函數(shù)的極值與最值。解答這道題，先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x∈(0,+∞)時，f(x)＞f(0)證明結(jié)論。

四、總結(jié)

最開始導(dǎo)數(shù)知識是本科教育高等數(shù)學(xué)中的模塊，教育改革中將導(dǎo)數(shù)知識下放到高中教學(xué)中。但是高中對于導(dǎo)數(shù)的研究，并不會像大學(xué)那樣的系統(tǒng)和深刻?？忌谔幚韺?dǎo)數(shù)問題時，首先要先掌握導(dǎo)數(shù)概念自身的抽象性，很多學(xué)生對導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識理解不透徹都有可能解答不出相應(yīng)的試題。這就導(dǎo)致學(xué)生會出現(xiàn)認知盲點的問題，出現(xiàn)失誤。教學(xué)過程中，教師應(yīng)結(jié)合新課標(biāo)對導(dǎo)數(shù)的要求，采取積極的教學(xué)策略策略；引導(dǎo)學(xué)生去正視錯誤，分析錯誤，改正錯誤，再多加練習(xí)，進而加深對相關(guān)概念的理解。