邱星輝， 韓勤鍇, 褚福磊

(1.清華大學(xué)機(jī)械工程系， 北京 100084; 2.北京航天發(fā)射技術(shù)研究所， 北京 100076)

基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動對風(fēng)力機(jī)行星齒輪動力學(xué)特性的影響分析①

邱星輝1,2， 韓勤鍇1, 褚福磊1

(1.清華大學(xué)機(jī)械工程系， 北京 100084; 2.北京航天發(fā)射技術(shù)研究所， 北京 100076)

由于塔架在風(fēng)力作用下的彎曲振動，機(jī)艙會產(chǎn)生俯仰運(yùn)動，進(jìn)而對行星齒輪產(chǎn)生基礎(chǔ)激勵。從能量角度出發(fā)，考慮基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動、輪齒脫嚙和齒背嚙合，通過第二類拉格朗日方程建立了基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動下行星齒輪傳動非線性彎-扭-軸耦合模型。與現(xiàn)有基礎(chǔ)固定情況下的耦合模型相比，基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動將引起附加阻尼、附加剛度和附加外激勵，同時引起直齒輪平面運(yùn)動與軸向運(yùn)動的耦合。采用數(shù)值積分獲得系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，評估軸向運(yùn)動對系統(tǒng)動力學(xué)特性影響的大小，分析基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動和齒圈支承剛度對行星齒輪動力學(xué)響應(yīng)和均載特性的影響。結(jié)果表明，基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動顯著增大中心輪(行星架、齒圈和太陽輪)的橫向振動；行星輪所受附加作用力不相同，運(yùn)動對稱性被破壞，系統(tǒng)出現(xiàn)不均載現(xiàn)象。當(dāng)系統(tǒng)存在輪齒脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度能顯著改善均載特性，沒有輪齒脫嚙和齒背嚙合時，均載系數(shù)隨著齒圈支承剛度的增大而小幅增大。

行星齒輪； 基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動； 能量法； 均載特性； 支承剛度

引 言

行星齒輪傳動在結(jié)構(gòu)上采用多個行星輪來分擔(dān)載荷，形成功率分流，具有結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、傳動比大和傳動效率高等特點(diǎn)，在工程中得到廣泛應(yīng)用。關(guān)于行星齒輪的動力學(xué)建模和分析的研究較為廣泛和深入[1]，模型類型不斷發(fā)展，系統(tǒng)自由度和考慮因素不斷增多，期望通過動力學(xué)分析為設(shè)計(jì)和振動控制提供理論依據(jù)。王世宇等[2]建立行星齒輪純扭轉(zhuǎn)集中參數(shù)模型研究了行星齒輪的固有特性。由于在齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)過程中參與嚙合的齒數(shù)發(fā)生變化，輪齒嚙合剛度是周期時變的，成為齒輪傳動的主要激勵源。Wang[3]研究了時變剛度引起的行星齒輪參數(shù)穩(wěn)定性。Parker等采用有限元法分析了輪齒脫嚙引起的非線性現(xiàn)象，得到了抑制特定模態(tài)響應(yīng)的相位調(diào)諧準(zhǔn)則[4]，并對相位調(diào)諧的有效性進(jìn)行了物理解釋[5]。李同杰等[6]研究了行星齒輪間隙非線性引起的多值解及其穩(wěn)定性。陸俊華[7]和Kahraman[8]分別研究了誤差對行星齒輪均載特性的影響。Guo和Parker[9]考慮重力引起的輪齒雙面嚙合現(xiàn)象，研究了雙面嚙合與行星輪軸承載荷間的關(guān)系。Qiu等[10]研究了重力引起的不均載，著重分析了齒圈支承剛度對行星齒輪均載特性的影響。

上述研究在建模和分析過程中，沒有考慮基礎(chǔ)運(yùn)動，即認(rèn)為基礎(chǔ)是不動的，僅關(guān)注行星齒輪傳動本身的振動特性。但在實(shí)際運(yùn)用中，基礎(chǔ)運(yùn)動是常見且不可避免的，例如風(fēng)力機(jī)塔架彎曲振動產(chǎn)生的機(jī)艙運(yùn)動。從單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究可以發(fā)現(xiàn)，基礎(chǔ)運(yùn)動引起附加阻尼、附加剛度和附加外激勵，顯著改變單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)特性[11-12]。對風(fēng)力機(jī)行星齒輪傳動而言，風(fēng)力機(jī)塔架在風(fēng)載作用下的振動已有廣泛研究，但相應(yīng)基礎(chǔ)運(yùn)動對行星齒輪動態(tài)特性的影響及機(jī)理還不明了。因此，十分有必要建立適用于基礎(chǔ)運(yùn)動作用下行星齒輪傳動的動力學(xué)模型，分析基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動作用下行星齒輪的動態(tài)特性，進(jìn)而評估基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動對行星齒輪傳動的影響。

本文從能量角度出發(fā)，考慮輪齒脫嚙和齒背嚙合，提出了基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動下行星齒輪傳動非線性彎-扭-軸耦合模型，并與基礎(chǔ)固定情況下的模型進(jìn)行對比，從模型上反映基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動的影響。采用數(shù)值積分獲得系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，評估齒輪軸向運(yùn)動對系統(tǒng)的影響，細(xì)致分析基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動和齒圈支撐剛度對行星齒輪傳動動態(tài)響應(yīng)、均載特性的影響。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1所示為行星齒輪傳動動力學(xué)模型的示意圖，系統(tǒng)各構(gòu)件均視為剛體，質(zhì)量分別為mc,mr,ms,mj，轉(zhuǎn)動慣量分別為Ic,Ir,Is,Ij，其中下標(biāo)c,r,s,j(j=1,2,…,N，N為行星輪個數(shù))分別代表行星架、太陽輪、齒圈和第j個行星輪。假定齒輪嚙合變形用沿嚙合線方向的等效彈簧表示，其中ksj為太陽輪與第j個行星輪嚙合剛度，krj為齒圈與第j個行星輪嚙合剛度。行星架、齒圈、太陽輪和行星輪橫向支承剛度分別為kc,kr,ks,kp，軸向支承剛度為kcz,krz,ksz,kpz。中心構(gòu)件扭轉(zhuǎn)剛度為kcu,kru,ksu。作用在行星架和太陽輪上的轉(zhuǎn)矩分別用Tc,Ts表示。

圖1 基礎(chǔ)運(yùn)動下行星齒輪傳動的動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of the planetary gear under base motions

中心構(gòu)件在局部坐標(biāo)系oxyz中的運(yùn)動為xl,yl,zl(l=c，r，s), 該坐標(biāo)系以行星齒輪中心o為原點(diǎn)，其中心與第一個行星輪中心連線為x軸，齒輪平面內(nèi)垂直于x方向?yàn)閥軸。行星輪在局部坐標(biāo)系ojξjηjzj中的運(yùn)動用ξj,ηj和zj表示。這些局部坐標(biāo)系以各行星輪中心oj為原點(diǎn)，ooj為ξ軸，齒輪平面內(nèi)垂直于ξ方向?yàn)棣禽S。所有隨體坐標(biāo)系以行星架轉(zhuǎn)速Ωc繞z軸勻速旋轉(zhuǎn)。各構(gòu)件的轉(zhuǎn)動位移為uh=rh?h(h=c,r,s,1,2,…,N)，其中?h為各構(gòu)件轉(zhuǎn)動角位移，rh為齒輪基圓半徑。坐標(biāo)系oxbybzb固定在基礎(chǔ)上來描述基礎(chǔ)運(yùn)動，OXYZ為慣性坐標(biāo)系。隨體坐標(biāo)系oxbybzb相對慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動分別用α,β,γ表示，平動用ub表示。文中只考慮基礎(chǔ)在慣性坐標(biāo)系內(nèi)的俯仰運(yùn)動α，即β=0，γ=0，ub=0。

為統(tǒng)一坐標(biāo)系的平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，引入齊次坐標(biāo)表征構(gòu)件在隨體坐標(biāo)系中的位置

(1)

(2)

通過齊次變換矩陣得到各構(gòu)件質(zhì)心在慣性坐標(biāo)系中的位置ChR(h=c,r,s,1,2,…,N)：

ChR=Rot(x,α)Tran(uh)Rot(z,θh)Ch

(3)

(4)

(5)

(6)

由于行星輪同時存在自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)運(yùn)動，中心輪和行星輪的具體表達(dá)式略有不同：

θj=Ωct+φj

(7)

系統(tǒng)動能為

(8)

系統(tǒng)彈性勢能包括輪齒嚙合變形和支承彈性變形，基礎(chǔ)運(yùn)動不影響系統(tǒng)彈性勢能的計(jì)算。輪齒傳動面嚙合變形為[9, 14]：

(13)

式中ba為齒側(cè)間隙。行星輪軸承徑向變形δjr和切向變形δjt為

(14)

2 動力學(xué)微分方程

取系統(tǒng)廣義坐標(biāo)為

(15)

通過第二類拉格朗日方程[13]，即可得到系統(tǒng)運(yùn)動微分方程

(16)

行星架運(yùn)動微分方程為：

(17)

齒圈運(yùn)動微分方程為：

(18)

太陽輪運(yùn)動微分方程為：

(19)

行星輪運(yùn)動微分方程為：

(20)

引入阻尼項(xiàng)，將以上4(N+3)個方程寫成矩陣形式為

(21)

其中M為質(zhì)量矩陣，G為反對稱陀螺矩陣，KΩ為向心剛度矩陣，Kmd為傳動面嚙合剛度矩陣，Kmb為齒背嚙合剛度矩陣，KB為軸承剛度矩陣，F(xiàn)為作用在行星齒輪上的扭矩載荷，F(xiàn)mb為齒背嚙合產(chǎn)生的非線性外激勵力。C=(V-1)Tdiag(2ξnωn)V-1為通過模態(tài)阻尼比引入的阻尼矩陣，其中ξn(n=1,2,…,4(N+3))為模態(tài)阻尼比，ωn為不考慮基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動和嚙合剛度變化時的系統(tǒng)固有頻率，V為正則振型矩陣。上述矩陣均與基礎(chǔ)固定情況下行星齒輪模型[10]一致。

基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動的影響為引起附加阻尼Cb、附加剛度Kb和附加外激勵Fb，具體表達(dá)式如下：

(22)

Kbh=mh·

(23)

(24)

3 算例分析

圖1所示的行星傳動采用不同的固聯(lián)模式和自由度分配可以有完全不同的傳動模式，但其動力學(xué)建模與分析方法相同，只是存在動力學(xué)參數(shù)取值差異。本節(jié)動力學(xué)分析以美國可再生能源實(shí)驗(yàn)室(NREL)550 kW風(fēng)力機(jī)行星齒輪參數(shù)為基礎(chǔ)[16]，主要模擬參數(shù)如表1所示。風(fēng)力機(jī)行星齒輪傳動是增速齒輪傳動，以行星架為輸入端，太陽輪為輸出端，齒輪箱采用柔性支承與機(jī)艙底座相連。假定基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動的形式為α=Bsin2πfbt。由表1可知，示例行星齒輪系統(tǒng)有N=3個行星輪且均勻分布，中心輪齒數(shù)能被行星輪個數(shù)整除，故各行星輪同相嚙合，嚙合剛度完全相同，其傅里葉級數(shù)展開式為

(j=1,2,…,N)

(25)

對動力學(xué)方程(21)采用變步長龍格庫塔數(shù)值積分求得系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)。圖2為基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動B=15°，fb=5 Hz情況下行星架和行星輪1的振動響應(yīng)。與不考慮基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動時中心輪橫向振動響應(yīng)可忽略不計(jì)的情況相比，基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動顯著增大中心輪的橫向振動，齒輪軸向存在穩(wěn)定的周期振動。

表1 示例行星齒輪傳動主要模擬參數(shù)

圖2 存在基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動B=15°，fb=5 Hz情況下行星架和行星輪1的振動位移Fig.2 Vibration displacements of the carrier and planet 1 with pitching base motion B=15°，fb=5 Hz

基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動增大中心輪橫向振動這一現(xiàn)象可以從行星齒輪的模態(tài)進(jìn)行很好的解釋。由于行星齒輪結(jié)構(gòu)對稱性，其固有特性具有很好的規(guī)律性[10, 14, 17]。表1中示例行星齒輪的模態(tài)可以分為扭轉(zhuǎn)模態(tài)、平移模態(tài)和軸向模態(tài)：扭轉(zhuǎn)模態(tài)中，中心輪只有扭轉(zhuǎn)運(yùn)動，各行星輪運(yùn)動相同；平移模態(tài)中，中心輪只有平動，行星輪運(yùn)動不相同；軸向模態(tài)中，行星齒輪只有軸向運(yùn)動。當(dāng)不考慮基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動時，系統(tǒng)激勵源為剛度激勵和外部扭矩；當(dāng)行星輪均布且同相嚙合時，只有扭轉(zhuǎn)模態(tài)被激起，平移模態(tài)響應(yīng)被抑制[4-5]，因而中心輪幾乎沒有橫向振動。考慮基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動后，由于附加剛度和附加外激勵力的作用，平移模態(tài)被激起，中心輪橫向振動響應(yīng)顯著增大。

對于直齒輪，輪齒動態(tài)嚙合力作用在齒輪平面內(nèi)，在軸向方向并無分量，因而在分析直齒輪動態(tài)響應(yīng)時通常不考慮齒輪軸向運(yùn)動[8-10]?；A(chǔ)俯仰運(yùn)動引起的平面運(yùn)動與軸向運(yùn)動耦合效應(yīng)的強(qiáng)弱可以通過對比考不考慮軸向運(yùn)動情況下的振動幅度來衡量。如圖3所示，當(dāng)基礎(chǔ)運(yùn)動頻率fb從0增大到10 Hz時，齒輪橫向、軸向運(yùn)動和輪齒嚙合變形均隨之增大，但軸向運(yùn)動遠(yuǎn)小于橫向運(yùn)動。兩種情況下得到的齒輪橫向振動和齒輪嚙合變形差別可忽略不計(jì)，因此當(dāng)基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動頻率較低或幅度較小時，可以忽略齒輪軸向運(yùn)動。

圖3 軸向運(yùn)動對系統(tǒng)振動特性的影響Fig.3 Influence of axial motions on the dynamic behaviors of the planetary gear

4 參數(shù)影響分析

不同基礎(chǔ)運(yùn)動頻率下太陽輪-行星輪嚙合變形如圖4所示。無基礎(chǔ)運(yùn)動時，各行星輪結(jié)構(gòu)對稱且承受相同的激勵，示例行星齒輪的扭轉(zhuǎn)模態(tài)被激起，而在扭轉(zhuǎn)模態(tài)中各行星輪運(yùn)動完全相同，此時系統(tǒng)完全均載(圖4(a))。當(dāng)B=15°，fb=5 Hz時，基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動引起的附加剛度和附加外激勵不相同，且各行星輪附加外激勵不關(guān)于行星齒輪中心對稱，行星齒輪受力對稱性被破壞，各行星輪運(yùn)動出現(xiàn)差異，但差異不大(圖4(b))，且輪齒嚙合未出現(xiàn)輪齒脫嚙和齒背嚙合現(xiàn)象。當(dāng)fb增大到13 Hz時，如圖4(c),(d)所示，系統(tǒng)出現(xiàn)輪齒脫嚙和齒背嚙合現(xiàn)象，行星輪運(yùn)動差異明顯，不均載現(xiàn)象嚴(yán)重。

行星齒輪的均載情況可采用均載系數(shù)來定量衡量[10]

KLS(t)= max{fpj(t)}|j/mean{mean[fpj(t)]|j}|t

(26)

式中fpj(t)為行星輪軸承承受的動態(tài)載荷。由于式(26)為時間函數(shù)，本文取max[KLS(t)]作為均載指標(biāo)。理想情況下，載荷在行星輪間均勻分布，均載系數(shù)為1。

在圖4所示的三種基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動條件下，隨著基礎(chǔ)運(yùn)動頻率的增大，行星齒輪會出現(xiàn)輪齒脫嚙和齒背嚙合，系統(tǒng)從線性時變系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性時變系統(tǒng)，中心輪的運(yùn)動軌跡同樣會發(fā)生顯著變化。如圖5(a)所示，當(dāng)沒有基礎(chǔ)運(yùn)動時，行星架無橫向振動，質(zhì)心運(yùn)動軌跡為一點(diǎn)；當(dāng)基礎(chǔ)運(yùn)動頻率較小時(fb=5 Hz)，行星架橫向振動增大，質(zhì)心運(yùn)動軌跡為花瓣形，如圖5(b)所示；當(dāng)基礎(chǔ)運(yùn)動頻率增大到13 Hz時，行星架橫向振動顯著增大，且其質(zhì)心運(yùn)動軌跡變得十分復(fù)雜。

在風(fēng)力機(jī)齒輪傳動中，箱體與機(jī)艙的連接通常采用柔性支承，在基礎(chǔ)存在俯仰運(yùn)動時齒圈支承剛度kr對行星齒輪動態(tài)響應(yīng)影響如圖6所示。顯然，增大齒圈支承剛度能顯著減小中心輪的橫向振動，但對中心輪扭轉(zhuǎn)振動的影響與基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動導(dǎo)致的齒輪嚙合狀態(tài)有關(guān)：如圖6(a)所示，當(dāng)系統(tǒng)未出現(xiàn)輪齒脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度對中心輪扭轉(zhuǎn)振動的影響非常小；存在輪齒脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度能顯著減小中心輪的扭轉(zhuǎn)振動，如圖6(b)所示。

圖4 不同基礎(chǔ)運(yùn)動頻率下太陽輪-行星輪嚙合變形Fig.4 Sun-planet mesh deflections with different pitching base motion frequency

圖5 不同基礎(chǔ)運(yùn)動頻率下行星架相圖Fig.5 Phase diagram of the carrier under different base frequency

齒圈支承剛度對行星齒輪均載特性的影響如圖7所示。同樣，齒圈支承剛度對均載特性的影響也與基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動造成的嚙合狀態(tài)有關(guān)：如圖7(a)所示，基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動未引起脫嚙和齒背嚙合時，隨著支承剛度的增大，均載系數(shù)增大，但增幅很小；如圖7(b)所示，當(dāng)基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動引起脫嚙和齒背嚙合時，增大該支承剛度能顯著減小均載系數(shù)，當(dāng)其增大到一定值后，輪齒脫嚙和齒背嚙合被抑制，均載系數(shù)又呈現(xiàn)小幅增大的趨勢。

圖6 齒圈支承剛度kr對太陽輪扭轉(zhuǎn)振動的影響Fig.6 Influence of ring support stiffness kr on rotational vibration of the sun

圖7 基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動下齒圈支承剛度kr對均載系數(shù)的影響Fig.7 Influence of ring support stiffness kr on load sharing factor with pitching base motion

5 結(jié) 論

本文從能量角度出發(fā)，通過拉格朗日方程建立了基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動下行星齒輪傳動彎-扭-軸非線性耦合模型，并與基礎(chǔ)固定情況下的行星齒輪傳動模型進(jìn)行了對比。通過變步長龍格庫塔數(shù)值積分獲得系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)，評估了齒輪軸向運(yùn)動對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，分析了基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動參數(shù)和齒圈橫向支承剛度對行星齒輪動態(tài)響應(yīng)和均載特性的影響規(guī)律。主要結(jié)論如下：

(1) 動態(tài)基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動會產(chǎn)生附加阻尼、附加剛度和附加外激勵力，并引起齒輪軸向運(yùn)動和平面運(yùn)動的耦合。

(2) 基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動顯著增大中心輪的橫向振動，破壞行星齒輪的受力對稱性，各行星輪運(yùn)動出現(xiàn)差異，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不均載。

(3) 當(dāng)基礎(chǔ)俯仰運(yùn)動引起輪齒脫嚙和齒背嚙合時，增大齒圈支承剛度能顯著改善系統(tǒng)均載特性；當(dāng)未出現(xiàn)輪齒脫嚙和齒背嚙合時，不均載隨著齒圈支承剛度的增大而小幅增大。

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Influence of pitching base motion on the planetary gear in wind turbines

QIUXing-hui1,2,HANQin-kai1,CHUFu-lei1

(1.Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China;
2.Beijing Institute of Space Launch Technology, Beijing 100076, China)

Because of the tower vibration induced by wind load, the cabin will experience pitching motion, which causes pitching base motion to the planetary gear. Considering pitching base motion, tooth separation and back-side contact, a rotational-translational-axial model of the planetary gear under pitching base motion is presented through the Lagrange equation of the second kind. Compared with the traditional model, pitching base motion induces additional damping, stiffness and external excitation, and coupling between axial motion and in-plane motions of the gear. Through numerical integration, the dynamic response is obtained. The influence of axial motions on the planetary gear is evaluated, and the influence of base motion and ring support stiffness on the dynamic response and load sharing is investigated. Pitching base motion significantly increases the transverse vibrations of the central components (carrier, ring, sun). Additional forces on planets are not identical, and thus the movement symmetry is destroyed. With the existence of tooth separation and back-side contact, increasing the ring support stiffness can significantly improve the load sharing condition. Without tooth separation and back-side contact, load sharing factor increases slightly with the ring support stiffness.

planetary gear; pitching base motion; energy method; load sharing; support stiffness

2015-11-11；

2016-04-09

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51335006); 北京市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(3131002)

TH132.425； TH113

1004-4523(2016)06-0945-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.001

邱星輝(1988—)，女，博士。電話：18810644220；E-mail：qxhtt123@sina.com