鄧小輝，賀詩榮

(衡陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽 421002)

關(guān)于相位比較法測聲速的研究

鄧小輝，賀詩榮

(衡陽師范學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，湖南 衡陽 421002)

聲速測定實(shí)驗(yàn)因?yàn)樯婕暗蕉喾N理論和實(shí)驗(yàn)方法的結(jié)合，從而成為力熱實(shí)驗(yàn)中的一個(gè)重要的綜合性實(shí)驗(yàn)。論文嚴(yán)格推導(dǎo)出聲位移駐波的波節(jié)附近的聲壓駐波可以化為一行波，從而實(shí)現(xiàn)從駐波場中經(jīng)換能片輸出一行波，通過比較其相位測定聲速。解釋了聲速測定實(shí)驗(yàn)中長期存在的疑惑，通過實(shí)驗(yàn)測量驗(yàn)證了理論推導(dǎo)結(jié)果的正確性。

聲速測定，相位比較法，駐波，行波

0 引 言

測量聲速有很多種方法，而高等師范院校物理學(xué)專業(yè)的力熱實(shí)驗(yàn)或者面向普通理工科學(xué)生開設(shè)的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，通常采用相位比較法來測量聲速。此方法涉及到眾多物理知識的融合，從理論基礎(chǔ)和實(shí)驗(yàn)技能都有涉獵，是一個(gè)很好的培養(yǎng)學(xué)生基本實(shí)驗(yàn)技能，鍛煉學(xué)生綜合理論和實(shí)踐能力的一個(gè)很好的實(shí)驗(yàn)方案。一直以來，聲速測定實(shí)驗(yàn)都是很多綜合性大學(xué)物理學(xué)專業(yè)和其它理工科學(xué)生必修的一個(gè)綜合性實(shí)驗(yàn)。

聲速測定實(shí)驗(yàn)原理圖如圖1。實(shí)驗(yàn)儀器包括，聲速測定儀(SW-1型)，雙蹤示波器和函數(shù)信號發(fā)生器。從函數(shù)信號發(fā)生器中引出兩列余弦信號(也可以是其它信號)，一列直接輸入到示波器的一個(gè)通道(Y)，一列通過換能片S1和S2后輸入到示波器另一個(gè)通道(X)。顯然，Y通道的信號為來自函數(shù)信號發(fā)生器的信號；而X通道的信號，在通過換能片S1和S2之間區(qū)域時(shí)，會發(fā)生復(fù)雜的波的干涉，因而換能片S2接受到的信號，無論是其相位還是強(qiáng)度都將變得復(fù)雜。所謂相位比較法，就是通過比較來自X和Y通道接受到的信號的相位來確定行波的波長，從而測出聲速。

傳統(tǒng)的利用相位比較法來測定聲速有多種實(shí)現(xiàn)途徑。例如，楊述武先生主編的《普通物理實(shí)驗(yàn)》教材中[1], 一個(gè)行波信號直接由信號發(fā)生器輸入到示波器的X端，另一個(gè)行波信號由裝有錐形吸音體的耳塞輸入到示波器的Y端，通過比較X和Y兩個(gè)通道的信號的相位來確定聲波的波長，從而測定聲速。這樣的方法很好理解, 因?yàn)閄和Y端接收到的信號都是行波信號。又如朱俊孔先生等主編的《普通物理實(shí)驗(yàn)》教材中[2]，一個(gè)行波信號也是直接由信號發(fā)生器輸給示波器的X端，另一個(gè)信號由換能器S2輸給示波器的Y端，但為了使S2輸出的另一個(gè)信號是行波信號，需微調(diào)S2，使其不平行于S1，使入射波和反射波不疊加。當(dāng)然，我們也能理解這一測量方法。但是，在學(xué)生實(shí)驗(yàn)過程中，卻發(fā)現(xiàn)不需微調(diào)S2使其不平行S1，即使S2與S1嚴(yán)格平行，也能從S2輸出一個(gè)信號，通過比較其相位，測出聲速來。正如我們前面講過的一樣，信號在通過換能片S1和S2之間區(qū)域時(shí)，會發(fā)生復(fù)雜的波的疊加，如果調(diào)節(jié)S1和S2到合適的距離，從S1向左傳播的波和從S2返回的波會發(fā)生疊加從而形成穩(wěn)定的駐波[3]. 實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們也確實(shí)是需要在S1和S2之間形成駐波時(shí)才能在示波器中觀察到X通道的穩(wěn)定的信號，從而與Y通道的信號來比較相位。但是，在S1和S2之間形成了駐波的情況下，為什么從駐波場中經(jīng)S2輸出一個(gè)信號，也能與一個(gè)行波比較相位，從而測定聲速呢？可以預(yù)見，通過換能片S2獲得的應(yīng)為一列行波信號，從而才能與X通道接收到的行波信號比較相位。本文從理論上證明聲波位移駐波的波節(jié)附近的聲壓駐波確實(shí)可以轉(zhuǎn)化為一行波，從而解決了長期以來在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中存在的疑惑。

圖1 聲速測定實(shí)驗(yàn)原理圖

1 理論推導(dǎo)

設(shè)函數(shù)信號發(fā)生器信號源輸出信號(電壓信號)為U=U0cosωt，那么示波器Y端接收的信號為UY=U0cosωt。同時(shí)，換能片S1在信號的帶動(dòng)下振動(dòng)，并帶動(dòng)S1和S2之間的空氣振動(dòng)，從而使換能片S2亦振動(dòng)。可見，換能片S1和S2都不能視為理想的剛性平面，因此波經(jīng)過換能片S2表面反射伴隨著半波損失。取S1表面為坐標(biāo)原點(diǎn)O，x軸正方向?yàn)橄蜃螅琒2的位置設(shè)為x0(如圖1)。沿x軸正向傳播的入射波為

y1=Acos(ωt-kx-φ0)

(1)

式中φ0為波從信號源經(jīng)S1傳到原點(diǎn)O落后的相位，實(shí)驗(yàn)時(shí)可以測出。入射波在x0點(diǎn)的振動(dòng)方程為

y1|x0=Acos(ωt-kx0-φ0)

(2)

在x0點(diǎn)經(jīng)S2反射后，反射波在x0點(diǎn)的振動(dòng)相位與入射波的振動(dòng)相位相反，故有

y2|x0=Acos(ωt-kx0-φ0+π)

(3)

反射波沿x軸負(fù)向傳播，所以反射波波方程為

=Acos(ωt+kx-2kx0-φ0+π)

(4)

S1和S2之間，入射波y1和反射波y2發(fā)生疊加，因此其疊加波的波方程為

y=y1+y2

=2Asin(kx-kx0)sin(ωt-kx0-φ0)

(5)

如選取S2所在位置x0滿足kx0=iπ(i=0,1,2…)，則有

y=2Asin(iπ-kx)sin(iπ-ωt+φ0)

=2A(-1)i+1sin kx(-1)i+1sin(ωt-φ0)

=2Asin kxsin(ωt-φ0)

(6)

上式即為聲位移駐波的表達(dá)式。顯然，位移駐波的波節(jié)滿足kx=iπ(i=0,1,2…)。

現(xiàn)在我們來討論上述聲位移駐波的能量(聲壓)情況。伴隨著位移入射波和反射波，設(shè)其對應(yīng)的入射波和反射波聲壓為P1和P2，它們與位移駐波y1和y2的關(guān)系為

(7)

=ρAvωsin(ωt+kx-2kx0-φ0+π)

(8)

其中ρ為空氣密度，v為聲速。疊加后的聲壓為

P=P1+P2

=2ρAvωcos(kx-kx0)cos(ωt-kx0-φ0+π/2)

(9)

和聲位移駐波類似，同樣選取S2所在位置x0滿足kx0=iπ(i=0,1,2…)，化簡后得到的聲壓駐波的表達(dá)式為

P=2ρAvωcos kx cos(ωt-φ0+π/2)

(10)

上式即為聲壓駐波的表達(dá)式。顯然，位移駐波的波節(jié)處正是聲壓駐波的波腹。

Pi=2ρAvω(-1)icos(ωt-φ0+π/2)

=2ρAvωcos(ωt-φ0+π/2+iπ)

(11)

2 實(shí)驗(yàn)部分

(12)

其中λ、f、v和v0分別為波長、頻率、聲速和0 ℃下的聲速(取為331.45 m/s)。實(shí)驗(yàn)前，仔細(xì)調(diào)節(jié)函數(shù)信號發(fā)生器的頻率，使其與換能片的本征共振頻率一致，發(fā)現(xiàn)f當(dāng)為39 942 Hz時(shí)能達(dá)到共振，實(shí)驗(yàn)時(shí)，環(huán)境溫度為28 ℃。計(jì)算得到xi的值列于表1。實(shí)驗(yàn)上，我們也測量了X端和Y端接受到的兩列行波處于同、反相位時(shí)的坐標(biāo)值xi′，也列于表1。為了量化理論值偏離實(shí)驗(yàn)值的幅度，我們計(jì)算了其相對偏差E1，可見，同、反相位點(diǎn)的理論值相對其實(shí)驗(yàn)值的偏差在實(shí)驗(yàn)允許的范圍內(nèi)。這表明了我們考慮兩行波存在2φ0的相位差和半波損失具有充分的事實(shí)依據(jù)。從同、反相點(diǎn)坐標(biāo)的實(shí)驗(yàn)值偏離位移駐波節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)實(shí)驗(yàn)值來看，他們之間的偏差也是很小(E2)，說明(11)式表示的聲壓行波可以用于相位比較法來測定聲速。

最后，從表1可以看出，同、反相點(diǎn)坐標(biāo)的理論值和波節(jié)坐標(biāo)的實(shí)驗(yàn)值(xi″)的偏差(E3)也在實(shí)驗(yàn)允許的誤差范圍內(nèi)，這與實(shí)驗(yàn)時(shí)的觀測現(xiàn)象相符：兩行波在波節(jié)附近達(dá)到同相位或反相位。這時(shí)，(11)式表示的聲壓行波的振幅不是最大，但仍然可用用其表示的行波，通過相位比較法來測定聲速，這也說明了上述理論推導(dǎo)的正確性。

表1列出同、反相位點(diǎn)的理論值xi和實(shí)驗(yàn)測量值xi′，位移駐波波節(jié)點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)測量值xi″，單位為mm。E1=(xi-xi′)/xi′×100 %，表示同、反相位點(diǎn)的理論值相對其實(shí)驗(yàn)值的偏差；E2=(xi′-xi″)/xi″×100 %，表示同、反相位點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)值相對位移駐波波節(jié)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)值的偏差；E3=(xi-xi″)/xi″×100 %，表示同、反相位點(diǎn)的理論值相對位移駐波波節(jié)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)值的偏差。n為波節(jié)個(gè)數(shù)。

表1 同、反相位點(diǎn)的理論值和實(shí)驗(yàn)值

3 結(jié) 論

因?yàn)樯婕暗蕉喾N力、熱學(xué)理論知識和實(shí)驗(yàn)技能, 聲速測量實(shí)驗(yàn)?zāi)軜O好地鍛煉學(xué)生的理論聯(lián)系實(shí)際能力和綜合分析能力，也是很多高校必開的一個(gè)物理實(shí)驗(yàn)。然而在實(shí)驗(yàn)過程中繞不開的一個(gè)疑惑就是：如何來比較相位, 比較的又是什么波的相位。本文從理論出發(fā)，推導(dǎo)出了雙換能片之間形成的聲位移駐波及其聲壓駐波的解析表達(dá)式, 更為重要的是，我們嚴(yán)格證明了在聲位移駐波波節(jié)附近，聲壓駐波為一行波解析式，說明在各個(gè)波節(jié)鄰域內(nèi)，換能片S2接收的信號實(shí)為一行波信號。成功解釋了長期以來實(shí)驗(yàn)上存在的可以用比較相位來測定聲速的實(shí)際困惑。最后，我們測量了相關(guān)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了我們理論推演的正確性。因此，無論是從理解聲速測定實(shí)驗(yàn)，還是對聲速測定實(shí)驗(yàn)儀中的換能片的設(shè)計(jì)，本文都具有重要的參考價(jià)值。

[1] 楊述武. 普通物理實(shí)驗(yàn)(力學(xué)與熱學(xué)部分)[M]. 4版.北京：高等教育出版社,2007: 139-142.

[2] 朱俊孔.普通物理實(shí)驗(yàn)[M]. 濟(jì)南：山東大學(xué)出版社, 2001.

[3] 趙近芳，王登龍.大學(xué)物理學(xué)(上) [M]. 4版.北京：北京郵電大學(xué)出版社,2014: 148-176.

(編校 高 峰 實(shí)習(xí)生 郭齊旗)

On Sound Velocity Measuring of Phase Comparison Method

DENGXiao-hui,HEShi-rong

(College of Physics and Electronic Engineering,Hengyang Normal University,Hengyang Hunan 421002,China)

Due to involve the combination of a variety of theoretical and experimental methods, Sound velocity measurement thus becoming an important comprehensive experiment of university physics experiment even mechanics and heat experiments.The paper rigorously derived that an acoustic pressure wave nearby nodes of acoustic displacement wave could be translated to a traveling wave,thus to measure the sound speed through comparing the phases after outputting an traveling wave sign from the standing wave field.The paper explains the long-term existence of the sound velocity measurement experiment.Finally,we have verified that the correction of our theoretical deduction by experimental measurement.

sound velocity measurement; phase compare method; standing wave; traveling wave

2016-09-09

衡陽師范學(xué)院教學(xué)改革研究項(xiàng)目(JYKT201634); 衡陽師范學(xué)院大學(xué)生研究性學(xué)習(xí)和創(chuàng)新性實(shí)驗(yàn)計(jì)劃項(xiàng)目(cx1422)；教育部高等學(xué)校特色專業(yè)建設(shè)項(xiàng)目(TS11635)

鄧小輝(1979-)，男，湖南常寧人，高級實(shí)驗(yàn)師，在讀博士，主要從事物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)工作。

O422.1

A

1673-0313(2016)06-0084-04