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生長構架：復習課的理念創(chuàng)新

☉江蘇省南京市寧海中學分校卜以樓

生長型構架下的數(shù)學復習課，一改慣用的“框圖+例題+練習”的單一做法，而是根據(jù)所要復習的知識內(nèi)容和學生已有的認知經(jīng)驗，堅持系統(tǒng)論理論，踐行“生長數(shù)學”的教學主張，運用結構化的思維方法，架設生長型路徑，開展探究性活動，形成求異思維的一種自我建構的、有著新授課特質(zhì)的復習方法.這種復習課，學生將根據(jù)教師搭建的立體式、生長型構架中的“梯子”，重新認識所要復習的知識，并通過知識的生長過程，讓學生拾級而上，看清數(shù)學本質(zhì)，達到一定的認知高度，形成“一覽眾山小”的體驗，切實提高問題解決的能力，進而提升數(shù)學素養(yǎng).下面就生長型復習課的教育情懷、教學原則及設計策略談幾點認識.

一、生長型復習課的教育情懷

生長型復習課的情懷源于生命，立意基于生長，本質(zhì)體現(xiàn)發(fā)展.為此，生長型復習課的價值就在于尊重生命，放飛思維，收獲素養(yǎng).

1.讓復習課講述新故事

廣州的蘇德杰老師認為，讓學生喜歡數(shù)學課，就要向故事學過程.故事吸引孩子們，是因為它有發(fā)生發(fā)展的全過程.其中有順境，也不乏逆境，情節(jié)跌宕起伏.回到數(shù)學，就要展現(xiàn)思維的全過程，包括行得通和行不通的想法和做法.我們知道，新授課常常是圍繞一個探究內(nèi)容，展開“問題情境—模型解釋—拓展應用”這個思維主線，講述由未知到已知的思維故事［1］，其中問題情境可算是思維故事的發(fā)生，模型解釋就是思維故事的高潮，拓展應用相當于思維故事的結束.在這個思維故事中，主題鮮明、經(jīng)過清晰、高潮壯觀、結局美好，所以能給學生以一種扣人心弦、振奮人心的思維向往.而復習課的內(nèi)容，對于絕大部分學生來說，內(nèi)容是已知的，方法是熟悉的，操作是重復的，不再具備神秘性，所以會產(chǎn)生審美疲勞.如果教師再一味地機械重復新授課的內(nèi)容，其復習效果可想而知.

解決上述問題，用生長型構架來進行復習課的教學就是一個不錯的選擇.例如，進行“冪的運算”［2］復習時，可以緊緊圍繞“什么是冪”“研究冪的運算就是要研究冪的哪些運算”“如何來研究這些運算”“研究這些運算會給我們數(shù)學學習帶來什么樣的新視野”等主題進行探究，講述數(shù)學思維故事.

2.讓復習課助力新思維

對于復習課，如果我們?nèi)匀挥眯率谡n呈現(xiàn)知識的那個視角將復習內(nèi)容再重新呈現(xiàn)一遍，那么對于喜歡求異創(chuàng)新的學生及對這部分知識方法掌握得比較好的學生，就缺少吸引力和新鮮感，這樣也勢必會影響復習效果和質(zhì)量.即使是對還沒有完全掌握這部分知識的學生來說，之所以這部分知識沒有完全掌握，固然有學生自身的原因，但是也有當時教師運用的教學方法不適合這部分學生的緣故.為此，要重新審視新授課時的教學方法，分析新授這一知識時的教學要素，整合這部分教學內(nèi)容的學習資源，重新選擇探究這些知識的視角，那么用生長型構架進行復習課的設計理念便應運而生.

這個新理念，就是面對同一學習內(nèi)容，設計出異于新授課營造的思維場景，構勒出復習這一內(nèi)容的新思維氛圍，助力學生思維活動的展開，以培養(yǎng)學生思維的新穎性、靈活性和主動性.例如，在中考復習階段中，勾股定理的證明就可以讓學生經(jīng)歷以下三個思維方法感悟數(shù)學內(nèi)在的一致性、和諧性和樸素性.具體地講，第一種方法是構造有效圖形，借助于“算兩次”的思想，證實勾股定理.這種方法，事實上就是新授課時證明方法的本質(zhì).第二種方法，可借助于直角三角形中的射影定理來證明之（證明過程略）.第三種方法，可運用圓的相關知識來證明勾股定理.即如果Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC、∠ABC、∠ABC所對的邊分別為a、b、c，那么不難得到，Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑則有

即a2+b2=c2.

3.讓復習課顯現(xiàn)新結構

結構化是能力化的前提之一，數(shù)學在某種程度上說就是一種結構化的思想，可以這樣認為，數(shù)學是結構、結構還是結構.

學生平時學習的知識，都是些零散的知識.學習過程中，有相當一部分學生對平時的零散知識掌握得還是不錯的，但是一需要將平時知識綜合起來，就顯得捉襟見肘、應接不暇了.究其原因，可能是平時教學中忽視結構化教學，削弱了學生對知識的結構化能力.因此，適時地對知識進行結構化要成為一種教學常態(tài)，而生長型構架便是結構化知識的一種有效方法.生長型構架下的復習課，從學科系統(tǒng)、學科結構、知識網(wǎng)絡的角度，重新設計知識發(fā)生發(fā)展的過程，將這部分核心知識聚集到核心知識鏈中，讓學生看清知識的本來面貌，雖是學生已學過的知識，但是剖析的角度不同，研究的方法不同，學習的方式不同，活動的層次不同，必然能引發(fā)學生的學習興趣，必然讓學生對復習的內(nèi)容產(chǎn)生新鮮感.

結構化知識有多種方法，課本的編排體系本身就是一種結構化，一般情況下新授課已經(jīng)將這種結構化的資源基本用完.為了讓學生再次生長，就有必要選擇新的教學載體來傳承復習內(nèi)容的新結構.例如，復習相似三角形這部分知識時，可以不再選擇相似三角形的“概念—判定—性質(zhì)—應用”這一基本的認識視角，而是選擇相似形的系列“變式圖形”［3］的生長路徑，用這一新視角來認識研究相似三角形及相似形，這樣的視角對所有學生認識相似形都有幫助和提升，可以讓學生在這次復習中又一次成長.

二、生長型復習課的設計原則

生長型復習課是一種特殊意義下的教學行為，所以它的設計理應遵循一般教學設計的原則，但還要兼顧下面四個設計原則.

1.要設計好生長空間

同生命生長空間一樣，探究活動也需要一定的思維生長空間.這個過程的形成，教師要根據(jù)復習內(nèi)容、學生實際、數(shù)學體系結構，合理、有效、有度地整體構架，形成一節(jié)復習課的基本立意，這個基本立意就成了復習課中學生思維的生長空間.這里的合理是指設計的思維過程要遵循學生的認知規(guī)律，讓學生思維具有產(chǎn)生必然的傾向；有效是指學生終身發(fā)展所要具備的思維品質(zhì)和必備能力；有度就是要根據(jù)情況，設計思維空間的大小.空間太大，過于空泛，不接地氣，學生得不到實惠，反而架空了學生的思維；空間太小，思維發(fā)散力、穿透力不強，變成了機械重復，又回到一些復習課的老路上去了.因此，設計好生長空間是生長型復習課的根本.

2.要規(guī)劃好生長節(jié)點

我們在整體把握了生長空間后，就要關注學生思維發(fā)展的一個個節(jié)點，也就是思維的轉(zhuǎn)折點、變化點、發(fā)展點.這些關鍵點就像甘蔗一樣，它會留下一串串生長節(jié).從這個意義上說，形成生長節(jié)的過程，是一個“痛并快樂著”的過程.越過那些成長節(jié)點、思維點時總是痛，但那種痛感很快被隨之而來的成長、升騰的喜悅淹沒了，這就是數(shù)學思維的力量，也是生長的魅力.

具體到生長型復習課，一是要定位“生長的起點、終點”［4］.起點是學生思維的出發(fā)點，它是由學生現(xiàn)有的基礎和經(jīng)驗決定的，終點是思維的落腳點，它是由生長目標、發(fā)展方向決定的.定位好這兩個問題，就解決了從什么地方起步及到什么地方去的問題.二是要明晰生長的主要節(jié)點.由起點向終點前行，可能有多種方法或多種路徑，但一定有不可逾越的那么幾個節(jié)點，這些節(jié)點就是思維過程中的生長節(jié).教師在設計復習課時，要對這些生長節(jié)做到心中有數(shù)、心中有責.這些生長節(jié)是學生思維提升的標志，也是學生經(jīng)驗遷移的基礎，因此，規(guī)劃好生長節(jié)點是生長型復習課的保證，教學中教師要定位好、設計好、把握好.

3.要把握好活動生成

上面兩點主要從“教”的角度來分析設計原則，而在實施過程中，一定要關注學生思維的生成，保護好學生的真實思維.當學生的思維與教學預設有偏差時，教師要充分分析學生思維的合理性，保護好學生思維的真實性，在此基礎上與學生一起理性地分析、撥正思維的方向和層次，讓學生學會思維.當學生的思維與教學預設相近時，要給時間讓學生把思維過程整理一下，要求學生重新敘述一遍，通過重新表達，發(fā)展學生優(yōu)化思維的能力.當學生的思維與預設一致時，要反問或追問學生：“你是怎么想的”“你是怎么想到的”，避免“錯誤的思維導致正確的結論”這一“假思維”“偽思考”的現(xiàn)象發(fā)生.由此可見，把握好活動生成是生長型復習課的關鍵，它是以人為本育人的根本體現(xiàn).

4.要謀劃好教學板書

學生思維的生長要靠學生思維的真實開展，也需要其他教學手段的呈現(xiàn)，用“雕塑式板書”［5］來呈現(xiàn)生長路徑、彰顯生長節(jié)點是再恰當不過的了.因為“雕塑式”板書的時間節(jié)點一定能夠與學生思維生長的過程同步，而PPT是課前人為預設的，很難與學生的生成思維同步.再者用“雕塑式”板書的智慧藝術來展現(xiàn)復習知識的網(wǎng)狀結構，這種結構性的東西，靠放幻燈片也是不能實現(xiàn)的.因此，謀劃好教學板書是生長型復習課的重要手段，教師要精心設計，并注重有效呈現(xiàn).

三、生長型復習課的設計策略

根據(jù)生長型構架下的復習理念與教學價值，我們可從生長知識、傳承思想、給力成長這三個層面來整體構建復習課的構架，即在以下三個方面謀篇布局.

1.用主題來生長知識

有學者認為，教師業(yè)務素養(yǎng)主要取決于創(chuàng)造數(shù)學理解的能力.創(chuàng)造數(shù)學理解不僅僅是重走數(shù)學家們當時發(fā)現(xiàn)數(shù)學的荊棘坎坷之路，而是要從當代學生認知結構、心理、經(jīng)驗的現(xiàn)實出發(fā)，創(chuàng)造出具有鮮明數(shù)學本質(zhì)且適合當代學生理解的教育形態(tài)的數(shù)學.這種創(chuàng)造既具有數(shù)學家們當時發(fā)現(xiàn)數(shù)學的火熱思考，又具備當代人高效認識事物規(guī)律的快速反應.就是說經(jīng)過教師創(chuàng)造性的“演變過”的數(shù)學，它既具有數(shù)學的獨特內(nèi)蘊，又具有強烈的思維過程，而這種思維過程又是以某一思維主題為鏈條，在數(shù)學體系結構中不斷地發(fā)生、發(fā)展著，生長出一串串的數(shù)學知識、思維靈性和學科素養(yǎng).

我們知道，新授課是以某一知識點為主題的探究活動，它涉及的面可能有限，教師創(chuàng)造數(shù)學理解的空間可能受到一定的影響，所以，新授課呈現(xiàn)出的教學方法和形態(tài)基本上大同小異.正因為此，才有了現(xiàn)行的程序化的數(shù)學教材.但是，作為一個知識集成模塊的復習課，涉及的知識比新授課多得多，那么理應有更大的空間來創(chuàng)造教育形態(tài)的數(shù)學，來勾勒復習課的主題、主線，并在此主題上生長知識、編織結構、發(fā)展能力.

例如，對于“增長率”的復習課［4］，我們可以將教材中關于增長率的模型集中起來，以下列話題為主題，讓學生經(jīng)歷在初中階段可以解決的數(shù)學模型.即：一個數(shù)量a，經(jīng)過一次增長后變成c，且增長率為x的數(shù)學模型a（1+x）=c；一個數(shù)量a，分別經(jīng)過兩次不同的增長后變成c，且兩次增長率分別為x、y的數(shù)學模型a（1+x）（1+y）=c，一個數(shù)量a，經(jīng)過兩次相同增長后變成c，且增長率都為x的數(shù)學模型a（1+x）2=c；兩個數(shù)量a、b，存在a·b=c的關系，并且a、b各經(jīng)過一次不同增長，增長率分別為x、y，此時c變成d的數(shù)學模型a（1+x）·b（1+y）=d；兩個數(shù)量a、b，存在a·b=c的關系，并且a、b各經(jīng)過一次相同增長，且增長率都為x，此時c變成d的數(shù)學模型a（1+x）·b（1+x）=d.當學生感受到上述生長構架下的具體知識時，只要有效地控制變量，就可以用初中數(shù)學知識來解決問題了.這樣的過程就是一個很明顯的用主題來提供生長知識的過程，也是一個激發(fā)學生的數(shù)學智慧的過程.

2.用知識來積累思想

復習課中用知識來傳承思想，同新授課教學中滲透數(shù)學思想方法一樣，往往處在復習思維的過程中，它是人們思維的暗線.可以這樣認為，正是有了思維的過程，才會產(chǎn)生數(shù)學的思想方法.皮之不存，毛將焉附？所以說，用主題來生長知識尤為重要.

所要注意的是，教師要盡量把復習課精心設計的知識生長過程中的數(shù)學思想方法放大呈現(xiàn)，讓學生能回味反思，體悟思想，從更高層面上認識問題的本質(zhì).例如，上例中，初中為什么較多地研究一個數(shù)量經(jīng)過兩次增長的平均增長率問題，而很少研究一個數(shù)量經(jīng)過兩次不同增長的增長問題？為什么不研究三個數(shù)量或更多數(shù)量各經(jīng)過一次增長的增長率問題？要解決上述疑問，沒有立意，沒有過程，沒有思想，從何而思？

3.用思想來給力成長

不可否認，讓學生不斷發(fā)展是學科教學的根本追求，也應是學科教學的一種常態(tài).而現(xiàn)在的復習課，常常在學生擁有的知識上打轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，學生很難在這種復習課上再次進步，再次發(fā)展.生長型構架的復習課，便能突破這一教學瓶頸.這種教學方法，雖面對的是舊知識，但要重構這些舊知識的新視野、新方法、新路徑、新思想，并從中積累新境界、新經(jīng)驗、新感受、新成長.我們有理由認為，學生經(jīng)歷過這樣的復習過程，不發(fā)展、不成長、不提升是不可能的.

生長型構架下的復習課，是一種理念，也是一種方法，但不是一種模式.教學有法，教無定法，教應得法，讓我們數(shù)學教育人在理解數(shù)學、理解學生、理解教學的教育大道上闊步前行！

1.卜以樓.生長型構架下實數(shù)復習課的教學實踐與思考［J］.中學數(shù)學（下），2016（3）.

2.卜以樓.讓復習課留下一串串生長節(jié)［J］.中學數(shù)學月刊，2013（11）.

3.卜以樓.生長鏈變式圖遷徙路［J］.中學數(shù)學教學參考（中），2016（4，5）.

4.卜以樓.用生長型構架進行中考復習［J］.中國數(shù)學教育（初中），2010（3）.

5.卜以樓.雕塑式板書下“有理數(shù)混合運算”的教學設計［J］.中學數(shù)學（下），2016（4）.Z